книги / Теория функций комплексного переменного

функции f (z)

по степеням z − z0.

Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

11z −242

, z0

=0 ;

2z3 +11z2 −121z

б) f (z) =

z +3

,

z

= −2 +3i.

0

z2 −1

Задание 9. Функцию f (z)

= z2 sin π

z +1

разложить в ряд

z

б) f (z) =

ch (z +i)

.

(z +i)3

Коши о вычетах.

а)

∫

z

dz

;

( z −

1)

3

(z +

2)

z−2

=2

б)

∫

ez −sin z

dz.

z

2

z

=0,5

∞

dx

1.

∫

.

(

x

2

+9

)(

x

2

+1

2

−∞

)

∞

xsin 2x −sin x

2.

∫

dx .

(x2 +

4)

2

−∞

2π

dx

3.

∫

.

3 −

5 sin x

0

2π

dx

4.

∫

.

(3 +

5 cos x)

2

0

z2

б) Найти: z z

, 3 z .

, 1

z2

1

2

2

Задание 2.

Вычислить значение функции f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) = Arctg z, z0 = 2i;

б) f (z) = ez , z0

= 2 +

πi .

3

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = ch 2iz

и вычислить производную. Выделить дейст-

вительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = 2ch 3t −i 3sh 3t.

Задание 5.

Построить область плоскости z, определяе-

мую данными неравенствами:

z −i

≤1,

а)

0 < arg z < π.

4

(

).

б) 4 +Re z > Re

z 2 + z

Задание 6.

Проверить, может ли функция u = y −2xy

Задание 7. Найти область плоскости W ,

в которую ото-

бражается с помощью функции

w = 2

область D :

z +1

=1

плоскости Z.

z

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0.

а) f (z) =

6z −144

= 0 ;

, z0

z4 +6z3 −72z2

б) f (z) =

z +3

, z

= −2 −2i.

0

z2 −1

Задание 9. Функцию f (z) =

z cos

z

разложить в ряд

z +2i

а) f (z) =

sin z

;

(z2 −πz)3

2

б) f (z) =

z

.

1

e

z

б) ∫

1−sin 1z dz .

z−i

=2

z

∞

x

2

+1

1.

∫

dx .

(

x

2

+ x +1

2

−∞

)

∞

cos5x

2.

∫

dx .

(

x

2

+

1

2

(

x

2

+4

)

−∞

)

2π

dx

3.

∫

.

3 −2

2 sin x

0

2π

dx

4.

∫

.

(3

+2 2 cos x)

2

0

б) Найти: z3 z , z2

, 3 z

− z .

1

2

z1

2

1

Задание 2.

Вычислить значение функции f (z) в точке

а) f (z) = cos z, z0

= −

πi −

3

;

2

2

Задание 5.

Построить область плоскости z, определяе-

мую данными неравенствами:

z +2

+

z −2

> 4 2,

а)

0 < Im z

< 2.

б) 4

z

−Re z =12.

Задание 6.

Проверить,

может

ли

функция

v =

= x2 − y2 +2x +1

быть мнимой частью некоторой аналитиче-

ской функции

f (z), если да –

восстановить ее при условии

f (0) =i.

Задание 7. Найти область плоскости W ,

в которую ото-

бражается с помощью функции

w = z −

3 область D :

z

=1

плоскости Z.

z

146

функции f (z)

по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

13z −338

, z0 = 0;

2z3 +13z2 −169z

б) f (z) =

z

, z0 = 2 +i.

z2 +1

Задание 9. Функцию f (z)

= cos

z2 −4z

разложить в ряд

( z −2)2

а) f (z) =

z2 +2iz −1

;

z2

(

z2

)

+1

б) f (z) =

cos 2z .

z4

а)

∫

ez dz

;

2

( z +

9)

z−i

=3 z

б)

∫

cosiz −1

dz.

z

3

z+i

=1

∞

x

2

+1

1.

∫

dx .

+4x +13)

2

−∞ (x2

∞

x3 sin x

2.

∫

dx .

+9)

2

−∞ (x2

2π

dx

3.

∫

.

4 −

0

2 3 sin x

2π

dx

4.

∫

.

(2

2 +

7 cos x)

2

0

б) Найти: z1

z2 ,

z2

, 5 z1

− z2 .

1 z

2

Задание 2.

Вычислить значение функции f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) = th z, z0 = 1− πi ;

2

б) f (z) = Ln z, z0

=

2 +i

.

2 −i

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = Arctg ( z +i) и вычислить производную. Выделить

действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = −4sh 5t −i 5ch 5t.

Задание 5.

Построить область плоскости z, определяе-

мую данными неравенствами:

z +i

>1,

а)

π

≤ arg z < 0.

−

4

б)

z −2

=

1−2z

.

Задание 6.

Проверить,

может ли функция u =

= x2 − y2 −2x +1

быть действительной частью некоторой ана-

бражается с помощью функции

w = z − 2

область D :

z

=3

плоскости Z.

z

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0.

а) f (z) =

7z −196

= 0 ;

, z0

z4 +7z3 −98z2

б) f (z) =

z

, z0 =1−2i

z2 +1

Задание 9. Функцию f (z) = sin

z +i

разложить в ряд Ло-

z −i

а) f (z) =

ctgz

;

16z2 −π2

б) f (z) =

z5 sin

1

.

z2

а)

∫

dz

;

( z −0,5)(z −3)

2

z−2,5

=1

б)

∫

z −sin z

dz.

z

4

z

=2