m0936

ж) lim sin x tg x ; з) lim x ln x 1 lnx .

x x

2

Ответы к задачам темы «Пределы функций одной действительной переменной»

6.1.1.а, в, г – взаимно однозначны; б, д – нет.

6.1.2.Функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная прямая пересекает ее график не более чем в одной точке.

6.1.3.Любой луч, выходящий из полюса, пересекает линию не более чем в одной точке.

f h h x 33x ;g f f x arcsin4x ; g f g x arcsinarcsinx ; g f h x arcsin3x ; g g f x arcsin arcsinx ;

g g g x arcsin arcsin arcsinx ;g g h x arcsin arcsin3x ; g h f x arcsin3x ; g h g x arcsin3arcsin x ;g h h x arcsin33x ;

h f f x 34x ; h f g x 3arcsin x ; h f h x 33x ; h g f x 3arcsin x ;

h g g x 3arcsin arcsin x ; h g h x 3arcsin3x ; h h f x 33x ;

x

h h g x 33arcsin x ; h h h x 333 .

6.2.2.а) x2 7x 12; б) x 5x 6; в) log2 x 2 5log2 x 6;

г) e2x 5ex 6.

6.2.3.а) y 2x; б) y x.

6.2.4.а) График функции y x2 сдвигается по оси ОХ вправо на 3 и по оси ОY вниз на 4; б) график функции y x3 сдвигается вниз на 5; в) график

функции y x сдвигается вправо на 2 и вверх на 3; г) график функции y x зеркально отражается относительно оси ОY; д) график функции y x зеркально отражается относительно оси ОY и сдвигается вправо

51

перболы y 1 сдвигается вправо на 2, растягивается вдоль оси ОY в 3 раза x

и сдвигается вверх на 1.

2 раза; б) график функции y 2x сдвигается вниз на 1; в) график функции y log2 x сдвигается влево на 1; г) график функции y log2 x сдвигается вверх на 1.

6.2.6. а) Луч y x, x 0 и линия y = |x|; б) прямая y x и луч у = х, x > 0; в) отрезок прямой y x, x [–1, 1] и периодическая функция с периодом 2 (рис. 6.9).

Рис. 6.9. График функции y = arcsin (sin x)

6.2.7. а) Кусочно-постоянная функция (рис. 6.10); б) периодическая функция (рис. 6.11); в) кусочно-постоянная функция (рис. 6.12).

Рис. 6.10. График функции y = [x]

52

б) Для любого числа A найдется хотя бы одно число 0 такое, что

6.7.1. Потому что функция y = x + 1 не является бесконечно малой при x 1 и нет смысла говорить о сравнении бесконечно малых функций.

или lim x 1, то эти бесконечно большие функции называются эквива-

x x

824 6

6.8.8.а) 5; б) 4; в) 5; г) – 2; д) 1.

33

Требования к практическому усвоению темы «Пределы функций одной действительной переменной»

Студент должен знать:

–определение функции одной действительной переменной и

еесоставных частей: области существования (определения), области значений, условий однозначности;

–способы аналитического представления функции, определение графика функции, понятие о многозначных функциях и их представлении в виде однозначных функций;

54

–основные элементарные функции (формулы, графики, области существования) для многозначных функций и области определения, в которых выполняются условия однозначности;

–элементарные составные и сложные функции, понятие о неэлементарных функциях;

–пределы элементарных функций в точке и на бесконечности (определение, полные и проколотые окрестности точки);

–основные свойства пределов функций в точке и на бесконечности;

–бесконечно малые и бесконечно большие функции (определения и свойства);

–методы сравнения функций и условия их эквивалентной замены, основные виды эквивалентностей;

–правила вычисления пределов функций с раскрытием неопределенностей.

Студент должен уметь:

–определять области существования элементарных функций, устанавливать и формулировать условия однозначности;

–разделять сложные функции на основные элементарные функции с введением промежуточных аргументов;

–вычислять пределы элементарных функций в точке и на бесконечности, в том числе с использованием «замечательных» пределов и эквивалентной замены функций.

55

Тема 7: Непрерывные и разрывные функции одной действительной переменной

7.1. Непрерывные функции в точке, на промежутке и в области

Пусть функция y f x определена на множестве X и точка x x0 является предельной точкой этого множества. Функция y f x называется непрерывной в точке x x0 , если она опре-

делена в полной (не проколотой) окрестности этой точки и существует конечный предел функции, равный значению функции в

этой точке: lim f x f x0 .

x 0

Замечание. Для точек, не являющихся предельными для области существования функции, понятие непрерывности не рассматривается, поскольку не имеет смысла говорить об окрестностях этой точки.

y f x f x0 – приращением функции в точке x x0 .

