m0936

Замечание. Поскольку сумма произвольных постоянных равна произвольной постоянной, то при нахождении неопределенных интегралов вместо суммы нескольких произвольных постоянных в конечном результате принято указывать одну постоянную.

При вычислении интеграла можно использовать совместно различные методы интегрирования. В следующем примере вместе с методом разложения будут использоваться метод поправок и метод подведения под знак дифференциала.

221

12.4.4. Метод разложения интегралов, содержащих произведения

cos x cos xdx вычисляются методом разложения с помощью следующих тригонометрических формул:

sin AcosB 1 sin A B sin A B , 2

sin AsinB 1 cos A B cos A B ,

2. Интегралы вида Jn,m sinn xcosm xdx.

2.1. Если показатели степеней m и n – целые четные числа, то интегралы вычисляются с помощью использования (возможно, многократного) формул:

sin2 x 1 cos2x, 2

cos2 x 1 cos2x, 2

sin2x 2sinxcosx.

222

2.2. Если показатели степеней m и n – четные числа и хотя бы один из показателей является отрицательным, то используют подстановку t tg x или t ctg x.

tg2 x1 tg2 x d tg x tg x t,d tg x dt t2 1 t2 dt

2.3. Если хотя бы один из показателей (m или n) является нечетным, то от тригонометрической функции с нечетной степенью отделяют один множитель. Этот множитель подводят под знак дифференциала и интегрируют с новой переменной. При этом если оба показателя нечетные, то целесообразно отделять указанный множитель от тригонометрической функции с меньшим показателем степени.

Пример 1. Найти интеграл sin4 xcos5 xdx.

Решение:

sin4 xcos5 xdx sin4 xcos4 xcosxdx

223

cosxdx d cosxdx d sinx sin4 x1 sin2 x 2d sinx

Пример 2. Найти интеграл sin3 xdx.

Решение:

sin3 xdx sin2 xsin xdx sin xdx d sin xdx d cosx

2 cos3 x

1 cos x d cosx cosx C. 3

Пример 3. Найти интеграл sin5 xcos3 xdx.

Решение:

sin5 xcos3 xdx sin5 xcos2 xcosxdx

cosxdx d cosxdx dsin x sin5 x1 sin2 x d sin x

sin5 xdx sin7 xdx sin6 x sin8 x C. 6 8

12.4.5. Метод интегрирования с прямой заменой переменной (с прямой подстановкой)

В этом варианте метода исходную переменную интегрирования заменяют на функцию новой переменной x t . Введенная функция t должна быть монотонной и непрерывно дифферен-

цируемой. Эти условия необходимы для существования обратной функции, что позволяет после интегрирования сделать обратную замену переменной.

224

12.4.6. Метод интегрирования с обратной заменой переменной (с обратной подстановкой)

В случае обратной замены переменной (обратной подстановки) используют непрерывные функции t x . В этом случае имеем

f x dx t x ,x t ,dx d t t dt

f t d t t u f u du.

При удачной подстановке вычисление подынтегрального выражения может существенно упроститься.

Решение. Вводим обратную подстановку t x 1 1, тогда x t 1 2 1, dx 2 t 1 dt.

225

2t 2ln t 2x 1 2ln x 1 1 C.