Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

877.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

По аналогии с двухмерной задачей электростатики запишем

N T

. (5.19)

Тогда

V x

N T

dV.

(5.20)

По теореме Остроградского – Гаусса имеем

dV N

lx dSb ,

(5.21)

где Sb – площадь боковой поверхности объема V (см. рис. 5.2).

Аналогичным образом преобразуется интеграл

N T

dV .

Учитывая, что dV hdS

и dSb

hdL

(см. рис. 5.2),

уравнение

(5.18) можно переписать в виде

N T

(5.22)

qV dS

Интеграл по контуру в (5.22) может быть выражен через величину u n , где n – нормаль к границе L .

Тогда

N T u

N T

N T qV dS N T

u dL 0.

(5.23)

Неизвестная функция u

в уравнении (5.23) определяется соот-

ношением

u N U ,

(5.24)

так что

N U

u и

N U

U . (5.25)

Подставляя полученные формулы (5.25) в первый интеграл

(5.23), имеем

(5.26)

T N

N T

dS U .

Поскольку в уравнении (5.23) интеграл N T u dL содержит

выражение un , которое определяет плотность теплового потока с

поверхности рассматриваемой области (рис. 5.3), то с помощью этого интеграла учитываются граничные условия второго рода [3, 6]

	u	qS ,	(5.27)
	n

и третьего рода:
du	uS t0 ,	(5.28)
dn
где qS – заданная плотность теплового потока; uS		– искомая темпе-

ратура границы тела; t0 – заданная температура окружающей среды; – коэффициент теплоотдачи.

3	2	u
3		u
		(uS t0)
		n

(e) или

u qn S

4 1

Рис. 5.3. Поток тепла на границе области

Тогда

N T

u dL

T qS dL

N T

N T t

dL,

(5.29)

где Lq и L – границы исследуемой области, на которых заданы

граничные условия второго и третьего родов соответственно. Уравнение(5.23) сучетомвыражений(5.26) и(5.29) запишетсякак

N T N

dS U

N N dL U

N T

qS dL N T t0dL N T qV dS 0.

(5.30)

Перепишем уравнение (5.30) в виде

B T B dS U N T N dL U

		S	L
			N T qS dL N T t0dL N T qV dS,		(5.31)
		Lq	L	S



	x		– матрица градиентов.
где B	N		– матрица градиентов.

	y

Так же как и для одномерной задачи стационарной теплопроводности, принимаем, что коэффициент теплопроводности и мощность внутреннего источника тепла qV постоянны в пределах

конечного элемента.

Переход от выражения (5.31) к сумме интегралов по элементам дает следующие выражения:

	k	U f qV
	(e)	(e)
	(e)
		q
	k ( g ) U f ( g )

( g )

;

f ( g ) ,

(5.32)

(5.33)

где k (e)	B T B dS ; f (qeV)	qV (e) N T dS ;	k ( g ) N T N dL ;
S( e )	S( e )		L( g )
f ( g ) t0 N T dL ; f (qg ) qS N T dL .
L( g )	L( g )
	q

Индекс (e) указывает на то, что суммирование производится по двухмерным конечным элементам, а индекс (g) отвечает за сумми-

рование по одномерным конечным элементам по границе расчетной области.

Рассмотрим особенности применения четырехугольных элементов при решении стационарной двухмерной задачи теплопроводности методом конечных элементов.

В локальной матрице коэффициентов k (e)

функция формы

в локальной системе

координат определяется формулами

(2.38),

а матрица градиентов – выражением

(5.34)

Для упрощения процедуры интегрирования производится переход от глобальных координат x, y к локальным координатам , .

Замена переменных интегрирования осуществляется следующим образом:

			dS det J d d ,
x		y
				x y	x y
где J			– якобиан; det J	x y	x y
	x	y

(5.35)

– определитель

якобиана.

Тогда матрица коэффициентов определится по формуле

	1	1
k (e) B T B dS			B T B det J d d .	(5.36)
S( e )	1 1

Сучетом перехода интегрирования от глобальных координат x, y

клокальнымкоординатам , матрицаградиентовзапишется как

det J

N3	N4
N2		N3	N4

				,
N2		N3	N4

				y			y
							y
	1
где J 1	1						– обратный якобиан;
где J 1	det						– обратный якобиан;
	det	J x					x


		x N1 X1 N2 X2 N3 X3 N4 X4 N X ;
		y N1Y1 X2Y2 N3Y3 N4Y4 N Y ;
								N	N			N	3	N
								1		2					4
								1		2					4

						N		N1	N2			N3		N4
								N1	N2			N3		N4
																.


