Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

877.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Пусть векторы плотности тока J и магнитного потенциала

A направлены по оси z . Тогда уравнение для векторного магнитного потенциала в одномерной осесимметричной постановке запишется как

	1 d		dA
		r	z a J 0 ,	(4.42)
		r	z a J 0 ,	(4.42)
	r dr		dr
где Az –	проекция векторного магнитного потенциала на ось				z ;
J I SC	– ненулевая компонента плотности тока по оси			z ; I	–
заданный ток, А; SC – сечение токопроводящей жилы.

Примем, что на оси симметрии dAdrz 0 , а на бесконечном уда-

лении магнитный потенциал равен нулю.

В результате применения метода Галёркина к уравнению (4.42) получим

T		1	d		du	T
N				r	dV N		a JdV 0 ,	(4.43)

V	r		dr		dr	V

где u – приближенное решение.

По аналогии с преобразованиями (4.26)–(4.30) первый интеграл в уравнении (4.43) запишется следующим образом:

T 1

d N

dV 2 Lz

rdr

r dr

T du

(4.44)

2 Lz Rb N

Второй интеграл в уравнении (4.43) преобразуется как

2 Lz Ra

N T a JdV

N T a J rd dzdr 2 Lz

N T a Jrdr. (4.45)

0 0

После подстановки выражений (4.44) и (4.45) в уравнение (4.43) и умножения на 1 левой и правой частей получим

Rb d N T

T du

rdr

N a Jrdr Rb N

(4.46)

Неизвестная функция u

в уравнении (4.46) определяется соот-

ношением

u N U ,

(4.47)

а градиент

d N U

d N

U ,

(4.48)

где U – вектор столбец узловых неизвестных.

Поскольку в уравнении (4.46) выражение Rb N T du

содер-

жит множитель dudr , то в этом случае его можно использовать в ка-

честве граничного условия на бесконечно удаленной границе, которое можно записать в виде граничного условия Робина [8–11]:

du		1 u ,	(4.49)
dr

где Rb – расстояние от центра проводника до границы области,

на которой задано условие бесконечной границы. Тогда

R	N T du	Rb	N T N U N T N U . (4.50)

b
	dr

Уравнение (4.46) с учетом выражений (4.47), (4.48) и (4.50) запишется как

Rb	d N	T	d N		R	Ra
	d N		d N	rdr U N T N U b			N T a Jrdr . (4.51)
	dr		dr	rdr U N T N U b			N T a Jrdr . (4.51)
	dr		dr			0
0						0

Функции формы N одномерного симплекс-элемента имеют вид

Rj r

r R

(e)

(4.52)

N j

а матрица градиентов запишется как

d N

dNi

dN j

N j

(e) 1

1 ,

(4.53)

где L(e) R

R .

С учетом выражения (4.53) уравнение (4.51) примет вид

b B T B rdr U N T N U Rb a N T a Jrdr .

(4.54)

Уравнение (4.54) перепишем в виде

k (e) U

U f (e)

(e)

k (e)

(4.55)

где k (e) B T B rdr ;

k (e)

N T N r Rb ;

f (e)

a J N T rdr .

L( e )

Локальная матрица коэффициентов k (e)

определится по фор-

мулам (4.40) или (4.41):

(e)

B rdr

Ср

(4.56)

(e)

L( e )

На правой границе расчетной области матрица k (e)

записыва-

ется как

(e)

(4.57)

Локальный вектор-столбец свободных членов определится следующим образом:

	Rj N		Ni Ri N j Rj dr
f (e) a J N T rdr a J		i	Ni Ri N j Rj dr
L( e )	Ri N j

Rj Ri Ni2

Rj Ni N j

J L(e)

2Ri Rj

(4.58)

a J

N 2

R N

Ri 2Rj

i i

Окружная компонента вектора магнитной индукции по результатам полученного распределения векторного магнитного потенциала вычисляется по формуле

B dudr .

5. РЕШЕНИЕ ДВУХМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ МКЭ

5.1.Решение двухмерной задачи электростатики

сиспользованием симплекс-элемента

Рассмотрим задачу определения электрического потенциала в двухмерной области на примере трехжильного кабеля в металлической оболочке (рис. 5.1). Заданы значения потенциалов на токопроводящих жилах и потенциал металлической оболочки, который равен нулю. Распределение потенциала в декартовой системе координат описывается уравнением Лапласа [7]:

						0 ,	(5.1)


	x	x	y		y
где – электрический потенциал;				– относительная диэлектриче-
ская проницаемость.

Рис. 5.1. Трехжильный кабель

в металлической оболочке

Рассмотрим применение метода Галёркина к решению уравнения (5.1). Подстановка (5.1) в (3.7) даёт

T		u		u
N				dV 0 .	(5.2)

V	x	x	y	y

где u – приближенное решение.

Так же как и для одномерной задачи, необходимо преобразовать уравнение (5.2) в уравнение, содержащее только первые произ-

водные по x и

y . Рассмотрим данную процедуру на примере вто-

рой производной по координате x :

N T

(5.3)

Тогда первое слагаемое в интеграле (5.2) преобразуется к виду

T		u			T	u
N		dV			N	dV

V	x	x	V	x		x

N T u dV. V x x

По теореме Остроградского – Гаусса имеем

		T	u		T	u
		N	dV		N	lx dSb ,

V	x		x	Sb		x

(5.4)

(5.5)

где Sb – площадь боковой поверхности объема V (рис. 5.2); lx –

направляющий косинус внешней нормали к боковой поверхности. Аналогичным образомвуравнении(5.2) преобразуется интеграл

N T		u
			dV .
		y
V	y

Объединяя соотношения (5.4) и (5.5) с аналогичными соотношениями для приведенного выше интеграла и учитывая, что dV hdS и dSb hdL , уравнение (5.2) можно переписать в виде

h N

ly dL

N T

(5.6)

V=hS

Sb=hL

Рис. 5.2. Произвольная область исследования

Левую и правую части уравнения (5.6) можно разделить на толщину h (рис. 5.2), а интеграл по контуру L в (5.6) может быть выражен через величину u n [3]:

N T

N T u

dS N

dL 0

(5.7)

где n – нормаль к границе.

Неизвестная функция

в уравнении (5.7)

определяется соот-

ношением

u N U ,

(5.8)

так что

u N U N U иx x x

u N U N U . (5.9)

y y y

Подставляя полученные формулы (5.9) в первый интеграл (5.7), имеем

	N T N		N T N
					dS U .	(5.10)
	x	x	y		dS U .	(5.10)
	x	x	y	y
S
Интеграл N T u dL в уравнении (5.7) может быть исполь-
L	n

зован для учета граничных условий. В данном случае на границах расчетной области заданы граничные условия первого рода. Потенциал на металлической оболочке равен нулю, а к токопроводящим жилам приложены определенные значения потенциалов. Таким об-

разом, интеграл N T

u dL 0 .

С учетом указанного выше замечания и выражения (5.10) урав-

нение (5.7) запишется как

N T

dS U 0 .

(5.11)

Перепишем уравнение (5.11) в виде

B T B dS U 0 ,

(5.12)

где B

N – матрица градиентов.

В результате замены интегрирования по всей области S на сумму интегралов по конечным элементам уравнение (5.12) запишется как

k (e) U 0 ,

(5.13)

(e)

где k (e) B T B dS .

S( e )

Относительная диэлектрическая проницаемость в пределах конечного элемента является постоянной величиной.

Для решения задачи используем треугольные симплексэлементы. Тогда интерполяционный полином записывается следующим образом:

u NiUi N jU j NkUk

N U ,

(5.14)

X jYk XkYj ;

где N

a b x c y ;

Y ;

или

2S(e)

c X

;

2S(e)

bj x cj y ;

XkYi XiYk

;

1 Xi

N j

Y Y ;

или N j

;

(e)

2S(e)

1 Xk

Xi Xk ,

XiYj

X jYi ;

1 X

bk x ck y ;

или N

Y Y

;

2S(e)

X j Xi ,

1 x

Здесь S(e) – площадь треугольного симплекс-элемента.

Тогда матрица градиентов находится как

N j

xNiy

N j	Nk
			b	b		b
x	x	1	b	b	j	b
x	x	1	i		j	k
N j	Nk	(e)	i	cj		ck
N j	Nk	2S	ci	cj		ck

y	y
y	y

(5.15)

(e)

X j

Xi Xk

X j Xi

Локальная матрица коэффициентов k (e) в выражении (5.13) определяется следующим образом:

k (e) B T B dS B T B dS B T B S(e)

S( e ) S( e )

1bibi cici

4S(e) bjbi cj cibk bi ck ci

bibj cicj bjbj cj cj bk bj ck cj

bibk	cick
b b	c c	.	(5.16)
j k	j k
b b	c c
k k	k k

Компоненты вектора напряженности электрического поля в заданной области рассчитываются по формулам

Ex ux ; Ey uy .

5.2. Решение стационарной двухмерной задачи теплопроводности с использованием четырехугольного элемента

Дифференциальное уравнение двухмерной стационарной задачи теплопроводности имеет вид [6]

0 .

(5.17)

Уравнение (5.17), например, описывает распределение стационарного температурного поля в кабеле (см. рис. 5.1), в котором источником тепла является электрический ток, протекающий по токопроводящим жилам.

В результате применения метода Галёркина к уравнению (5.17) получим

qV dV 0 ,

(5.18)

где u – приближенное решение.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.89 Mб6Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf
#
12.11.202322.32 Mб18Метод крупных частиц в газовой динамике..pdf
#
12.11.20239.79 Mб1Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы..pdf
#
12.11.20238.08 Mб5Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике..pdf