Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m0936

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

7.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2921 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

2 – траектории точки

, получим

v , где

– алгебраиче-

ское значение скорости, знак величины v зависит от направления отсчета длины дуги («+» – в направлении движения точки, «–» –

в противоположном направлении). v

, так как

(см. рис. 11.6).

Таким образом, скорость точки в естественной системе коор-

динат имеет вид:

v v .

(11.16)

Дифференцируя (11.16) по переменной t, учитываем, что орт касательной поворачивается в пространстве при движении системы координат вместе с точкой по траектории. Тогда ускорение

будет иметь вид:

wn.

–

касательное

(тангенциальное) ускорение

точки.

2 d

wn v

n –

нормальное ускорение (R – радиус

кривизны).

Касательное и нормальное ускоре-

ния лежат в соприкасающейся плоско-

сти (рис. 11.16).

Рис. 11.16. Скорость и

Формулу для нормального ускоре-

ускорение точки при

ускоренном движении:

ния

можно использовать

1 – круг кривизны;

для определения радиуса кривизны так называемым кинематическим способом.

Рассмотрим этот способ на конкретном примере.

201

Пример. Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории обода колеса, катящегося по горизонтальной поверхности, если траекторией точки является циклоида x 20t sin20t, y 1 cos20t (рис. 11.17). Опреде-

лить значение радиуса кривизны Рис. 11.17. Траектория точки

при t 0 и t . 2

Решение. Находим скорость и ускорение точки М: vx x 20 1 cos20t ,

vy y 20sin20t,

vvx2 v2y 20 1 cos20t 2 sin2 20t 2021 cos20t

204sin2 10t 40sin10t ,

wx vx 400sin20t, wy vy 400cos20t, w wx2 w2y 400sin2 20t cos2 20t 400.

Найдем абсолютные значения скорости и ускорения точки М в прямоугольной системе координат. Эти значения сохраняются

ив другой естественной системе координат. Найдем касательное

инормальное ускорения точки в этой системе координат:

w dv 40sin10t 400cos10t; dt

wn w2 w2 4001 cos210t 400sin10t .

Тогда радиус кривизны будет равен:

v2 402 sin10t 2 4sin10t . wn 400sin10t

При t 0	0 0; при t
			4.
		2
	2

202

Задачи к разделу 11.7
11.7.1. Точка движется по параболе x t, y t t2 .	Опреде-
лить радиус кривизны траектории при любом значении t	кинема-
тическим способом.

11.7.2. Точка движется по эллипсу x 4cost, y 3sint. Опре-

делить радиус кривизны кинематическим способом при t . 4

11.7.3. Точка движется по линии x cost,y sint,z t. Опре-

делить радиус кривизны траектории при любом значении t кинематическим способом.

Ответы к задачам темы «Производные вектор-функции

иих приложения»

11.1.1.В годографе не отражается зависимость координат x, y от зна-

чений аргумента t.

11.1.2.График параметрически заданной функции является годографом вектор-функции.

11.1.3.Годографы вектор-функций представлены на рис. 11.18 –11.23.

Рис. 11.18. Решение задачи 11.1.3, а Рис. 11.19. Решение задачи 11.1.3, б

203

Рис. 11.20. Решение задачи 11.1.3, в

Рис. 11.21. Решение задачи 11.1.3, г

Рис. 11.22. Решение задачи 11.1.3, д Рис. 11.23. Решение задачи 11.1.3. е

11.1.4. Годографы вектор-функций представлены на рис. 11.24–11.29.

