Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m0936

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

7.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2924 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

12.4.4. Используя метод подведения под знак дифференциала, найти следующие интегралы:

а) sin4 xcosxdx; б) sin4 xcos5 xdx; в) sin5 xcos2 xdx;

г) tgxdx; д)

и)	dx	; к)

	xlnx

ctgxdx; е)

; ж)

; з)

sin lnx dx

;

exdx

sinx

cosx

; л)

; м)

arccosx

dx.

1 x

12.4.5. Используя метод подведения под знак дифференциала, найти следующие интегралы:

а)

x2dx

; б)

xdx

; в)

xdx

; г)

x3dx

;

3 4x

100

1 x3

д) x3e 5x4 dx; е)

12.4.6. Применяя метод разложения, найти следующие инте-

гралы:

а)

г)

з)

к)

1 2x 2

x 1 3

dx; б)

dx; в)

x xdx;

x 6

3x 4

x2 2

dx; д)

dx; е)

dx; ж)

dx;

x 5

5x 2

x 1

x2 x 1

x4 2x3 x2 3x 1

dx; и)

dx;

x 1

1 x2

dx.

1 x4

12.4.7. Применяя метод разложения, найти следующие интегралы:

		x		x 1				x 2				x
	2		5			1 2				1 3			5		x
а)									dx; в)							dx.
			2x 3				x				3
		3			dx; б)	7				2			2	x

12.4.8. Применяя метод разложения, найти следующие интегралы от тригонометрических функций:

а) sin3xsin5xdx; б) cos2xcos7xdx; в)			sin	2x	cos	3x	dx;
						2
			3
г) cos2 xdx; д)	sin2 3xdx; е)	sin2 2xcos4 2xdx; ж)				tg2 xdx.

231

12.4.9. Найти значения интегралов, содержащих квадратные трехчлены:

а)

xdx

; б)

3x 4 dx

; в)

x3dx

;

6x 13

6x 5

г)

; д)

x 3 dx

; е)

x 1 dx

x2 8x 12

x2 4x 5

4x x2 5

12.4.10. Используя метод интегрирования по частям, найти

интегралы:

2 7x cos7xdx; в)

xe xdx;

а) xsin2xdx; б)

г) x2

2x 3 lnxdx; д) log2 xdx; е)

arcsinxdx;

ж) x2 arccosxdx: з) arctgxdx.

12.4.11. Используя несколько раз метод интегрирования по частям, найти интегралы:

а) x2 sinxdx; б) x2 x 1e2xdx; в) eax sinbxdx;

г) eax cosbxdx; д) sin lnx dx; е) cos lnx dx.

12.4.12. Обозначим In x2 a2 n . Используя метод интег-

рирования по частям, вывести зависимость между In и In 1. 12.4.13. Используя результат задачи 12.4.12, найти значения

интегралов:
а)	dx		; б)	dx	; в)	dx		.
		2		3			2
	x2 4			x2 1		x2 4x 5

12.5.Графическое интегрирование

Внекоторых простейших случаях по заданному графику функции f x можно строить график первообразной этой функ-

ции. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для кусочно-постоянной функции

1	при x 0,

3

	при	x 0,	1,
f x 1
1	при	x 1,

232

график которой приведен на рис. 12.1, изобразить график первообразной F x , проходящий через точку A 0,1 .

Решение. Рассуждения начи-

наем с абсциссы заданной точки

(x 0).

Из

этой

точки

направо

выходит

прямая

y 1,

значит,

тангенс угла наклона касательной

к графику функции

F x в каж-

дой точке интервала 0,1 равен 1.

Следовательно,

на

интервале

0,1 график функции

y F x

является прямой,

проходящей че-

Рис. 12.1. График кусочно-постоянной

рез точку

A 0,1

под углом 45°

функции

1 tg45 к положительному на-

правлению оси Ox. Из правого

конца построенного

наклонного

отрезка

проводим прямую

под

углом 135°

1 tg135

к поло-

жительному

направлению

оси

Ox. Из левого конца того же от-

резка проводим прямую под уг-

лом 30°

tg30 к положи-

Рис. 12.2. Решение примера 1

тельному направлению оси Ox.

Полученный график приведен на рис. 12.2.

Пример 2.

Для кусочно-

линейной функции

при x 0,

x 0,

2x при

f x

2 x при x 1, 2 ,

x 2 при x 2,

график

которой

приведен

на

рис. 12.3, нарисовать график

первообразной F x , который

Рис. 12.3. График кусочно-линейной

проходит через начало коорди-

функции

нат.

233

Рис. 12.4. Решение примера 2

Решение. Рассуждения снова начинаем с заданной точки –

O 0,0 .

