Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

877.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Индекс (e) указывает на то, что суммирование производится по двухмерным конечным элементам, а индекс (g) отвечает за суммирование по одномерным конечным элементам по границе расчетной

области.
Локальные матрицы коэффициентов k (e) ,	k (e) ,	k ( g ) ,	k (e) ,
			g
k (Ig ) определятся следующим образом:
k (e) B T B dS

S( e )

1bibi cici

4S(e) bjbi cj cibk bi ck ci

bibj cicj bjbj cj cj bk bj ck cj

bibk	ci ck
b b	c c		;	(6.95)
j k	j	k
b b	c c
k k	k	k

						Ni2				Ni N j
k (e)		N T N dS			Ni N j					N 2j

	S( e )			S( e ) N			N	k		N	N	k
						i		k		j		k
					2	1			1
			S(e)
					1	2			1	;
			12		1	2			1	;
						1
					1	1			2

Ni Nk

N j Nk dS

Nk2

(6.96)

k ( g )		N T N dL		2
k ( g )		N T N dL		Ni

	L		L
	( g )		( g ) Ni N j
		k (ge) N T dS
		S( e )		S( e )

Ni N j						L( g ) 2
N	2		dL					1
	2		dL		6
	j				6

Ni				S(e)			1
				S(e)
N j		dS					1		;
N j		dS			3		1		;
					3
Nk							1

2 ; (6.97)

(6.98)

(e)			i		j		k		S(e)
I
k		N dS		N N		N		dS	3	1 1	1 . (6.99)

	S( e )		S( e )

В результате решения сформированной системы уравнений в каждом узле расчетной области вычисляются реальная и мнимая составляющие комплексной амплитуды магнитного потенциала и для каждого из проводников – реальная и мнимая составляющие

комплексной величины G .

После этого определяется плотность тока Js i Gs (в преде-

лах одного проводника есть величина постоянная), затем распределение плотности тока в проводнике находится из выражения

J Js i A .

7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Выше были рассмотрены магнитодинамические задачи, в которых магнитное поле изменяется во времени по гармоническому закону. В этом случае при использовании комплексных амплитуд задача сводится к квазистационарной. В данной главе рассмотрим применение метода конечных элементов для решения задач нестационарных процессов теплопроводности, описываемых уравнением [6]


c	t	t qV ,		(7.1)


где c – удельная теплоемкость, Дж/(кг·°С);				– плотность среды,
кг/м3; t – температура, °С; – время,				с; – коэффициент
теплопроводности, Вт/(м·°С);			qV – удельная мощность внутрен-
него источника тепла, Вт/м3;			– дифференциальный оператор

Набла.

При решении нестационарных задач, кроме геометрических, теплофизических и граничных условий, необходимо задавать начальные условия, т.е. необходимо знать температурное поле в нулевой момент времени. В результате решения такой задачи находится распределение температуры, как по пространственным координатам, так и по времени.

7.1. Решение нестационарной одномерной осесимметричной задачи теплопроводности

Рассмотрим задачу нагревания изолированного провода (рис. 7.1), которая описывается нестационарным уравнением теплопроводности водномерной осесимметричнойпостановке:

	t	1		t
c			r		qV .	(7.2)

		r r		r

Ra	Rb r
0
Рис. 7.1. Схема изолированного провода

Граничные условия: на оси rt r 0 0 ; на внешней поверхности

r R

(tr R

t0 ) .

Здесь

–

коэффициент

теплоотдачи,

Вт/(м²·°С); t0

– температура окружающей среды, °С.

В нулевой момент времени температура постоянна: t(r,0) tН .

Внутренним источником тепла является электрический ток,

протекающий по токопроводящей жиле ( qV

0 ). Величина qV оп-

ределяется по закону Джоуля – Ленца [7].

Применяя метод Галёркина, получим

dV 0

(7.3)

где u – приближенное решение.

Так как

T 1

N T

r r

то

T 1

N T

(7.4)

r r

В результате интегрирования выражения (7.4) получим

T 1

N T

(7.5)

dV .

По теореме Остроградского – Гаусса имеем

(7.6)

где

– интеграл по замкнутой поверхности тела.

Тогда для одномерной осесимметричной задачи интеграл через боковую поверхность определится как

	T	u	2 Lz	T	u
	N	dS		N	Rbd dz
S		r	0 0		r

2 Lz Rb N T u ,

а объемные интегралы

N T

2 Lz Rb N T

rd dzdr

0 0 0

T u

2 Lz

rdr ;

(7.7)

(7.8)

	2 Lz Ra	Ra
N T qV dV		N T qV rd dzdr 2 Lz	N T qV rdr ; (7.9)
V	0 0 0	0

N T c		2 Lz Rb	N T c		u rd dzdr
N T c	u dV		N T c		u rd dzdr
V		0 0 0
V		0 0 0
		R		u rdr.
	2 Lz b N T c			u rdr.		(7.10)
		0
		0

где Lz – длина.

Неизвестная функция u в уравнении (7.10) определяется соотношением u N U .

Производные по пространственной и временной координате запишутся [3, 4] следующим образом:

u	N U			N		U ;
r		r		r

u		N U			U
			N				;

r Rb (ur Rb t0 ) ( N U r Rb t0 ) .

