m0936

Пример 1. Определить траекторию, скорость и ускорение точки, заданной переменным радиус-вектором r 4ti 3tj .

Решение. Годограф радиус-вектора можно рассматривать как траекторию точки, совпадающей с концом этого вектора r x t i y t j 4ti 3t j . В

параметрической форме уравнение траектории имеет вид:

получим уравнение траектории в прямоугольных координатах

y 3 x. Таким образом, траек- 4

торией точки является прямая

Рис. 11.7. Траектория точки линия (рис. 11.7). Скорость точки

Движение точки – равномерное по прямой линии. Пример 2. Уравнение движения точки имеет вид:

r 3ti 4t t2 j. Определить траекторию и скорость движения точки. Построить траекторию и векторы скорости в моменты времени 0, 1, 2, 3 с.

Решение. Уравнения годографа радиус-вектора точки в параметрической форме имеют вид:

x 3t,

y 4t t2.

191

Исключая параметр t, получаем уравнение траектории точки

болы имеет координаты 6, 4 , а точки пересечения параболы с осью Ox – 0, 0 , 12, 0 .

Скорость точки

v r t 3ti 4t t2 j 3i 4 2t j vxi vy j.

Находим координаты точек, в которых должна быть опреде-

лена скорость.

При t 0 x(0) = 3·0 = 0, y(0) = 4·0 – 02 = 0, vx(0) = 3, vy(0) = 4. При t 1 x(1) = 3·1 = 3, y(1) = 4·1 – 12 = 3, vx(1) = 3, vy(1) = 2. При t 2 x(2) = 3·2 = 6, y(2) = 4·2 – 22 = 4, vx(2) = 3, vy(2) = 2. При t 3 x(3) = 3·3 = 9, y(3) = 4·3 – 32 = 3, vx(3) = 3, vy(3) = –2.

Задачи к разделу 11.4

11.4.1. Уравнение движения точки задано в виде векторфункции r 3costi 4sintj. Найти траекторию, скорость и уско-

рение точки. Показать их на чертеже при t . 4

11.4.2. Движение материальной точки задано векторфункцией r 3sinti 2cos2tj . Найти уравнение траектории и скорость материальной точки в ближайшей после начала движе-

192

ния точке пересечения траекторией оси Ox. Показать траекторию и скорость на чертеже.

рию движения точки.

11.4.4. Материальная точка движется так, что во все время движения ее ускорение направлено к неподвижному центру О. Показать, что траектория точки лежит в плоскости, проходящей через центр О.

11.5. Первая производная векторной функции по дуговой координате (длине дуги кривой)

Если в качестве переменного параметра использовать длину дуги s кривой L

(рис. 11.9), отсчитываемую от некоторой фиксированной точки M0 кривой, то уравне-

ние этой кривой можно пред-

x x s ,y y s ,z z s .

Тогда радиус-вектор текущей точки M будет иметь вид:

193

модуль вектора dr равен единице (такие векторы называются ds

ортами). Отсюда следует, что векторная производная dr опре- ds

11.6. Кривизна кривой и ее вычисление

Кривизна линии является локальной числовой характеристикой, описывающей в количественной форме отклонение дуги кривой линии от прямой в окрестности рассматриваемой точки на кривой.

В аналитической форме кривизной называется предел отно-

Рис. 11.10. Средняя кривизна

194

Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом

кривизны R 1 . Радиус кривизны – это радиус окружности (кру-

K

га кривизны), которая наиболее плотно прилегает к кривой в окрестности точки касания M с точностью до бесконечно малых второго по-

рядка (рис. 11.11).

Если кривая задана явным уравнением y f x в декартовых координатах, то кривизна определится по формуле

y

K 3 . (11.15)

1 y 2 2

Вывод формулы для расчета кривизны очень нагляден и поучителен в процессе освоения приложений дифференциального исчисления. Поэтому приведем этот вывод в качестве дополнения.

d

K d d dx dx . ds dsdxds

dx

Из геометрического смысла производной следует: dy tg

определению дифференциала функции является линейной частью приращения дуговой координаты s.

195

196

В точке A(2, 0) получим R A 1 (рис. 11.14), а в точке

2

B(0,1) – R B 4.

Рис. 11.14. Круг кривизны эллипса в правой вершине

Задачи к разделу 11.6

11.6.1. Вычислить кривизну графиков функций в указанных

11.6.3. Если линия задана параметрически в прямоугольной системе координат x x t , y y t , то кривизна вычисляется по

б) доказать, что из этой формулы следует формула для кривизны явно заданной функции.

198

11.6.4. Пользуясь формулой предыдущей задачи, найти кривизну линий, заданных вектор-функциями:

а) r ati btj, a const,b const;

б) r Rcosti Rsintj , R const;

в) r ti at2 bt c j , a const, b const, c const.

11.6.5. Пользуясь формулой задачи 11.6.3 и формулами перехода от декартовых координат к полярным, доказать, что для линии , заданной в полярной системе координат, кривизна

11.6.6.Пользуясь формулой предыдущей задачи, найти кривизну линий, заданных в полярной системе координат:

а) (спираль Архимеда); б) acos , a const.

11.6.7.В общем случае при рассмотрении кривизны годографа вектор-функции r r t (как в плоском, так и в пространст-

11.7.Естественная система координат и ее применение

вкинематике точки

Вкаждой точке кривой линии можно однозначно определить

три орта – три взаимно ортогональных вектора единичной длины

, n, b . Эти векторы с общей начальной точкой, лежащей на кривой, образуют репер (репер Френе).

dr

Вектор – орт касательной, направлен в сторону воз- ds

растания дуговой координаты. Вектор n, перпендикулярный век-

199

гнутости кривой. Вектор b , перпендикулярный векторам и n,

выбирается так, чтобы репер {O, , n, b} был правосторонним

(иными словами, b n).

Прямоугольная система координат с осями, совпадающими с

линиями действия и направлениями единичных векторов , n, b,

называется естественной системой координат.

В естественной системе координат векторы и n определя-

ют соприкасающуюся координатную плоскость, в которой лежат эти векторы. Векторы n и b определяют нормальную плоскость,

а векторы и b – спрямляющую плоскость. Эти плоскости показаны на рис. 11.15, на котором изображен момент движения математического маятника с неподвижной точкой подвеса по окружности.

Естественные системы координат широко используют при исследованиях кривых в дифференциальной геометрии и для описания криволинейных движений в физике и технических науках.

Рассмотрим, как определяются скорость и ускорение материальной точки при ее криволинейном движении с помощью естественной системы координат.

В такой системе можно найти алгебраическое значение скорости и разложить вектор ускорения точки на касательную и нормальную составляющие.

Из раздела 11.4 следует, что ско-

рость точки v dr . Учитывая, что dt

200