книги / Теория функций комплексного переменного

= 26 (cos 4π−i sin 4π) = 26 (1+i 0) = 26.

Деление комплексных чисел

Частным двух комплексных чисел z1

и z2 ( z2 ≠ 0)

назы-

вается комплексное число z,

которое, будучи умноженным на

z

2

, дает число z ,

т.е.

z1

= z,

если z

2

z = z .

1

z2

1

На практике, чтобы разделить число z1

на z2 ( z2 ≠ 0), сле-

дует числитель и знаменатель дроби

z1

умножить на число

z2

, сопряженное знаменателю.

z2

z =

z1

=

(x1 +iy1 )

=

(x1 +iy1 )( x2 −iy2 )

=

(x2 +iy2 )

z2

(x2 +iy2 )( x2

−iy2 )

(2.8)

x1x2 + y1 y2

y1x2 − x1 y2

=

+i

.

x2

+ y

2

x

2

+ y2

2

2

2

2

Для тригонометрической и показательной форм ком-

плексного числа формула деления имеет вид

r1

(cos φ1 +i sin φ1 )

=

r1

(cos(φ1 −φ2 ) +i sin (φ1 −φ2 )).

(2.9)

r2

(cos ϕ2 +isin φ2 )

r2

reiφ1

r

1

=

1

ei(φ1−φ2 ).

(2.10)

r eiφ2

r

2

2

−1−3i

=

(−1−3i)(2 −i)

=

−2 −6i +i −3

=

−5 −5i

= −1−i.

2 +i

(2 +i)(2 −i)

4 +1

5

Пример

2.7.

Найти

частное

от

деления

z1 =

=3

π

−isin

π

на z2 =

π

+i sin

π

cos

2

cos

.

3

6

6

3

π

−i sin

π

z1

3

cos

3

π

π

π

π

3

3

=

=

cos −

−

+isin

−

−

=

z2

π

π

2

3

6

3

6

+isin

2

cos

6

6

=1,5 cos −

π

+isin −

π

=1,5 cos π

−isin

π

=

2

2

2

2

=1,5(0 −i 1) = −1,5i.

Извлечение корней из комплексных чисел

Корнем п-й степени из комплексного числа z

называется

комплексное число w,

удовлетворяющее равенству wn = z.

Если положить z = r (cos φ+i sin φ),

а

w =ρ(cosθ+isin θ),

Отсюда имеем ρn = r, nθ = φ+2πk,

k = 0, ±1 ,±2, …

Поэтому равенство n z = w принимает вид

n r (cos φ+i sin φ) = n r cos

φ+2πk

+i sin φ+2πk

,

(2.11)

n

n

Пример 2.8. Найти значение

(−1−

3i).

Запишем подкоренное выражение в тригонометрической

форме:

−1−

−

2π

+isin

2π

3i = 2 cos

3

−

3

.

Полагая в формуле (2.11) n = 2,

r = 2,

φ = −

2π

, имеем

3

−

2π

+2πk

−

2π

+

(−1−

3i) =

3

+isin

3

2πk

k = 0,1.

2 cos

,

2

2

π

π

При

k = 0 получаем

w0 =

2

cos

−

+isin −

=

3

3

=

1

−i

3

2

;

2

2

при

k =1

получаем

w1

=

2

2π

+isin

2π

=

cos

3

3

=

−

1

+i

3

2

.

2

2

Пример 2.9. Решить уравнение z3 −8i = 0.

Задача сводится к нахождению корня из комплексного

числа, т.е. необходимо найти z = 3 8i.

Запишем подкоренное выражение в тригонометрической

форме:

π

π

8i

=8 cos

+isin

.

2

2

Полагая в формуле (2.11) n =3,

r =8,

φ =

π

имеем

2

13

π

+2πk

π

3

8i = 3

2

+i sin

2

+2πk

, k = 0,1, 2

8

cos

3

3

π

π

3

1

При k = 0 получаем

z1

= 2

cos

+isin

= 2

+i

=

6

6

2

2

=

3 +i ;

5π

5π

3

1

при k = 1 получаем z2 = 2

cos

+i sin

= 2

−

+i

=

6

6

2

2

= −

3 +i;

при k =2 получаем z

3

=

2

cos 3π +i sin 3π

= 2(0 +i(−1)) =

2

2

довательность комплексных чисел {zn}.

Последовательность {zn}

называется ограниченной, если

существует число M > 0, такое, что для любого n

выпол-

няется неравенство

zn

< M . В противном случае последова-

тельность называют неограниченной.

Последовательность {zn}

называют бесконечно

малой,

если для любого числа ε > 0 найдется номер N (ε),

такой, что

для всех n, удовлетворяющих неравенству n > N (ε),

выполня-

ется неравенство

zn

< ε.

Последовательность {zn}

называют бесконечно большой,

если для любого числа А > 0

найдется номер N (А),

такой,

x = x(t ),

z (t ) = x(t ) +iy (t ), где

t T.

(3.2)

y = y

(t ),

Пример 3.1. Записать в параметрической форме уравне-

ние окружности с центром в точке O(x0 ,

y0 ) радиусом R.

x = x0

+ R cost,

t [0,2π].

+ Rsin t,

y = y0

Отсюда

z (t ) = x(t ) +iy (t ) = x0 + R cost +i( y0 + Rsin t) =

=(x0 +iy0 ) + R(cost +i sin t ).

Обозначив

z0 = x0 +iy0 и применив формулу Эйлера, по-

лучим z (t ) = z0 +Reit .

Пример 3.2. Определить вид кривой z =5tg t −3isect.

z (t ) = x(t ) +iy (t ) =5tg t −3i sect.

16

Отсюда

x =5tgt,

Выразим t из каждого уравнения

y = −3sect.

x

t = arctg

,

5

3

3

Исключим t

из уравнений arccos −

=

y

t = arccos −

.

y

= arctg

x

. Воспользуемся формулами тригонометрии:

5

3

x

3

cos

arccos

−

= cos

arctg

,

cos π

−arccos

=

y

5

y

=

5

,

−

3

=

5

,

25y2

= x2 +25 ,

y2

−

x2

=1 – урав-

x2 +52

y

x2 +52

9

9 25

нение гиперболы.

Области, определенные заданными

неравенствами

1. Неравенство

Re z ≥ a

определяет

точки

комплексной

плоскости

, лежащие на прямой x = a и правее нее (рис. 2, а).

Неравенство

Im z <b

определяет

точки

комплексной

плоскости

, лежащие ниже прямой y =b (рис. 2, б).

y

y

b

a

0

x

0

x

2. Неравенство

z −a

≤ r

определяет точки комплексной

плоскости ,

лежащие внутри круга радиусом

r с центром

в точке z0 = a,

и точки на окружности (рис. 3, а).

Неравенство

z −a

> r

определяет

точки

комплексной

плоскости , лежащие вне этого круга (рис. 3, б).

y

y

r

r

0

a

x

0

0 a

x

а

Рис. 3

б

3. Неравенство r <

z −a

≤ R

определяет точки комплекс-

ной плоскости , лежащие внутри кольца,

полученного в ре-

зультате пересечения внешней части круга

z −a

> r

и внут-

ренней части и точек, лежащих на границе круга

z −a

≤ R

(рис. 4).

y

r

R

0

a

x

4. Неравенство

α < arg ( z −a) <β определяет

точки ком-

плексной плоскости

, лежащие внутри угла

с вершиной

y

β

α

0

a

x

Рис. 5

5. Неравенство

z −C1

+

z −C2

≤ 2a определяет точки