m0936

Тема 13: Вычисление неопределенных интегралов от некоторых классов элементарных функций

13.1.Исходные положения

Впредыдущей теме при интегрировании элементарных функций в качестве первообразной получалась снова некоторая элементарная функция. Однако многие важные для приложений неопределенные интегралы не имеют первообразных, являющихся элементарными функциями. Такие интегралы называются «неберущимися». Для справок приводим список некоторых важнейших «неберущихся» интегралов.

«Неберущиеся» интегралы выражаются через специальные неэлементарные функции или находятся приближенно (например, с помощью функциональных рядов). Для некоторых «неберущихся» интегралов составлены специальные таблицы; значения таких интегралов можно найти также с помощью программ-

ных продуктов типа «MAPLE» или «MATHEMATICA».

Замечание. С одной стороны, наличие «неберущихся» интегралов не является каким-либо нонсенсом или парадоксом. Исторически сложилось так, что к моменту создания интегрального исчисления Лейбницем и Нью-

241

тоном множество рассматриваемых в математике и ее приложениях функций было недостаточно широким (это как раз те самые функции, которые мы теперь называем элементарными) и имеющегося множества функций просто не хватило для того, чтобы первообразные от функций из этого множества попали в это же множество. С другой стороны, интегральное исчисление позволило ввести новые функции. Например, одна из первообраз-

ных функции 1 называется интегральным логарифмом, одна из первообlnx

разных функции sin x – интегральным синусом и т.п. x

Далее будем рассматривать интегралы, «берущиеся» в элементарных функциях, которые широко используются в технических науках. При этом будут применяться общие методы и специальные методы, разработанные для отдельных видов функций.

Задачи к разделу 13.1

13.1.1. Используя список важнейших «неберущихся» интегралов, доказать, что следующие интегралы также являются «неберущимися»:

13.1.2. Показать, что для данной пары «неберущихся» интегралов один можно получить из другого заменой переменной или интегрированием по частям:

13.2. Интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных дробей)

13.2.1. Общие сведения

Дробно-рациональной функцией, или рациональной дробью

называется отношение многочленов Pm x (m – степень много-

Qn x

члена Pm x , n – степень многочлена Qn x ). Если m n, то ра-

циональная дробь называется правильной, если m n – непра-

242

вильной. Для интегрирования таких функций разработан специальный метод разложения:

–неправильная рациональная дробь представляется в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби;

–правильную рациональную дробь раскладывают на сумму простейших (элементарных) дробей.

Для неправильной рациональной дроби (m n) имеем

циональной дроби используют деление числителя на знаменатель «уголком».

3x3 x 1

3x3 4,5x

5,5x 1;

После выделения правильной рациональной дроби ее необходимо разложить на простейшие дроби.

243

n1, n2, , nl , s1, s2, , st – кратности корней; Aij, Bij, Cij – постоянные действительные коэффициенты, числовые значения которых подлежат определению.

Замечание. Индексы i, j у неопределенных коэффициентов Aij, Bij, Cij введены только для удобства понимания формулы (13.1); в конкретных примерах эти коэффициенты обычно обозначают буквами латинского или греческого алфавита без индексов.

В разложении правильной рациональной дроби встречаются простейшие дроби четырех типов:

244

После разложения правильной дроби на сумму простейших дробей необходимо определить числовые значения коэффициентов.

245

13.2.3. Методы нахождения коэффициентов простейших дробей

Для определения постоянных коэффициентов простейших дробей используют следующие методы:

–метод неопределенных коэффициентов многочленов;

–метод частных значений аргумента;

–комбинированный метод.

Первый метод – метод неопределенных коэффициентов многочленов – является наиболее общим и наиболее трудоемким. Он основан на известном алгебраическом факте, что если два многочлена равны как функции (т.е. при любом одном и том же значении аргумента многочлены принимают одинаковые значения), то эти многочлены равны тождественно (т.е. записываются одинаково или, иными словами, это один и тот же многочлен). При этом коэффициенты при одинаковых степенях переменной x у обоих многочленов равны.