			1		(1 )			(1 )			(1 )			(1 )
			1					(1 )				(1 )
			4		(1 )			(1 )				(1 )		(1 )

Элементы матрицы Якоби вычисляются по формулам:

x	1	(1 )X1 (1 )X2 (1 )X3 (1 )X4 ;
	4
x	1	(1 )X1 (1 )X2 (1 )X3 (1 )X4 ;
	4	(1 )X1 (1 )X2 (1 )X3 (1 )X4 ;
	4
y	1	(1 )Y1 (1 )Y2 (1 )Y3 (1 )Y4 ;
	4

(5.37)

(5.38)

	y	1 (1 )Y1 (1 )Y2 (1 )Y3 (1 )Y4 .
		4
					1	1
При	определении		матрицы		k (e)		B T B det J d d		ис-
					1 1
пользуем численное интегрирование с помощью квадратур Гаусса –
Лежандра [3].
Рассмотрим принцип данного метода на примере одномерной
задачи
			1		n
			f ( )d		Hl f ( l ) ,			(5.39)
			1		i 1
где f ( )	– функция от аргумента ; l – координаты узлов;								Hl –
весовые коэффициенты для квадратур Гаусса – Лежандра; n – по-
рядок квадратур Гаусса – Лежандра.
Для	n 1	(рис. 5.4, а) 1		0 , H1 2 . Для				n 2 (рис. 5.4, б)
1,2 1	3 ,	H1,2 1,0.
					f( )
					f( )
					l = 1
		1		0			1
				а
					f( )
					f( )
			f( )
			l = 1		l = 2
		1	0,58	б	0,58		1
				б
Рис. 5.4. Точки интегрирования для квадратур Гаусса – Лежандра:
а – точки интегрирования для n 1 ; б – точки интегрирования для n 2
									57

Длядвухмернойзадачиинтегралпоповерхностизаписываетсякак

1 1	n n
f ( , )d d Hl Hm f ( l , m ) .		(5.40)
1 1	l 1 m 1

Для точного вычисления определенных интегралов порядок квадратурных формул приведен в табл. 5.1.

Таблица 5 . 1

Порядок квадратур Гаусса – Лежандра для двухмерного четырехугольного элемента

Элемент		N T N		B T B	N T

		,		,	,

Линейный		2-2		2-2	1-1
Матрица коэффициентов k (e)			с использованием квадратур Га-
усса – Лежандра (рис. 5.5) запишется следующим образом:
k (e) B T B dS 1 1 B T B det J d d
	S(e )		1 1
n 2 n 2
Hl Hm B( l , m ) T B( l , m ) det J ( l , m )
l 1 m 1
		n 2 n 2	f ( l , m ) ,
		Hl Hm	f ( l , m ) ,		(5.41)

l 1 m 1

где f ( l , m ) B( l , m ) T B( l , m ) det J ( l , m ) .

Вектор-столбец свободных членов, учитывающий выделение тепла, имеет вид

f (qeV)	qV N T dS 1 1	qV N T det J d d
S( e )	1 1

n 1 n 1

qV Hl Hm N( l , m ) T det J ( l , m )

l 1 m 1

	qV H1H1 N( 1 , 1 ) T det J ( 1, 1 ).					(5.42)
((–1,1,1)		l = 1	l = 2	(1,(1,1)
	4	l = 1	l = 2	3
m = 2	4	l = 1	l = 2	3	=0,58
		m = 2	m = 2
		l = 1	l = 2
m = 1	1	m = 1	m = 1	2	= 0,58
(–( 1,1,–1)1)		0,58	0,58	(1,(1,–1)

Рис. 5.5. Точки интегрирования для квадратур Гаусса – Лежандра второго порядка для двухмерного четырехугольного элемента

В выражении (5.33) производится суммирование по одномерным симплекс-элементам границы области исследования, для которых необходимо определить следующие матрицы:

k ( g )		N T		N dL ; f ( g )		t0 N T dL ;

	L( g )				L( g )
			f (qg ) qS N T dL ,
				L( g )
				q
где N – функция			формы одномерного			линейного симплекс-

элемента. Указанные интегралы вычисляются аналитически с по-

мощью выражения (2.19)	L1a L2b dL	a!b!	L( g ) .
мощью выражения (2.19)	L1a L2b dL	a b 1 !	L( g ) .
	L( g )	a b 1 !
Длина граничного одномерного конечного элемента определя-
ется по формуле
L( g )	Xi X j 2 Yi Yj 2 ,		(5.43)

где индексы i и j – номера узлов одномерного элемента.

Локальная матрица коэффициентов k ( g ) , вектор-столбцы

f ( g ) и f (qg ) определятся следующим образом:

( g )

Ni2

Ni N j

L( g ) 2

N N dL

;

N j

( g )

Ni N j

( g )

t L( g )

dL t0

N j

;

( g )

f (qg ) qS N T

L( g )

S q

N j

( g )

(5.44)

(5.45)

(5.46)

5.3.Решение двухмерной задачи магнитостатики

сиспользованием симплекс-элемента

Решение двухмерной задачи магнитостатики методом конечных элементов рассмотрим на примере определения магнитного поля кабеля при протекании постоянных токов по токопроводящим жилам (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Область исследования

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.89 Mб6Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf
#
12.11.202322.32 Mб18Метод крупных частиц в газовой динамике..pdf
#
12.11.20239.79 Mб1Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы..pdf
#
12.11.20238.08 Mб5Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике..pdf