Рис. 11.24. Решение задачи 11.1.4, а Рис. 11.25. Решение задачи 11.1.4, б

204

Рис. 11.26. Решение задачи 11.1.4, в Рис. 11.27. Решение задачи 11.1.4, г

Рис. 11.28. Решение задачи 11.1.4, д

Рис. 11.29. Решение задачи 11.1.4, е

11.1.5. Вектор-функция

r t

непрерывна

точке

t0 ,

если

limr t r t0 .

t t0

r t x t i y t j z t k и, кроме

11.1.6. Пусть

того,

limx t x ,

t t0

limy t y

limz t z . Допустим, задано число 0, тогда по определе-

t t0

нию предела

действительной

функции

для числа

найдутся

числа

1 0,

3 0

такие, что

из

неравенства

t t0

следует

x t x

, из

неравенства

t t

следует

y t y

, а из нера-

z t z

венства

t t

следует

. Выберем min ,

и обо-

205

значим

x0,y0,z0 ,

тогда

для

t t0

будет

верно

соотношение

t r

x t

y t y

z t z

11.1.7. Следует из 11.1.5 и 11.1.6.

11.2.1. а)

r t r

t 0;

б) r t 3i

2j 5k;

r t

cos

38;

cos

; r

;

t 0

в)

2sinti

2costj;

2; cos sint,cos cost,cos 0;

2sintj;

2; cos cost,cos sint,cos 0;

t 2costi

2cost

г)

2costi 2sintj 5k;

29; cos

r t

2sint

2costj;

cos

;

t 2sinti

cos sint,cos cost,cos 0;

sgn sin2t

д)

t sin2tj

sin2tk;

sin2t

;

cos

sgn sin

, cos 0.

2r t r

;

11.2.2. а)

б)

в)

t ;

t r t ; г)

r t r t r

t ;

д) r t r

t r

r t r t r

t .

11.2.3. а)

r1 t r2 t 8cos2t ;

10tcostj 4cos2tk.

б) r1 t r2 t 10tsinti

11.2.4. Ортогональность векторов равносильна равенству нулю их скалярного произведения.

					и
Пусть r	t x t i y t j z t k , тогда r t x t i y t j z t k				и

r t r t x t x t y t y t z t z t 1 x2 t y2 t z2 t

1 r t 2 0. 2

11.3.1. а) X 3 Y 1; б) X 1 Y 1,5; в) Y 3; г) X 2.

1			1			2	3
11.3.2. а)	X	Y		Z	и	X 42		Y 28		Z 70	;
3		2	5		3		2		5

206

б)	X		Y 2		Z	; в)	X 1		Y		Z 2	.
2		0		5			0	1		0

11.3.3. x t0 X x t0 y t0 Y y t0 z t0 Z z t0 0.

			11.3.4. а)				3X 2Y 5Z 0 и 3 X 42 2 Y 28 5 Z 70 0;
			б) 2X 5Z 0; в) Y 0.
			11.4.1. Траектория – эллипс								x2	y2
													1,			v 3sinti		4costj ,
											3	4	1,			v 3sinti		4costj ,
											3	4
					3															3
v						2	, v							4sintj , w								2
						2																2
									2 2,	w 3costi														,
x	4				2		y	4								x	4				2
w
				2 2 .


	y	4
																							3
			11.4.2. Траектория – часть параболы											4x	2	9y 18, v							3		2	,

																								2
																		x	4					2

vy 4 4.

11.4.3.x a 2 y2 a2 .

11.4.4.Указание: принять центр О за начало системы координат, рас-

смотреть три произвольных радиус-вектора, учитывая условие коллинеарности радиус-вектора соответствующему вектору ускорения, убедиться, что смешанное произведение радиус-векторов равно нулю.

	3 10
11.6.1. а) K 0 0, K 1		,K 0; б) K 0 0, K		1;
	50		2

в) K 2	2	,K 0,K(0) 0; г) K 0 K 1				1	; д) K 1	2	.
	4		1			R		4
11.6.2. а)	R 0			; б) R	k 1; в) R 2 1.

	2			2

11.6.3. а) Доказательство почти дословно совпадает с доказательством аналогичной формулы для явно заданной функции с единственной поправ-


кой – нельзя считать, что x t 1.
б) Если y f x , то, полагая,			что x t, y f t , получаем параметри-
ческое задание той же функции.
11.6.4.		а) K t 0 в любой		точке; кривизна прямой равна нулю;
б) K t	1	в любой точке; радиус кривизны окружности совпадает с ра-
б) K t	R	в любой точке; радиус кривизны окружности совпадает с ра-
	R
диусом этой окружности; в) K t				2a	.
				2a
				3
				1 2ax b 2 2

207

11.6.5. Формулы перехода от декартовых координат к полярным:

x cos ,	y sin .	Поэтому	x
					cos sin ,

y sin cos .