(7.11)

(7.12)

(7.13)

С учетом полученных выражений (7.7)–(7.13) уравнение (7.3) можно записать как

b c N T N rdr

N T

rdr U

q rdr

r R

r r

0 b

R N

U t R N

(7.14)

Переход от выражения (7.14) к сумме интегралов по элементам дает следующее выражение:

m (e)

(e)

, (7.15)

(e)

где k (e)			B T B rdr ;	k (e) N T N r R ;				f (e) t0 Rb N T	;
							b		r Rb
		L( e )
(e)	qV		T	(e)		T	N rdr .
f qV	qV		N rdr ; m		c N		N rdr .
		L( e )				L( e )
Параметры , , c				и qV		постоянны в пределах конечного эле-

мента. Матрица m (e) называется локальной матрицей теплоемко-

сти (демпфирования) [3, 4].

Функции формы N и матрица градиентов одномерного сим- плекс-элемента имеют вид

r R

(e)

;

N j

dNi

dN j

(e) 1 1 ,

N j

где L(e) Rj Ri – длина конечного элемента. С учетом того, что

r Ni Ri N j Rj	и L1a L2bdx	a!b!	L(e) ,
		a b 1 !
	e

локальные матрицы коэффициентов, теплоемкости и локальные век- тор-столбцысвободныхчленовопределятсяследующимобразом:

(e)

1 Rj

B rdr

Ni Ri

N j Rj dr

L(e)

1 1

L( e )

1 L(e) Ri

RСр

(7.16)

;

L(e)

(e)

1 1

m (e) c N T

N rdr c

Ni N2 j r

( e )

N j Ni r

N j r

	Ni3 Ri Ni2 N j Rj			Ni2 N j Ri Ni N j 2 Rj
c	2	2		2	3		dr
( e )		N j Ri Ni N j	Rj	Ni N j	Ri N j	Rj
L Ni

cL(e)

3Ri Rj

Ri Rj

;

Ri Rj

Ri 3Rj

k (e) N T N

N j

r Rb

N j

r Rb

0 0

0 1

;

1 0

1 1

(e)

f qV

rdr

L( e )

(7.17)

(7.18)

Ni2 Ri Ni N j Rj

q L(e)

2Ri Rj

N R

;

( e ) N

2Rj

j i

(e)

t0 Rb

Rbt0

r Rb

Запишем выражение (7.15) в виде [3, 4]

(7.19)

(7.20)

		M	U G			K U		F ,	(7.21)
		M				K U		F ,	(7.21)
						G
						G
где	M m (e)		–		глобальная			матрица	теплоемкости;
		(e)
K		b
K	(e)	k (e) R k	(e)		– глобальная матрица коэффициентов;
F f (qeV) f (e)			–	глобальный			вектор-столбец свободных
	(e)

членов; U G – глобальный вектор-столбец узловых неизвестных.

Частную производную по времени заменим конечноразностным выражением [3, 4]

U m

U m 1

G ,

(7.22)

где m – индекс, отвечающий за временной слой.

Тогда с учетом (7.22) выражение (7.21) запишется как [4]

U m

U m 1

U m

(1 )

U m 1

(7.23)

F m (1 ) F m 1 ,

где

– весовой коэффициент ( 0 – явная разностная схема;

1 –

неявная разностная

схема;

0,5

–

разностная

схема

Кранка-

Николсона).

С учетом значений весовых коэффициентов выражение (7.23)

преобразуется к матричному уравнению следующим образом [4]:

– для явной схемы

U m

M K

U m 1

F m 1

;

(7.24)

– для неявной схемы

U m

U m 1

F m

;

(7.25)

– для схемы Кранка-Николсона

U m

M K

U m 1

F m 1

F m

(7.26)

Необходимо отметить, что явная разностная схема обладает устойчивостью при определенном соотношении между шагами по пространственной и временной координатам. Неявная схема и схема Кранка-Николсона являются абсолютно устойчивыми [4].

7.2. Решение нестационарной двухмерной задачи теплопроводности с использованием симплекс-элементов

Решим двухмерную задачу нестационарную теплопроводности методом конечных элементов [6]:

qV .

Применение метода Галёркина к уравнению (7.27) даёт

qV dV 0 .

(7.27)

(7.28)

Врезультате преобразований, рассмотренных в подразд. 5.2

и7.1, получим

c N T N dS

B T

B dS

T q dS

N T

dL U

N T qdL N T t0dL 0.

(7.28)

Замена интегралов в уравнении (7.28) на сумму интегралов по элементам даст

где m (e) c

S( e)

m (e)

(e)

U f

(e)

( g )

k ( g ) U f ( g ) f ( g )

dS ; k

B dS ; f qV

(e)

S( e)

;(7.29)

(7.30)

qV (e) N T dS;

S( e )

k ( g )		N T N dl ; f ( g )		t0	N T dl ; f ( g )		qS N T dl .
					q
	L( g )		L( g )			L( g )
						q
100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.89 Mб7Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf
#
12.11.202322.32 Mб18Метод крупных частиц в газовой динамике..pdf
#
12.11.20239.79 Mб1Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы..pdf
#
12.11.20238.08 Mб5Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике..pdf