книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

Поскольку магнитное поле выходит за пределы кабеля, то примем, что внешняя граница, лимитирующая область исследования, представляет собой окружность с центром, совпадающим с центром кабеля, и радиусом не менее чем на порядок большим, чем попе-

речные размеры кабеля dK . Примем, что изменение магнитного поля происходит по координатам x и y , а ось кабеля совпадает

с осью z декартовой системы координат.

Уравнение Пуассона для магнитного потенциала в двухмерной постановке в декартовой системе координат запишется как [7]

проводящей жилы. В каждой токопроводящей жиле задается свое значение тока.

Примем, что на бесконечном удалении магнитный потенциал равен нулю.

В результате решения поставленной задачи необходимо найти распределение магнитного потенциала Az в области исследования

(см. рис. 5.6).

Рассмотрим применение метода Галёркина к уравнению (5.47):

Здесь u – приближенное решение.

Так же как и для одномерной задачи, необходимо преобразовать уравнение (5.48) в уравнение, содержащее только первые производные по x и y . Рассмотрим на примере координаты x

61

та граничного условия на бесконечно удаленной границе, которое можно записать в виде (граничное условие Робина) [8–11]

В общем случае – это расстояние от центра проводника до

границы области, на которой задано условие бесконечной границы. Поскольку много больше поперечных размеров электротехниче-

ского устройства (в данном случае кабеля), то здесь можно принять, что представляет собой расстояние от центра кабеля до границы

области (см. рис. 5.6). Тогда

Уравнение(5.53) сучетомвыражений(5.54) и(5.56) запишетсякак

Переход от выражения (5.57) к сумме интегралов по элементам дает следующие выражения:

63

Индекс (e) указывает на то, что суммирование производится по двухмерным конечным элементам, а индекс (g) отвечает за сумми-

рование по одномерным конечным элементам по границе расчетной области.

Рассмотрим решение данной задачи на примере использования треугольных симплекс-элементов. Тогда по аналогии с двухмерной

задачей электростатики локальная матрица коэффициентов k (e) определится следующим образом (см. выражение (5.16)):

k (e) B T B dS

S( e )

С помощью формулы интегрирования (2.34) локальный векторстолбец свободных членов определяется как

Локальная матрица коэффициентов для граничных одномерных элементов находится таким образом:

Компоненты вектора магнитной индукции по полученному распределению векторного магнитного потенциала определяются следующим образом:

Bx uy ; By ux .

5.4. Решение двухмерной осесимметричной задачи теплопроводности с использованием симплекс-элемента

Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности в сечении кольца произвольной формы (рис. 5.7). Тогда дифференциальное уравнение стационарной задачи теплопроводности в двухмерной осесимметричной постановке запишется как [6]

По границе Lb могут быть заданы граничные условия первого,

второго и/или третьего рода. Задано также распределение внутреннего источника тепла. В результате решения поставленной задачи необходимо найти распределение температуры t f (r, z) в области

исследования (как рис. 5.7).

65

Интегралы по объему в данной постановке записываются следующим образом:

С учетом выражений (5.67)–(5.69) уравнение (5.64) примет вид

Функцию u через узловые значения и функцию формы можно записать следующим образом:

и третьего рода (см. выражения (5.27) и (5.28) и рис. 5.3). Тогда

67

граничные условия второго и третьего рода соответственно.

Сучетом выражений(5.71)–(5.73) уравнение (5.70) запишетсякак

B T B rdS U N T N dL U

S L

Формирование системы алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных производится в результате перехода интегрирования по всей области в уравнении (5.74) к сумме интегралов по элементам:

Индекс (e) указывает на то, что суммирование производится по двухмерным конечным элементам, а индекс (g) отвечает за сумми-

68

рование по одномерным конечным элементам по границе расчетной области. Кроме того, принимаем, что коэффициент теплопроводности и мощность внутреннего источника тепла qV постоянны в

пределах конечного элемента.

Для решения задачи используем треугольные симплексэлементы. Функция формы определяется из выражений (2.26). Матрица градиентов запишется следующим образом:

Для формирования локальных матриц коэффициентов текущий радиус выразим через значения радиуса в узлах конечного элемента и функцию формы:

Локальная матрица коэффициентов k (e) с учетом выражения

(5.78) и формулы вычисления интеграла теругольного симплексэлемента (2.34) определится как

69

элемента. Указанные интегралы вычисляются аналитически с помощью выражения (2.19).

Длина граничного одномерного конечного элемента определяется по формуле

где индексы i и j – номераузлов одномерного конечного элемента.

70