книги / Теория функций комплексного переменного
..pdfЗадание 6. Проверить, может ли функция u = x2 − y2 + x
быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.
|
|
|
|
Задание 7. |
Найти область плоскости |
W , |
в которую |
|||||||||
отображается |
|
с помощью |
функции |
|
w = |
1 |
область D: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
≤ arg z ≤ π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
||||||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. |
Указать главную и правиль- |
||||||||||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
а) f (z) = |
z −2 |
|
, z0 |
=0 ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2z3 + z2 − z |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
б) f (z) = |
z +1 |
|
, z0 =1+2i. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
z (z −1) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Задание 9. Функцию f (z) = |
z cos |
|
1 |
|
разложить в ряд |
|||||||
|
|
|
|
z |
−2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Лорана в окрестности точки z0 = 2.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
(z +1)2 |
|
|
; |
|
(z2 −3z +2)2 |
||
б) f (z) = ez2 . z5
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ z 2dz ; AB :{y = x2 ; zA = 0; zB =1+i}.
AB
111
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а) |
|
|
∫ |
sin z dz3 ; |
||||
|
z+i |
|
=3 (z +1) |
|||||
|
|
|||||||
б) |
∫ |
ez |
dz. |
|||||
z −πi |
||||||||
|
z |
|
=4 |
|
||||
|
|
|
||||||
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
∞x2 − x +2
1.−∫∞ x4 +10x2 +9dx.
∞xsin 3x
2.∫ dx.
0 (x2 +4)2
|
2π |
|
|
dx |
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 + |
3 sin x |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|||
|
2π |
|
|
dx |
|
|
|
4. |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|||
|
0 |
+ |
|
|
|
||
|
|
1 |
10 cos x |
|
|
||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
112
Вариант № 2
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 +4i и z2 = 2 −2i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
б) Найти: z1 z22 , z2 z1 , 4 z1 −1.
Задание 2. Вычислить значение функции f (z) в точке z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:
а) f (z) = Ln z, |
z |
|
= |
|
1+i |
; |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
1−i |
||
б) f (z) =ch z, z0 |
=1− πi. |
|||||
|
|
|
|
3 |
||
Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-
ции f (z) = sh 3z и вычислить производную. Выделить действи-
тельную и мнимую части полученной производной. Задание 4. Определить вид кривой z = 2sect −i 3tg t.
Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами:
z +i ≥1,
а)
z < 2.
б) z − 12 < 1− 2z .
Задание 6. Проверить, может ли функция u = x3 −3xy +1
быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =1.
113
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-
бражается с помощью функции w = |
1 |
|
|
0 ≤ Re z ≤ 2 |
|||||
|
область D : |
||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
Im z ≥0 |
|
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
|||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. |
Указать главную и правиль- |
|||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) f (z) = |
z −4 |
|
|
|
|
|
|||
|
, z0 =0 |
; |
|
|
|
|
|||
z4 + z3 −2z2 |
|
|
|
|
|||||
б) f (z) = |
z +1 |
, z0 = 2 −3i . |
|
|
|
|
|
||
z (z −1) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 9. Функцию f (z) = sin |
z |
|
разложить в ряд Ло- |
||||||
z −1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
рана в окрестности точки z0 =1.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
z2 −1 |
; |
|
z6 +2z5 + z4 |
|||
б) f (z) = |
cos( z −1) |
. |
|
|
|
||
|
( z −1)4 |
|
|
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ (z +1)ezdz ; L :{ z =1;Re z ≥ 0} .
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а) ∫ z tg πzdz;
z =1
114
б) ∫ |
|
|
zdz |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
z −2 |
) |
2 |
( |
z2 |
) |
||||
|
z−1−i |
=2 |
|
|
|
|
+1 |
|
||
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
|
∞ |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫ |
|
|
dx. |
|||||||
|
(x2 +4) |
2 |
|||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
(x −1)sin x |
|
|
|
|
||||
2. |
∫ |
|
(x2 |
+9) |
2 |
dx. |
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2π |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 + |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
15 sin x |
|||||||||
|
2π |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( 5 +cos x) |
2 |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|||||||
115
Вариант № 3
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 −4i и z2 = = −4 +3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
|
б) Найти: ( z1 z2 )2 , |
z2 |
, |
4 z2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
Задание 2. |
Вычислить значение функции f (z) в точке |
|||||||||||||
z0 , |
ответ представить в алгебраической форме комплексного |
||||||||||||||
числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) f (z) = sh z, z0 = 2 + |
πi ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
б) f (z) = ln z, z0 = 4 3 +4i. |
||||||||||||||
|
Задание 3. Указать область дифференцируемости функ- |
||||||||||||||
ции |
f (z) = ei(z+1) |
и вычислить производную. Выделить дейст- |
|||||||||||||
вительную и мнимую части полученной производной. |
|||||||||||||||
|
Задание 4. Определить вид кривой z = −sect +i 3tg t. |
||||||||||||||
|
Задание 5. |
Построить область плоскости z, определяе- |
|||||||||||||
мую данными неравенствами: |
|
||||||||||||||
|
|
|
z −3 |
|
− |
|
z +3 |
|
≤ |
5, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) |
|
Re z |
|
|
< |
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) Re(z2 − z 2 ) ≤ 0. |
|
|
|
|||||||||||
|
Задание 6. |
Проверить, |
может ли функция v = |
||||||||||||
=ex ( y cos y + xsin y) быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.
