Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

877.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Коэффициенты полинома 1 и 2 определяются из решения системы двух алгебраических уравнений:

	U		i			2	X	i
			i	1		2		i	.		(2.9)
				1 2 X j					.		(2.9)
	U j			1 2 X j

В результате получаем
	Ui X j U j Xi				;				U j Ui	,	(2.10)
					;		2			,	(2.10)
1		L					2		L
		L							L

где L – длина конечного элемента, L X j Xi . Подстановка (2.10) в выражение (2.8) дает

x ,

(2.11)

в результате преобразования которого запишем

X j

x X

U j .

(2.12)

В уравнении (2.12) выражения в скобках обозначаются буквой

N и носят названия функций формы

X j x

N j

x X

(2.13)

Как видно из выражений (2.13),

функция формы

Ni равна 1

в узле с номером i и равна 0 в узле j

(рис. 2.6). Аналогично функ-

ция N j равна 0 в узле i

и равна 1 в узле

j (см. рис. 2.6). Необхо-

димо отметить, что для других типов конечных элементов значение функции формы всегда равняется 1 в собственном узле и 0 – во всех других узлах элемента.

С учетом введенных обозначений выражение (2.12) может быть записано как

u NiUi N jU j

(2.14)

или в матричной форме записи
		u N U ,		(2.15)
		– матрица функций формы конечного элемента
где N Ni N j		– матрица функций формы конечного элемента
		U
(матрица-строка			i	– вектор-столбец
(матрица-строка	функций формы); U			– вектор-столбец
		U j

узловых значений функции u .

1	Ni	Ni	Nj




	i			j x
	Xi		L
		Xj
		Xj

Рис. 2.6. Функции формы одномерного симплекс-элемента

Матричная форма записи (2.15) является основополагающей и применима к аппроксимирующим полиномам, построенным на любых конечных элементах.

При решении задачи МКЭ целесообразным является введение локальной (естественной) системы координат в пределах текущего конечного элемента. При этом локальные координаты должны быть нормированы и лежать в диапазоне либо от 0 до 1, либо от 1 до 1.

Преимуществом применения локальной системы координат является то, что унифицируются процедуры интегрирования по конечным элементам. Зачастую интегрирование может быть проведено с использованием аналитических выражений.

На рис. 2.7 приведен одномерный симплекс-элемент e с узлами i и j , координатами которых в глобальной системе координат яв-

ляются Xi и X j .

	L1	e	L2	x
i		e	j	x
Xi			Xj

Рис. 2.7. Локальная система координат для одномерного симплекс-элемента

Локальная координата для узла i элемента e определяется выражением (см. рис. 2.7)

L	X j	x	,			(2.16)

1	X j	Xi

а для узла j
L	x Xi			.		(2.17)

2	X j Xi

Из выражений (2.16), (2.17) видно, что при x Xi						– L1 1,
L2 0 , а при x X j – L1 0 , L2	1 .
Поскольку сумма локальных координат L1					и L2 равна 1, то не-
зависимой будет только одна из координат – L1					или L2 .
Сопоставляя формулы (2.16), (2.17) с выражениями (2.13),
можно сделать вывод, что L1 Ni и L2 N j . Тогда
u L1Ui L2U j .						(2.18)

Применение локальных координат для одномерных симплексэлементов позволяет проводить интегрирование с помощью следующей аналитической формулы [3]:

	L1a L2b dL	a!b!	L(e) ,	(2.19)
	L1a L2b dL	a b 1 !	L(e) ,	(2.19)
L( e )		a b 1 !
где a и b – целочисленные показатели степени;				L(e) – длина ко-
нечного элемента.

Например, необходимо определить следующий интеграл:

2dL .

L( e )

С учетом формулы (2.19) можно записать

2dL

L12 L2

0dL

2!0!

L(e)

2L(e)

L(e)

0 1 !

L( e )

2.3. Двухмерный треугольный симплекс-элемент

Двухмерный симплекс-элемент представляет собой треугольник, каждой вершине которого соответствуют значения функции

(рис. 2.8) [1–5].

		u
		u
		Ui
			u=a1+a2x+a3y
			Uk
		Uj
		Uj
	(Xi ,Yi) i			y
			k	y
x		j	k
x			(Xk ,Yk)
			(Xk ,Yk)

(Xj ,Yj)

Рис. 2.8. Двухмерный симплекс-элемент

Нумерация узлов в методе конечных элементов производится против часовой стрелки, начиная от некоторого i -го узла, который

выбирается произвольно. Xi ,Yi , X j ,Yj , Xk ,Yk являются ко-

ординатами узлов конечного элемента в декартовой системе координат, а Ui , U j и Uk – это значения функции u в соответствующих

узлах элемента.

Интерполяционный полином двухмерного симплекс-элемента имеет вид

u 1 2 x 3 y .

(2.20)

Коэффициенты полинома определяются из решения системы алгебраических уравнений, которая формируется в результате подстановки соответствующих координат узлов и узловых значений функции u в уравнение (2.20):

2 Xi 3Yi ;

Ui 1

U j 1

2 X j 3Yj ;

(2.21)

2 Xk 3Yk .

Uk 1

В результате решения системы (2.21) получим

X jYk XkYj Ui XkYi XiYk U j

;

(2.22)

XiYj X jYi Uk

Yi U j

;

(2.23)

Yj Yk Ui Yk

Yi Yj Uk

X j Ui Xi

Xk U j X j Xi Uk

, (2.24)

где S – площадь треугольного симплекс-элемента, величина которой находится с помощью определителя

	1	1	Xi		Yi
		1	Xi		Yi
S		1	X j		Yj	.	(2.25)
	2	1	X	k	Y
				k	k

Выражения (2.22)–(2.24) с учетом (2.25) можно записать в виде

;

В результате подстановки выражений для 1 , 2 и 3 в фор-

мулу (2.20) и последующих преобразований получим выражение, аналогичное по форме записи выражению (2.14):

u NiUi N jU j NkUk N U ,

где Ni

N j 21S

Nk 21S

ai X jYk XkYj ;

1 x

a b x c y ;

b Y

Y ;

или N

i i

c X

1 Xk

aj XkYi XiYk ;

aj bj x cj y ; bj

Yi ;

или N j

ak XiYj X jYi ;

ak bk x ck y ; bk

Yi Yj ;

или N j

X j

(2.26)

Yj ; Yk

Yi y ;

Yi Yj . y

Здесь Ni , N j и Nk – функции формы треугольного симплекс-

элемента.

Значение функции формы Ni в i -м узле равно 1, а в узлах j и k равно0. Функции N j и Nk равны 1 соответственно вузлах j и k .

Поскольку аппроксимирующий полином u является линейным, то производные по координатам x и y в пределах конечного эле-

мента будут постоянными величинами. Производная по координате x от u определяется выражением

где Nxi bi ; Поэтому

u Ni Ui N j U j Nk Uk ,x x x x

N j bj ; x

Nk bk . x

u bU		b U	b U	k	.	(2.27)
x	i i	j j	k	k
x

Аналогично записывается производная по y от u :

u c U		c U	c U	k	.	(2.28)
y	i i	j j	k	k
y

Для определения локальной системы координат двухмерного симплекс-элемента возьмем произвольную точку P внутри элемента (рис. 2.9) [3]. Площадь S1 внутреннего треугольника определяет-

ся по формуле S1 bg2 , а площадь всего треугольника S – по формуле S bh2 .

g	k
g			b
h			b
h
	L2	L1	S1
	L2	L3	S1
S2	P	L3	j
S2	S3
	S3

Рис. 2.9. Локальные координаты треугольного симплекс-элемента

Тогда локальная координата L1 определяется отношением площадей:

	L		S1			g	.			(2.29)
	L						.			(2.29)
	1		S			h
			S			h
Координата L1 изменяется в диапазоне от 0 до 1.
Локальныекоординаты L2 и L3					находятся аналогичнымобразом:
L		S2	;	L				S3	,	(2.30)
L			;	L					,	(2.30)
2		S		3				S
		S						S

и изменяются в тех же пределах, что и L1 .