Определению непрерывной в точке функции равносильно другое определение.

Функция y f x называется непрерывной в точке x x0 ,

если бесконечно малому приращению аргумента x соответству-

ет бесконечно малое приращение функции y: lim y 0.

x 0

Замечание. Приращение непрерывной функции y в -окрестности

точки x x0 является бесконечно малой величиной при x 0.

Функция называется непрерывной в области своего сущест-

вования, если она непрерывна в каждой точке этой области (отсюда следует, что функция непрерывна на любом промежутке, входящем в область существования).

В случае композиции функций (сложной функции) y f x область значений промежуточного аргумента u x

не должна выходить за пределы области существования функции y f x по основному аргументу.

56

Задачи к разделу 7.1

7.1.1.Сформулировать определение непрерывности без явного использования понятия предела.

7.1.2.Пусть для точки x0 и любого достаточно малого числа

вточке х0?

7.1.4.Нарисовать эскиз графика функции, для которой в точ-

ке x0 0: а) положительному приращению x соответствует по-

ложительное приращение функции; б) положительному приращению x соответствует отрицательное приращение функции; в) отрицательному приращению x соответствует положительное приращение функции.

7.1.5. а) Дать определение понятия непрерывности на интервале, не используя при этом понятие непрерывности в точке.

б) Дать определение понятия непрерывности на интервале, не используя при этом ни понятие непрерывности в точке, ни понятие предела.

7.2. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функций

Предельные точки области существования функции, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва.

В точке разрыва функция может быть определена или не определена; независимо от этого нам будет удобно считать окрестности этой точки проколотыми.

57

Примеры.

1

1.Функция y e x2 не определена в точке x 0 и разрывна в

определена в точке x 0, но можно показать, что она разрывна в этой точке.

1

3.Функция y e x2 , если x 0,

0, если x 0,

определена в точке x 0, и можно показать, что она непрерывна в этой точке.

При введении понятия предела lim f x не конкретизирова-

x a

лось, как именно переменная х стремится к числу а, т.е. по умолчанию предполагалось, что это может происходить любым способом (например, справа или слева).

Число А называется левосторонним (левым) пределом функ-

или f a 0 .

Замечание. При решении задач левосторонний предел функции можно интерпретировать так: предел функции А является левосторонним, если он существует при стремлении аргумента функции к предельной точке х = а слева, т.е. при таком стремлении переменная х остается всегда меньше числа а.

Если значение функции y f x в точке x a равно левому пределу функции в этой точке, то функция y f x называется

непрерывной слева в точке x a.

58

Замечание. Аналогично вводятся понятия правостороннего предела и непрерывности справа.

В графической форме односторонние пределы отмечаются стрелкой, а односторонняя непрерывность – точкой (рис. 7.1).

а) б)

Рис. 7.1. Односторонние пределы и непрерывность:

а – левосторонняя непрерывность в точке x = а и конечный правосторонний предел; б – правосторонняя непрерывность в точке x = g и конечный левосторонний предел

При вычислении односторонних пределов необходимо учитывать следующие условные равенства:

Все свойства пределов, указанные в разделе 6.2, имеют место и для односторонних пределов. Кроме того, имеет место теорема

осовпадении односторонних пределов:

1)если существует lim f x A, то существуют оба односто-

x a

ронних предела и эти пределы совпадают:

2) если существуют оба односторонних предела и они совпадают:

то существует и предел lim f x A.

x a

59

x2 2. Объяснить, почему точка x2 не является точкой разрыва.

7.2.2.Сформулировать определения правого предела функции и правой непрерывности функции в точке.

7.2.3.Вычислить односторонние пределы:

Какой вывод можно сделать о существовании предела в каждом из этих случаев?

7.3. Точечные разрывы функции

Различают несколько видов точечных разрывов функции.

1. Устранимый разрыв: функция y f x не определена в своей предельной точке x a, но при этом существуют оба односторонних предела, они совпадают и конечны:

2. Разрыв первого рода: функция y f x в точке x a имеет конечные односторонние пределы, которые не равны друг другу:

Функция y f x , имеющая в области определения только точки разрыва первого рода, называется кусочно-непрерывной.

3. Разрыв второго рода: неустранимый разрыв, не являющийся разрывом первого рода.

Разрывы второго рода можно условно разделить на два типа: а) оба односторонних предела существуют, но хотя бы один из них равен ; б) хотя бы один из односторонних пределов не существует.

60