116
|
|
|
|
Задание 7. |
Найти область плоскости |
W , |
в которую |
||||||
отображается |
с помощью |
функции |
w = |
1 |
область D : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
≤1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
π |
|
|
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
≤arg z ≤ 2π |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
|||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. Указать главную и правиль- |
||||||||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а) f (z) = |
3z −18 |
, z0 =0 ; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2z3 +3z2 −9z |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
б) f (z) = |
z +1 |
, z0 = −3 −2i. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
z (z −1) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 9. Функцию f (z) = ze |
z |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z−5 |
|
разложить в ряд Лора- |
|||||||
на в окрестности точки z0 =5.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
(z +π)3 |
; |
|
(z2 −π2 )3 |
|||
|
|
б) f (z) = z4 sin 3z .
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ Im z3dz ; АВ – отрезок прямой zA =0; zB = 2 +2i.
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
117
а) ∫ |
zdz |
|
|
; |
||
|
|
|
||||
1−2sin |
2 |
z |
||||
|
z |
=2 |
|
|
||
ez
б) −∫= z5 −4z3 dz.
z 1 2
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
4 |
) |
2 |
|
|
|
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||
( |
|
2 |
) |
2 |
|
|
|
|||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2π |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
+2 6 sin x |
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
2π |
|
|
|
dx |
|
|
|
||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1+ |
6 cos x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
118
Вариант № 4
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 7 +i и z2 = 1+7i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
|
б) Найти: z2 z , z1 |
, |
3 z |
+ z . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
z2 |
1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Задание 2. |
Вычислить значение функции f (z) в точке |
|||||||||||||||
z0 , |
ответ представить в алгебраической форме комплексного |
||||||||||||||||
числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
f (z) = ctg z, |
|
z0 = |
πi +2; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
б) f (z) = ez , z0 |
= − |
1 − |
πi . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Задание 3. Указать область дифференцируемости функ- |
||||||||||||||||
ции |
f (z) = ln z |
и вычислить производную. Выделить действи- |
|||||||||||||||
тельную и мнимую часть полученной производной. |
|||||||||||||||||
|
Задание 4. Определить вид кривой z = 4 tg t −i 3sect. |
||||||||||||||||
|
Задание 5. |
Построить область плоскости z, определяе- |
|||||||||||||||
мую данными неравенствами: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z −1 |
−i |
|
<1, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π. |
|
|
|
|
|
|
|
arg z |
|
≤ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(Re z) |
2 |
≥ Im z, |
|
|
||||||||||
|
б) |
1+ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
< 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Re z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 6. Проверить, может ли функция u = x2 − y2 −2 y
быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.
119
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-
бражается с помощью функции |
w = |
1− z |
область D : |
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|||||||
z |
||||||||
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 8. Найти все лорановские |
разложения данной |
|||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. |
Указать главную и правиль- |
|||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) f (z) = |
2z −16 |
|
, z0 |
=0 ; |
|
|
|||
z4 +2z3 −8z2 |
|
|
|
||||||
б) f (z) = |
z +1 |
, z0 = −2 +i. |
|
|
|
||||
z (z −1) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 9. Функцию |
f (z) |
= |
sin |
2z −7 |
разложить в ряд |
||||
z +2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лорана в окрестности точки z0 = −2.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
cos z |
; |
|
|
|
||
z3 − |
π z2 |
||
|
|
2 |
|
б) f (z) = ezz−3 1 .
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ (z2 +7z +1)dz; АВ – отрезок прямой zA =1; zB =1−i.
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
dz
а) z−∫1=1 z4 +1 ;
120