Второй и третий методы являются, по существу, следствиями первого метода. Их применение позволяет существенно упростить вычисления.

Рассмотрим применение этих методов на примере.

определить значения коэффициентов A,B,C,D,E.

Решение. Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем

x 2

x2 x 1 x2 x 1

Ax x 1 x2 x 1 B x 1 x2 x 1 Cx2 x2 x 1 Dx E x2 x 1 .

x2 x 1 x2 x 1

Отбрасывая общие для обеих частей равенства знаменатели, получаем тождество

x 2 Ax x 1 x2 x 1 B x 1 x2 x 1 Cx2 x2 x 1

Если не все корни знаменателя исходной дроби действительны (как в нашем случае), для определения коэффициентов целе-

246

сообразно использовать комбинированный метод. При этом сначала используют метод частных значений аргумента. Тождество (13.2) справедливо при любом значении аргумента, поэтому принимаем значения аргумента, равные значениям действительных корней.

в тождество (13.2) и проведя алгебраические преобразования, приводим тождество к виду:

x4 x3 x2 x A D x4 E D x3 Ex2 Ax. (13.3)

Теперь используем первый метод – метод неопределенных коэффициентов. Для этого приравниваем в тождестве (13.3) коэффициенты при одинаковых степенях переменной x слева и справа (см. таблицу).

Замечание. Для проверки правильности вычисления коэффициентов используют метод частных значений аргумента. Если вычисления проведены верно, то тождество (13.4) должно выполняться при любом частном зна-

чении аргумента. Например, при x 2 из тождества (13.4) получаем 1 1.

7 7

Следовательно, вычисления проведены верно.

247

13.2.4. Общая методика интегрирования дробно-рациональных функций

Пусть необходимо вычислить интеграл Pm x dx при m n.

Qn x

1. Представляем неправильную дробь в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби. Для этого можно разделить числитель на знаменатель «уголком»:

2. Раскладываем знаменатель дроби на множители первой и второй степени (множители второй степени должны иметь отрицательный дискриминант; если это не так, то их можно разложить на множители первой степени). Раскладывать на множители можно, находя действительные корни многочлена Qn x или пользуясь формулами сокращенного умножения, когда это возможно.

3. Записываем правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами. При этом используем следующие правила:

– каждому однократному действительному корню x1 a со-

соответствует сумма двух простейших дробей первого и второго

вается число простейших дробей второго типа;

– каждому квадратному трехчлену x2 px q в знаменателе правильной дроби соответствуют некратные комплексносопряженные корни и одна простейшая рациональная дробь

третьего типа Mx N ; x2 px q

– если комплексно-сопряженные корни являются кратными, то им будет соответствовать сумма простейших дробей третьего

248

ичетвертого типов; например, двукратным комплексно-

личивается число простейших дробей четвертого типа.

4.После записи правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей в соответствии с предыдущим пунктом находим числовые значения коэффициентов простейших дробей; при этом в большинстве случаев целесообразно использовать комбинированный метод.

5.Интегрируем многочлен Pm n x и простейшие дроби; за-

писываем общее решение в виде суммы интегралов. Рассмотрим изложенную методику на конкретном примере.

Пример. Найти интеграл x3 2x 3dx.

x2 4x 8

Решение.

1. Подынтегральная рациональная дробь является неправильной; в соответствии с п. 1 разделим числитель на знаменатель «уголком»:

4x2 6x 3

4x2 16x 32

10x 29;

2. Знаменатель дроби является многочленом второй степени; найдем его дискриминант, для того чтобы понять, можно ли его разложить на множители первой степени: D 16 32 0. Значит,

дробь 10x 29 уже является простейшей дробью третьего ти- x2 4x 8

па, поэтому подынтегральную функцию представляем в виде:

249

3. Находим интеграл J1, используя метод подраздела 12.4.6:

Задачи к разделу 13.2

13.2.1. Разложить следующие правильные рациональные дроби на суммы простейших дробей: