Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

877.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	d N	du		d N			du
	T					T
		dV S0					dx,	(4.6)
	dx	dV S0			dx		dx,	(4.6)
	dx	dx			dx		dx
V			0

где – толщина стенки; S0 – площадь боковой поверхности стенки.

С учетом полученных выражений (4.6) интеграл (4.2) можно записать как

d N

du x

N qV dx N

0 .

(4.7)

x 0

Неизвестная функция

в уравнении (4.7)

определяется соот-

ношением

u N U ,

(4.8)

а градиент

d N U

d N

U ,

(4.9)

где N – матрица функций формы конечного элемента; U

тор столбец узловых неизвестных.

Подставляя формулу (4.9) в первый интеграл (4.7), имеем

d N

dx U .

– век-

(4.10)

T	du x
Поскольку N		в уравнении (4.7) содержит выраже-
	dx x 0

ние dudn , которое определяет плотность теплового потока с боко-

вых стенок, то с его помощью учитываются граничные условия второго рода [3, 6]

du	q ,	(4.11)
dn

и третьего рода:

uS t0 ,

(4.12)

где q – заданная плотность теплового потока, Вт/м²;

– искомая

температура границы тела, °С; t0 –

заданная температура окру-

жающей среды, °С;

– коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·°С).

Тогда

du x

. (4.13)

q N N U N

dx x 0

Уравнение(4.7) сучетомвыражений(4.10) и(4.13) запишется как

d N

dx U

q dx

N T q N T N U N T t0 x

(4.14)

x 0

Перепишем уравнение (4.14) в виде

B T B dx N T N xx 0 U

N T qV dx,

q N T t0 N T x 0

(4.15)

где B d N – матрица градиентов. dx

В результате замены интегрирования по всей области на сумму интеграловпоконечнымэлементамуравнение(4.15) перепишемввиде

		qV	q
(e)	k (e) k (e)	U f (e) f (e) f (e)		,	(4.16)
(e)
где – сумма по конечным элементам; k (e)			– локальные матрицы
(e)

коэффициентов; f (e) – локальные вектор-столбцы свободных чле-

нов;	k (e)			B T		B dx ;	k (e) N T		N xx 0L0 ;	f (e) t0 N T	xx 0L0 ;

			L( e )
(e)			T		0L0	(e)	qV	T
f q		q N		xx	0L0	; f qV	qV	N	dx ; L(e)	– длина конечного
								L( e )

элемента. Параметры и qV постоянны в пределах конечного эле-

мента и могут изменяться при переходе от одного конечного элемента к другому.

После суммирования по всем конечным элементам получим систему алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных U

	K U G F ,	(4.17)
где K	– глобальная матрица коэффициентов; F	– глобальный

вектор-столбец свободных членов; U G – глобальный вектор-

столбец узловых неизвестных.

Интерполяционный полином для одномерного линейного элемента имеет вид

u NiUi

N jU j N U ,

(4.18)

X j x

x Xi

X j

x Xi

где

Ni (e) ;

N j

(e)

;

(e)

;

N j

L(e) X j Xi .

Локальная матрица коэффициентов k (e) определится следую-

щим образом:

(e)

X j 1

B B dx

L(e)

L( e )

(4.19)

(e)

а локальный вектор столбец

f qV	qV		N
(e)			T
		L( e )

f (qe)
V
X j Ni		q L(e)
dx qV	dx	V
dx qV	dx	2
Xi N j		2

. (4.20)

Выражения для определения локальных матриц и векторстолбцов в уравнении (4.16), учитывающие граничные условия второго и третьего рода, приведены в табл. 4.1.

Таблица 4 . 1 Выражения, учитывающие граничные условия

Граничное условиеналевойгранице

Граничное условиенаправойгранице

k (e)

N T N 1

0 ;

k (e)

N T N 0

0 ;

f (qe) N T q q 1

;

f (qe) N T q q 0 ;

(e)

Завершающим этапом формирования системы алгебраических уравнений МКЭ (разрешающей системы) является учет граничных условий первого рода. Если Ui C , то в системе производятся сле-

дующие изменения:


			,
Kii M	Ui	Fi CM	,

где M – очень большое число; C – заданная величина на границе (заданная температура).

4.2.Электрическое поле коаксиального кабеля

Вэлектротехнических устройствах, работающих в условиях высоких напряжений, необходимо оценивать напряженность электрическо-

го поля в электроизоляционных элементах конструкции, которую можно определитьчерезградиентэлектрическогопотенциала [7]


		grad ,		(4.21)
	E
где – электрический потенциал, В;				– вектор напряженности
			E

электрического поля, В/м.

В связи с этим на первом этапе необходимо найти распределение электрического потенциала, которое описывается уравнением Лапласа. В цилиндрической системе координат в трехмерной постановке данное уравнение запишется как [7]

r a

0 ,

(4.22)

r r

где r ,

z – координаты в цилиндрической системе координат;

a 0

–

абсолютная

диэлектрическая

проницаемость,

Ф/м;

0 10 9 36 – электрическая постоянная, Ф/м; – относительная

диэлектрическая проницаемость.

Рассмотрим задачу определения электрического потенциала коаксиального кабеля (рис. 4.2).

Ra	Rb	r
0
Рис. 4.2. Поперечное сечение коаксиального кабеля

В данной постановке 0 и z 0 . Тогда уравнение (4.22) преобразуется к виду

1 d		d
	r		0 .	(4.23)

r dr		dr

Заданы граничные условия первого рода:

U при r Ra	;	(4.24)
		(4.24)
0 при r Rb .

Необходимо найти распределение электрического потенциала по толщинеизоляции, т.е. вдиапазонеизменениярадиусаот Ra до Rb .

В результате подстановки (4.23) в (3.7) получим

1 d

0 ,

(4.25)

r dr

где u – приближенное решение; N T

– транспонированная матри-

ца функций формы.

Так как

1 d

T 1

d N

r dr

то

T 1 d

1 d

d N T

. (4.26)

r dr

С учетом (4.26) интеграл в уравнение (4.25) преобразуется к виду

1 d

r dr

d N

(4.27)

dV.

По теореме Остроградского – Гаусса имеем
		1 d		T	du		T	du
				N r	dV		N	dS.	(4.28)
		r dr		N r	dV		N	dS.	(4.28)
	V	r dr			dr	S		dr
Здесь			T	du	– интеграл по замкнутой поверхности
Здесь	N			dS	– интеграл по замкнутой поверхности
S				dr

тела.

Тогда для одномерной осесимметричной задачи интеграл через боковую поверхность определится как

2 Lz

Ra d dz

0 0

2 Lz

Rbd dz 2 Lz Ra

0 0

(4.29)

2 Lz Rb N

а объемный интеграл

d N T

2 Lz Rb d N T

rd dzdr

0 Ra

2 L

d N

rdr ,

(4.30)

где Lz – длина кабеля.

С учетом выражений (4.29) и (4.30) уравнение (4.25) можно записать как

d N

rdr Ra N

Rb N

. (4.31)

Неизвестная функция u в уравнении (4.31) определяется соотношением u N U . Здесь U являютсяузловыми неизвестными.

Производная по радиусу определится как

du	d N U	d N	U .	(4.32)
dr	dr	dr

Для данной задачи на границах задаются граничные условия первого рода, поэтому выражение в фигурных скобках в уравнении (4.31) равняется нулю. Тогда уравнение (4.31) с учетом (4.32) перепишется в виде

Rb	d N		T	d N
						(4.33)
		dr		dr
		dr		dr	rdr U 0 .
Ra

Функции формы N одномерного симплекс-элемента определяются как

				Rj r		r R
								,	(4.34)
					(e)	(e)
		N Ni	N j		(e)	(e)
					L	L	i
					L	L
где Ri		и Rj координаты	узлов		текущего		конечного		элемента;
L(e) R	j	R – длина конечного элемента.
	j	i
Выражения (4.33) запишем в виде
		R
		b B T B rdr U 0 ,							(4.35)

где B – матрица градиентов, которая для одномерного симплексэлемента имеет вид

	d			dNi		dN j	1

B							(e) 1	1 .	(4.36)
	dr	Ni	N j		dr	dr
							L

Уравнение (4.35) по аналогии с выражением (4.16) перепишем следующим образом:

k (e) U 0 ,	(4.37)
(e)

где	– сумма по конечным элементам; k (e) B T B rdr –
(e)	( e )
	L

локальная матрица коэффициентов; – относительная диэлектрическая проницаемость, которая в пределах конечного элемента является постоянной величиной.

Локальная матрица коэффициентов может быть определена как

							(e)									T							1				1						Rj
							(e)									T											1
			k									B					B rdr														1		1 rdr
			k									B					B rdr						(e) (e)							1	1		1 rdr
												( e )										L				L				1			R
												L																					i
		1					1						1 r2					Rj			1					Rj Ri Rj Ri 1										1
																		Rj


	L(e)			2					1				1								L(e)		2								2
									1				1		2			Ri													2			1		1
															2			Ri																1		1
												1		Rj			Ri 1							1					RСр			1	1				(4.38)
																																	.
												(e)					2													(e)			.
											L						2				1				1				L			1	1
	Или					другим									способом,							при					условии,						что		r Ni Ri N j Rj
и L1a L2b dr														a!b!					L(e) :
и L1a L2b dr												a b 1 !							L(e) :
L( e )												a b 1 !
	(e)											T									1			1				1 Rj
k							B						B rdr								1									Ni Ri N j Rj dr
k							B						B rdr							L(e)		2								Ni Ri N j Rj dr
					L( e )															L(e)				1				1 Ri
										1				1				1 L(e) Ri Rj													RСр		1 1
																																			.		(4.39)
								L(e)					2		1		1						2									(e)	1 1		.		(4.39)
								L(e)							1		1						2								L		1 1

Распределение напряженности электрического поля по полученному распределению потенциала определяется по формуле

Er dudr .

4.3. Осесимметричная задача магнитостатики

Для расчета магнитных полей широко используют векторный потенциал магнитного поля. Это векторная величина, ротор которой равен магнитной индукции [7]

	B rot A ,		(4.40)
где B – вектор магнитной индукции, Тл; A – векторный потенциал
магнитного поля (векторный магнитный потенциал), В с/м.
	Уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала
имеет вид [7]
	2 A a J .		(4.41)
где – дифференциальный оператор Набла;		a – абсолютная маг-
нитная проницаемость, Гн/м, a 0 ; – относительная магнит-
ная проницаемость; 0 – магнитная постоянная,			Гн/м, 0 4 10 7 ;
J – вектор плотности тока, А/м².
	Рассмотрим магнитостатическую задачу определения векторно-
го магнитного потенциала при протекании постоянного тока по
круглому проводнику (рис. 4.3). На рис. 4.3: Ra – радиус проводни-
ка;	Rb – внешний радиус. В диапазоне изменения радиуса от Ra до
Rb	– диэлектрическая среда.
	Ra	Rb	r
	0
	Рис. 4.3. Область исследования

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.89 Mб7Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf
#
12.11.202322.32 Mб18Метод крупных частиц в газовой динамике..pdf
#
12.11.20239.79 Mб1Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы..pdf
#
12.11.20238.08 Mб5Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике..pdf