Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

877.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

а объемный интеграл

	T			R		Rb		T		R
	d N	du				d N			du
					dV 2 Lz						rdr .
	dr		dr		dV 2 Lz		dr		dr		rdr .
V	dr		dr			0	dr		dr

Выражение

N T a g I dV 2 Lz N T a g I rdr .

(6.41)

(6.42)

С учетом полученных выражений уравнение (6.32) можно записать как

d N

rdr

a g

rdr Rb N

duR

(6.43)

После аналогичных преобразований уравнения (6.33) получим

d N

N au

rdr

a g

rdr Rb N

duI

(6.44)

Неизвестные функции uR и uI

в уравнениях (6.43) и (6.44) оп-

ределяются соотношениями:

; uI

(6.45)

U R

U I

Производные по радиусу от uR

и uI

находятся следующим об-

разом:

duR

d N

U R

d N

;

duI	d N U I	d N	U	I	.	(6.46)
dr	dr
		dr

Функции формы N одномерного симплекс-элемента имеют вид

		Rj r		r R
					,	(6.47)
			(e)	(e)
N Ni	N j		(e)	(e)
				i
			L	L

где L(e) Rj Ri – длина конечного элемента.

Для одномерного симплекс-элемента матрица градиентов запишется как

dNi

dN j

(e) 1

1 .

(6.48)

N j

В пределах одного проводника g R const

и g I const .

T duR

T duI

в уравнениях (6.43)

Выражения Rb N

и Rb N

и (6.44) используются для аппроксимации условия бесконечной границы, которое можно записать в виде граничного условия Роби-

на [8–11]

du		1 u ,	(6.49)
dr

где – расстояние от проводника до границы области, на которой задано условие бесконечной границы ( Rb ).

Тогда для компоненты uR можно написать

T duR

N U R

. (6.50)

Аналогичноевыражениеполучаетсяидля второй компоненты uI . Уравнения (6.43) и (6.44) с учетом выражений (6.45), (6.46),

(6.48) и (6.49) запишутся следующим образом:

B T B

rdr

U R

T N rdr U I

r Rb

(6.51)

rdr g

N U

N T N rdr U R

B T B

rdr U I

r Rb

(6.52)

rdrg

N U

Уравнение (6.34) с учетом (6.45) запишется как

a N dS U I dS a g I dS a I R .

(6.53)

С учетом того,

что

dS U I

rdr U I

и a g I dS a g I 2 rdr

2 a

g I

, получим

I R .

(6.54)

N rdr U I

R 2 g I

Аналогичным образом преобразуется уравнение (6.35):

a I I

(6.55)

N rdr U R

2 g R

В результате замены интегрирования по всей области на сумму интегралов по конечным элементам получим систему алгебраических уравнений:

k (e)

U R

k (e)

U I

k (e)

U R

(e)

a k (ge) g I 0 ;

(6.56)

(e)

k (e)

U R

k (e)

U I

k (e)

U I

0 ;

a k (ge)

g R

(6.57)

k (e)

U I

R 2 g I

I R

;

(6.58)

(e)

k (e)

U R

2 g R

I R ,

(6.59)

(e)

где k (e)

B T B rdr ;

k (e)

N T N rdr ;

k (Ie) N rdr ;

L( e )

k (e)

N T

N r Rb ; k (e)

T rdr .

L( e )

Определим локальные матрицы коэффициентов.

Поскольку r Ni Ri N j Rj

L1a L2b dr

a!b!

L(e) , то

b 1 !

L( e )

(e)

1 1 Rj

Ni Ri N j Rj

B rdr

L(e)

L( e )

1 Ri

1 L(e) Ri

RСр

;

(6.60)

L(e)

(e)

k (e)

N T

N rdr

Ni N j r

(e )

( e )

N j Ni r N j

Ni3 Ri

Ni2 N j Rj

Ni 2 N j Ri Ni N j 2 Rj

( e )

N j Ri

Ni N j

Ri N j

(e)

3Ri

Rj ;

(6.61)

3Rj

k (ge)

L( e )

N T rdr	N		r
		i	rdr
	L( e ) N j r			L( e )

L(e) 2Ri Rj

6 Ri 2Rj

Ni2 Ri Ni N jNi N j Ri N j 2

Аналогичным образом определяется

Rj dr

(6.62)

(e)		L(e)
k I	N rdr		2Ri Rj	Ri 2Rj .
		6
	L( e )

На правой границе расчетной области матрица k (e)

лится как

(e)

r R

N j

r Rj

N N

N j

0 0

0 1

1 0

1 1

(6.63)

опреде-

(6.64)

В результате решения сформированной системы уравнений в каждом узле расчетной области вычисляются реальные и мнимые

составляющие комплексной амплитуды магнитного	потенциала
и комплексной величины g .
Плотность тока Js определяется по формуле
Js i g .	(6.65)

После этого значение комплексной величины плотности тока в проводнике в узлах конечных элементов находится из выражения

J Js i U .

(6.66)

6.3.Решение двухмерной магнитодинамической задачи

сиспользованием симплекс-элемента

Рассмотрим двухмерную магнитодинамическую задачу, аналогичную той, что была представлена в подразд. 5.3, но при условии протекания по токопроводящим жилам переменного тока заданной частоты (см. рис. 5.6).