Далее вычисляем производные:

x
		cos 2 sin cos ,
y
		sin 2 cos sin . Подставляя эти выражения в

формулу для кривизны параметрически заданной линии, получим требуемое.

11.6.6. а)	K	2 2		; б) K	2		(окружность).
		3
		2 1			a
			2
11.6.7. а)	K t 0 (прямая); б) K t					1		(окружность);

	R					R
в) K t		(винтовая линия). Замечание: существуют всего три
	R2 a2

вида линий, кривизна которых постоянна в любой точке: прямые, окружности и винтовые линии.

11.7.1. R v3 . 11.7.2. R 125 . 11.7.3. R = 2.

Требования к практическому усвоению темы «Производные вектор-функции и их приложения»

Студент должен знать:

–определение вектор-функции скалярного аргумента r r t как переменного вектора, его задание с помощью скалярных функций, понятие годографа переменного вектора;

–определение производной вектор-функции первого и высших порядков, правила дифференцирования;

–геометрический смысл векторной производной;

–алгоритм определения касательной к годографу переменного вектора;

–физический смысл векторных производных по времени, физический смысл годографа переменного вектора;

–определение первой производной векторной функции по дуговой координате;

–определение и вычисление кривизны и радиуса кривизны кривой;

208

–определение естественной системы координат и ее приложение в кинематике материальной точки;

–алгоритм вычисления радиуса кривизны кривой кинематическим способом.

Студент должен уметь:

–вычислять векторные производные первого и высших порядков;

–находить уравнение касательной к годографу заданного переменного вектора;

–определять траекторию, скорость и ускорение точки, заданной переменным вектором;

–находить кривизну и радиус кривизны заданной кривой в прямоугольных координатах;

–определять радиус кривизны кривой как траектории точки кинематическим способом.

209

Тема 12: Интегральное исчисление функций одной переменной. Общие методы вычисления неопределенных интегралов

12.1. Исходные положения

Методы дифференциального исчисления позволяют по известной функции F x найти ее производную или дифференциал

dF x f x , dF x f x dx. dx

Интегральное исчисление позволяет решать обратную задачу: по известной производной f x неизвестной функции F x

найти указанную функцию.

Функция F x , удовлетворяющая условию F x f x , на-

зывается первообразной функции f x . Каждой функции f x

соответствует множество первообразных, отличающихся друг от друга на произвольную постоянную F x C .

Множество всех первообразных F x C \|C R		функции
f x называется неопределенным интегралом функции		f x .
В математической (символьной) форме неопределенный ин-
теграл представляется так:
f x dx F x C,
где – знак интеграла; x	– переменная интегрирования; f x –
подынтегральная функция;	F x – первообразная функции f x

(любая); C – произвольная постоянная.

Задачи к разделу 12.1

12.1.1. Докажите, что следующие множества функций задают один и тот же неопределенный интеграл:

а)

x C

x 1 2

;

sin2 x

cos2x

б)

;

в)

ln2x C1

и ln5x C2.

210

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2921 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022619.79 Кб0m0925 (1).pdf
#
15.11.2022619.79 Кб1m0925.pdf
#
15.11.20221.64 Mб4m0927.pdf
#
15.11.20222.37 Mб0m0931.pdf
#
15.11.20224.8 Mб2m0935.pdf
#
15.11.20227.46 Mб2m0936.pdf
#
15.11.20222.25 Mб0m0937.pdf
#
15.11.20221.7 Mб0m0938.pdf
#
15.11.20229.08 Mб1m0939.pdf
#
15.11.20223.68 Mб4m0940.pdf
#
15.11.20221.36 Mб0m0942.pdf