Координаты L1 , L2 и L3 изменяются в пределах от 0 до 1. Поскольку S1 S2 S3 S , то

L1 L2 L3 1 .	(2.31)
Если записать систему уравнений
x L1 Xi L2 X j L3 Xk ;
y L1Yi L2Yj L3Yk ;	(2.32)
1 L1 L2 L3

и разрешить ее относительно координат L1 , L2 , L3 , то в результате получим выражения, идентичные (2.26). Отсюда следует, что локальные координаты L1 , L2 , L3 полностью идентичны функциям формы

Ni L1 ; N j L2 ; Nk L3 .

(2.33)

Из этого следует, что

1 в узлесномеромi; L1 0 в узлах j и k.

Данное свойство справедливо для локальных координат L2 и L3 . Следует отметить, что для любой точки в пределах конечного элемента сумма Ni , N j и Nk равна единице, так же как и для ло-

кальных координат.

Формула интегрирования по площади треугольного симплексэлемента с использованием локальной системы координат имеет вид

	L1a L2b L3c dS	a!b!c!	2S(e) ,	(2.34)
		a b c 2 !
S( e )

где S(e) – площадь треугольного симплекс-элемента.

Применение выражения (2.34) может быть продемонстрировано на следующем примере:

			Ni N j dS .
		S( e )
В результате интегрирования получим
	Ni N j dS	L11L21L30dS		1!1!0!	2S(e)	2S(e)	S(e)	.
	Ni N j dS	L11L21L30dS		1 1 0 2 !	2S(e)	4!	12	.
S( e )	S( e )			1 1 0 2 !		4!	12

2.4. Двухмерный четырехугольный элемент

Как было отмечено выше, четырехугольные конечные элементы относятся к мультиплекс-элементам [3–5]. Вначале рассмотрим прямоугольный четырехугольный элемент, границы у которого параллельны координатным линиям (рис. 2.10).

b	y	b
b		b
4		3
		a
		x
		a
1		2
Рис. 2.10. Прямоугольный четырехугольный элемент

Интерполяционный полином для четырехугольного прямоугольного элемента запишется как

u 1 2 x 3 y 4 xy .

(2.35)

Произведение xy обеспечивает линейное изменение функции

u вдоль границ конечного элемента, а также вдоль линий, где постоянна либо x , либо y .

Нумерация узлов конечного элемента проведена также против часовой стрелки (см. рис. 2.10). Из рисунка видно, что координата

узла	1 равна x b, y a ; узла 2 –	x b,	y a ; узла 3 –
x b,	y a ; узла 4 – x b, y a .

Примем, что значения функции в узлах конечного элемента заданы и равны U1 , U2 , U3 и U4 . Тогда коэффициенты полинома

определятся из решения системы четырех алгебраических уравнений, получаемой в результате подстановки координат узлов и величин U1 , U2 , U3 и U4 в уравнение (2.35):

1 U1 U2 U3 U4 ; 4

2 U1 U2 U3 U4 ; 4b

3 U1 U2 U3 U4 ; 4a

4 U1 U2 U3 U4 . 4ab

После подстановки коэффициентов 1 , 2 , 3 и 4 в уравнение (2.35) и последующего преобразования получим

u N1U1 N2U2 N3U3

N4U4 N U ,

(2.36)

где N

(b x)(a y) ; N

(b x)

4ab

(a y) ; N4

(b x)(a y) .

4ab

Производные по координатам x и y запишутся как

u 2 4 y

и u 3 4 x .

Видно, что градиент ux линейно изменяется вдоль координаты y , оставаясь постоянным по координате x , а градиент uy постоя-

нен по y , но линейно изменяется по x .

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.89 Mб6Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf
#
12.11.202322.32 Mб18Метод крупных частиц в газовой динамике..pdf
#
12.11.20239.79 Mб1Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы..pdf
#
12.11.20238.08 Mб5Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике..pdf