m0936

Решение: Дано разложение переменного радиус-вектора r t

на составляющие. Из него следуют уравнения годографа в параметрической форме:

x cost,

y 1,

z sint.

Исключим из уравнений параметр t и получим уравнения окружности

x2 z2 1,

y 1,

Замечание. Окружность рассматривается как пересечение плоскости y 1 и цилиндрической поверхности

х2 + y2 = 1.

Иными словами, годографом вектора r t является окружность,

смещенная от начала координат на величину y 1.

Примеры определения годографов приведены ниже в прикладных задачах, в которых они

определяются как траектории движущихся материальных точек.

Замечание. Один и тот же годограф может соответствовать различным вектор-функциям.

Задачи к разделу 11.1

11.1.1.Объяснить, почему годограф нельзя называть графиком вектор-функции.

11.1.2.Установить связь между понятием параметрически за-

данной функции и понятием вектор-функции r t x t i y t j .

11.1.3. Построить годографы следующих вектор-функций на плоскости:

183

11.1.5.Используя понятие предела вектор-функции, дать определение ее непрерывности в точке.

11.1.6.Доказать правильность замечания 2 к определению предела вектор-функции.

11.1.7.Доказать, что непрерывность вектор-функции r t

равносильна непрерывности ее координатных функций x t , y t , z t .

11.2. Производные вектор-функции

Производной непрерывной вектор-функции r t в точке t t0

называется конечный предел отношения приращения векторфункции к приращению скалярного аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

В символьной форме это определение можно представить так:

Замечание. Поскольку производная определена как конечный предел, то она может и не существовать (если предел бесконечен или не существует).

Для дифференцируемых векторных функций r1 r1 t и r2 r2 t справедливы следующие правила дифференцирования:

1) r1 r2 r1 r2 ;

3) C r C r , где C const;

184

Если векторы-орты i, j, k не изменяют свое направление и величину (неподвижная система координат), то

Замечание. По умолчанию (если не сказано обратного) предполагают, что система координат, в которой задана вектор-функция, неподвижна, по-

этому di dj dk 0. dt dt dt

Векторная производная r t является в общем случае пере-

менной векторной величиной. Дифференцируя ее, получаем вторую производную

Аналогично можно получить формулы для производных третьего и более высоких порядков.

Замечание. Если аргумент t в вектор-функции рассматривают как текущее время, то в качестве обозначений производных используют не штрихи, а точки (r, r, и т.п.).

Если модуль и направление вектор-функции постоянны, то ее векторная производная равна нулю.

Если вектор r t имеет постоянный модуль r t const и

переменное направление, то векторная производная такого вектора ортогональна исходному вектору.

185

Пример 1. Найти векторные производные первого и второго порядков для вектор-функции r t ctgt i arctgt j.

Пример 2. Найти производную скалярного произведения векторов r1 t 3ti 2j 5k и r2 t 2i 3tj k .

Решение. Найти решение можно двумя способами.

Первый способ (используем правило дифференцирования скалярного произведения переменных векторов).

d 3t 2 2 3t 5 1 d 5 0. dt dt

Задачи к разделу 11.2

11.2.1. Найти производные первого и второго порядков век- тор-функций, а также их длины и направляющие косинусы (для

ненулевых производных):

а) r t 3i 2j 5k ; б) r t 3ti 2tj 5tk ;

в) r t 2costi 2sintj; г) r t 2sinti 2costj 5tk ;

д) r t cos2 tj sin2 tk .

11.2.2. Найти производные вектор-функций:

186

найти производную их скалярного произведения и производную любого из двух векторных произведений.

11.2.4. Доказать, что если вектор r t имеет постоянный мо-

дуль r t const и переменное направление, то векторная про-

изводная такого вектора ортогональна исходному вектору.

11.3. Геометрический смысл векторной производной. Уравнение касательной к годографу радиус-вектора

По определению производная вектор-функции в фиксиро-

сближаются; секущая l поворачивается, сближаясь с касательной, и в пределе сливается с ней. Поэтому векторную производную r t0 можно рассматривать как направляющий вектор каса-

тельной с началом в точке касания M0. В этом заключается гео-

метрический смысл векторной производной по скалярному аргументу (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Геометрический смысл векторной производной

187

Исходя из геометрического смысла векторной производной, уравнение касательной как уравнение прямой в векторной форме будет иметь вид:

сания M0 – общей точки касательной и годографа радиус-вектора r t .

Из (11.8) следуют канонические уравнения касательной

Решение. Кривая является циклоидой, заданной в параметрической форме. Такую кривую описывают точки на поверхности цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости (рис. 11.5).

r t t sint,1 cost . Направляющий вектор касательной в те-

188

Задачи к разделу 11.3

11.3.1. Составить уравнения касательных к годографам век-

11.3.3. Плоскость, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормальной плоскостью кривой. Используя уравнения касательной и знания аналитической геометрии, вывести уравнение нормальной плоскости.

11.3.4. Для кривых из задачи 11.3.2 составить уравнения нормальных плоскостей в указанных точках.

189

11.4. Физический смысл векторных производных по скалярному аргументу (времени)

Пусть материальная точка M перемещается по криволинейной траектории L. Положение ма-

териальной точки M относительно

точки (рис. 11.6).

С одной стороны, вектор r t vcp является средней скоро-

t

стью равномерного перемещения материальной точки по секущей MN. В пределе при t 0 средняя скорость материальной точки vcp стремится к ее мгновенной скорости:

С другой стороны, производная радиус-вектора r t является

направляющим вектором касательной. Таким образом, мгновенная скорость материальной точки направлена по касательной к траектории движения точки и характеризует направление и быстроту движения точки по траектории.

Мгновенную скорость точки как переменный вектор можно разложить по векторам базиса i, j, k и представить в виде:

(координаты вектора скорости).

Аналогично можно показать, что ускорение материальной точки можно представить так:

190