Уравнение (6.19) для магнитного потенциала в двухмерной постановке запишется как

	2			2		A		J		0 ,	(6.67)
		Az			Az i
x2			y2			a z	a		s

где Az – проекция комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала на ось z .

Уравнение (6.67) с переходом к переменной G преобразуется к виду

	2			2		A	i	G	0 .	(6.68)
		Az			Az i
x2			y2			a z	a

Уравнение (6.68) необходимо дополнить уравнениями для заданных величин тока в проводниках. Ток в проводнике определится по формуле

I	J ds i Az i aG ds ,	(6.69)
SC	SC

где SC – площадь поперечного сечения проводника. Комплексные величины запишем в алгебраической форме:

(6.70)

; G G

; I

Врезультате подстановки выражений (6.70) в уравнения (6.68)

и(6.69) и после разделения реальной и мнимой частей получим следующую систему уравнений:

2 AR		2 AR			AI	GI 0 ;	(6.71)
x2		y2		a	a

		AR 2 AI	2 AI		GR	0 ;	(6.72)
	a	x2	y2	a
a AI aGI ds a I R ;							(6.73)
SC
a AR 0GR ds a I I .							(6.74)
SC

Рассмотрим применение метода Галёркина к уравнению (6.71):

T	2uR		2uR		au	I	a g	I	(6.75)
N	x	2	y	2				dV 0 ,
V

где u и g – приближенные решения.

Так же как и для одномерной задачи, необходимо преобразовать уравнение (6.75) в уравнение, содержащее только первые производные по x и y . Рассмотрим на примере координаты x . Первое

слагаемое в интеграле (6.75) преобразуется к виду

T 2uR

T uR

dV . (6.76)

По теореме Остроградского – Гаусса имеем

T uR

lx dS ,

(6.77)

где Sb –

площадь боковой поверхности объема V

(см. рис. 5.2).

При этом dV hdS и dSb hdL .

Аналогичные преобразования выполняем по координате y .

С учетом указанных преобразований уравнение (6.75) можно записать в виде

T uR

N T uR

ly dL

N T auI dS N T a g I dS 0.

(6.78)

Первый интеграл в уравнении (6.78) определяется следующим образом:

T	uR		uR			T uR
N		lx		ly dL N				dL ,	(6.79)
	x		y				n
L					L

где n – нормаль к боковой поверхности (нормаль к контуру L,

см. рис. 5.2).

Тогда уравнение (6.78) примет вид

N T uR

au dS

dS N

N T a g I dS N T

dL 0.

(6.80)

В результате аналогичных преобразований уравнения (6.72) за-

пишем как

T uI

N T uI

N au

N T a g R dS N T

dL 0.

(6.81)

Неизвестные функции uR

и uI в уравнениях (6.80) и (6.81) ап-

проксимируются соотношениями:

;

(6.82)

U R

U I

Производные по координатам

от uR и uI определятся

следующим образом:

duR

N U R

;

d N

;

duI

d N U I

d N

;

(6.83)

N U

d N

В пределах одного проводника g R const и g I const .

	T uR		T uI		dL в уравнениях (6.80)
Выражения N		n	dL и N	n
L			L

и (6.81) используются для аппроксимации условия бесконечной границы, которое можно записать в виде граничного условия Робина [8–11]

du		1 u ,	(6.84)
dn

где – расстояниеотцентракабелядограницыобласти (см. рис. 5.6).

Уравнения (6.80) и (6.81) с учетом выражений (6.82)–(6.84) запишутся следующим образом:

N T N

dS U

N T N dS U I

N T dS g I

1 N T N dL U R

(6.85)

T N dS U R

N T

N T N

dS U

(6.86)

dS g

dL U

Уравнения (6.73) и (6.74) с учетом (6.82) запишутся следующим образом:

a N dS U I dS a g I dS a I R ;		(6.87)
SC	SC
	a N dS U R dS a g R dS a I I .	(6.88)
SC	SC

Рассмотрим решение данной задачи на примере использования треугольных симплекс-элементов. Примем, что в пределах одного проводника и a являются постоянными величинами.

В результате перехода к сумме интегралов по конечным элементам получим систему алгебраических уравнений:

k (e)

(e)

U R

k (e)

U I

k (e) g I

;

(6.89)

1 k (e)

U R

;

(6.90)

( g )

k (e)

(e)

k (e)

U R

U I

k (e) g R

;

(6.91)

k (e)

U I

;

(6.92)

( g )

a k (Ie) U I a SC g I a I R ;

(6.93)

(e)

a k (Ie) U R a SC g R a I I

(6.94)

(e)

где k (e)

B T B

dS ;

k (e)

N T N dS ; k (e)

N T dS ;

S( e )

k ( g )

T N dL

; k (e)

N dS .

L( g )

S( e )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.89 Mб7Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf
#
12.11.202322.32 Mб18Метод крупных частиц в газовой динамике..pdf
#
12.11.20239.79 Mб1Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы..pdf
#
12.11.20238.08 Mб5Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике..pdf