На интервале 0,1 строим параболу y x2 C (значение постоянной C 0 находим из условия прохождения параболы через точку O 0,0 ). В точке x 1 функция y x2 принимает значение y 1, т.е. парабола проходит через точку (1,1). Следующая часть

графика функции F x			также проходит через точку (1,1)													и также
						x2
является параболой															постоянной С

		y 2x				2	C . Значение
						2
определяется из условия				y 1 1:				y 2x	x2				1	;	в точке x 2
определяется из условия				y 1 1:				y 2x						;	в точке x 2
22								2			2
22			1	3						3
имеем y 2 2 2					.	Из		точки 2,				строим следую-
2			2	2						2
щую параболу – y	x2		2x C; значение постоянной C опреде-
щую параболу – y		2	2x C; значение постоянной C опреде-
		2														3
																3
ляется из условия прохождения параболы через точку 2,																	.
ляется из условия прохождения параболы через точку 2,																	.
Слева от точки O 0,0																2
Слева от точки O 0,0				функция F x постоянна, а поскольку

график функции проходит через начало координат, то эта постоянная равна нулю. График первообразной приведен на рис. 12.4.

Обратите внимание на то, что в точке разрыва функции f x ее первообразная имеет излом, а в точке излома функции f x первообразная уже является гладкой функцией.

Задачи к разделу 12.5

12.5.1. По данным графикам функций построить графики их первообразных, проходящие через заданные точки:

а) точка 0,1 , рис. 12.5; б) точка 1,1 , рис. 12.6;

в) точка 0, 0 , рис. 12.7; г) точка 0, 0 , рис. 12.8.

234

Рис. 12.5. График функции	Рис. 12.6. График функции к 12.5.1, б
к 12.5.1, а

Рис. 12.7. График функции к 12.5.1, в	Рис. 12.8. График функции
	к 12.5.1, г

Ответы к задачам темы «Интегральное исчисление функций одной переменной. Общие методы вычисления неопределенных интегралов»

12.1.1. Разность первообразных должна быть постоянной.

	x2		x 1 2		x2		2x x2 2x 1			1
а)		x									;
а)		x									;
	2			2			2			2
	2			2			2			2
б)	sin2 x			cos2x		2sin2 x cos2x		1	; в) ln2x ln5x ln			2x	ln	2	.

	2			4			4	4				5x		5
	2			4			4	4				5x		5
12.2.2. f1 x f2 x dx							1 f1 x 1 f2 x dx

1 f1 x dx 1 f2 x dx f1 x dx f2 x dx.

235

12.3.1.

При

x 0

выполняются

равенства

ln x и

ln x C

12.3.3. а)

x 3

C; б)

C; в)

C; г)

x4 7

4x4

д)

C; е)

10x

C; ж) arcsin

C; з)

1 x

3x ln3

1 x

и)

1 x

arctg

1 x

16x6

4 8x

12.3.4. а)

C; б)

x C; в)

C; г)

10x

ln8

д)

9ln3

12.3.5. а)

5x2

2x C; б)

2sinx 3cosx C;

10x3

3x5

в)

25x C; г)

д)

x C ;

x x

е)

30x

10x

15x

x C.

ln10

ln15

ln5

ln30

ln6

ln3

ln2

12.4.1. а)

C; б)

C ; в) 3 4 5x 3

3x 4

3 4x

г) 5 3x 4 5 C; д) 1ln 7x 8 C ; е) 1ln 7 8x C;

ж)

arctg

C; з)

arcsin

и)

arcsin

C; к)

25 4x2

C ; л)

м)

; н)

tg 3 4x C .

cos

12.4.2. а)

2 5x 2

C; в)

3x 2

C ; г)

2 x1

C .

C; б) 2x

3ln2

ln3

12.4.3.

F ax b C

236

12.4.4. а) sin5 x C; б) sin5 x 2sin7 x sin9 x C;

в)

2cos5 x

cos3

cos7

C ; г) ln

cosx

C ; д) ln

sinx

е)

cosx 1

C; ж)

sin x 1

C ; з) cos lnx C;

cosx 1

sin x 1

и) ln lnx C ; к) ln ex 1 C; л) arctg ex C;

м) 2arccosxarccosx C. 3

12.4.5. а) 21 x2 C; б) 1ln 3 4x2 C; в) 1arctgx2 C ;

									3																	8															2
г)	1					x4 10											C; д)								1				e 5x4		C; е)						ln 2x 1 C.
г)	1			ln		x4 10											C; д)								1				e 5x4		C; е)						ln 2x 1 C.
	80						x4 10																	20														ln2
																																	14			9					4							1
12.4.6. а)												1			4lnx 4x C ; б)																	5	x				5	x		5			x			5x				C;
12.4.6. а)												1			4lnx 4x C ; б)																	5	x	5			5	x	5	5			x	5		5x			5	C;
												x																			14					9				4
в)	4		x		7			4			x			3	C; г)							x ln						x 1		C ; д)						x 11ln						x 5					C;
					4									4


	7						3																																				x2
	7						3
е)	3						26													2		C; ж) x 3arctgx C; з)																																C;
			x									ln				x																														2x 3ln							x 1
			x									ln				x																														2x 3ln							x 1
	5						15													5																					2
и)		x3											1		ln x2 1 arctgx C; к)																																						C.
		x3			x2								1																						arcsinx ln											x		x2 1
					x2																														arcsinx ln											x		x2 1
	3											2
	3											2				2 x								5 x									1			x				2						x		4				x
																2 x								5 x									1			x				2						x		4				x
									1												5

12.4.7. а)																9								9			C; б)						49			2					49							49					C;
12.4.7. а)									27																		C; б)						49			2												49					C;
									27						ln			2			27		ln				5						ln		1					ln					2			ln			4
															ln			9					ln			9							ln		49					ln								ln			49
																		9								9									49						49										49
										x											x
							5			x								3	5		x
							5											3	5

	1				3		2									3			2
	1						2												2
в)																							C .
в)																							C .
	2				ln				5								ln		3		5
					ln												ln

23 2

12.4.8. а)						1	sin2x						1	sin8x C ; б)					1	sin5x			1	sin9x C;
12.4.8. а)							sin2x							sin8x C ; б)				10		sin5x		18		sin9x C;
				2							16							10				18
в)		3	cos		5x				3	cos		13x			C ; г)	x	sin2x				C; д)			x		sin6x	C;
	5			6				13			6			2				4						2	12
е)		x		sin8x							sin3 4x				C; ж) tg x x C .

	16			128							96
	16			128							96

237

12.4.9. а)

ln x2

6x 13

arctg

x 3

б)

ln x2 6x 5

x 1

x 5

в)

ln x2 6x 5

x 1

x 5

г) ln

x 4

;

x2 8x 12 C

д)

x2 4x 5 ln

x 2 x2 4x 5

x 2

е) 3arcsin

4x x2 5 C .

12.4.10. а)

sin2x

xcos2x C ; б)

2 7x sin7x cos7x C;

в) xe x e x C; г)

x2 3x lnx

3x C;

д)

xlog

C; е)

xarcsinx

1 x2 C;

ln2

2 x2

1 x arctg

ж)

arccosx

1 x2

C; з)

12.4.11. а)

x2 cosx 2xsinx 2cosx C; б)

x2 1e2x C;

в)

aeax sinbx beax cosbx

; г)

aeax cosbx beax sinbx

a2 b2

д)

sinlnx coslnx C; е)

sinlnx coslnx C.

12.4.12. In 1

2n 1

In .

2na2

x2 a2 n

12na2

12.4.13. а)

arctg

8 x2 4

б)

arctg x C

;

x2 13

x2 1

в)

x 2

arctg x 2 C.

2 x2 4x 5

238

12.5.1. Графики первообразных функций представлены на рис. 12.9– 12.12.

Рис. 12.9. Решение задачи 12.5.1, а Рис. 12.10. Решение задачи 12.5.1, б

Рис. 12.11. Решение задачи 12.5.1, в Рис. 12.12. Решение задачи 12.5.1, г

Требования к практическому усвоению темы «Интегральное исчисление функций одной переменной. Общие методы вычисления неопределенных интегралов»

Студент должен знать:

–определение неопределенного интеграла и его основные свойства;

–способ нахождения интегралов по таблице производных;

–таблицу интегралов с основной и промежуточной переменной интегрирования;

239

–способ проверки правильности результатов интегрирования дифференцированием;

–общие методы интегрирования (алгоритмы преобразования подынтегральных выражений и приведения их к табличным формам с помощью поправок, подведением под знак дифференциала, разложением на слагаемые, заменой переменной и интегрированием по частям).

Студент должен уметь:

–использовать основные свойства интеграла при его нахождении и проверке;

–определять табличный интеграл по известной таблице производных;

–выбирать наиболее рациональный общий метод интегрирования и реализовывать его при нахождении не табличных интегралов;

–находить простые не табличные интегралы, аналогичные приведенным в данной теме, при совместном использовании нескольких общих методов интегрирования.

240

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2924 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022619.79 Кб0m0925 (1).pdf
#
15.11.2022619.79 Кб1m0925.pdf
#
15.11.20221.64 Mб4m0927.pdf
#
15.11.20222.37 Mб0m0931.pdf
#
15.11.20224.8 Mб2m0935.pdf
#
15.11.20227.46 Mб2m0936.pdf
#
15.11.20222.25 Mб0m0937.pdf
#
15.11.20221.7 Mб0m0938.pdf
#
15.11.20229.08 Mб1m0939.pdf
#
15.11.20223.68 Mб4m0940.pdf
#
15.11.20221.36 Mб0m0942.pdf