книги / Теория функций комплексного переменного

Вариант № 28

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 3 +2i и z2 =

= 3 +3 3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

Задание 6. Проверить, может ли функция u = −2xy −2 y

быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =i.

191

Лорана в окрестности точки z0 = 2.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

sh z − z2

б) ∫ z3 dz.

z =1

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞x2 +2

1.−∫∞ x4 +7x2 +12dx .

∞cos 2x −cos x

2.∫ (x2 +1)3 dx .−∞

193

Вариант № 29

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 −3i и z2 = = −2 +i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

действительную и мнимую часть полученной производной. Задание 4. Определить вид кривой

z = 2t2 +2t +1−i (t2 +t +4).

Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами:

Задание 6. Проверить, может ли функция v = 2xy −2 y быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =1.

194

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

на в окрестности точки z0 = 4.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ (z3 +sin z)dz; L : { z =1, Re z ≥ 0}.

L

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

195

1

б) ∫ (z +1)ez dz.

z+i =2

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞(x2 + x)sin x

2.−∫∞ x4 +13x2 +36 dx .

196

Вариант № 30

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 +6i и z2 = 1−3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) f (z) =ch z, z0 = 2 −πi; б) f (z) = Arctg z, z0 = 2 +i.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ствительную и мнимую часть полученной производной. Задание 4. Определить вид кривой

z =t2 −2t +3 +i (t2 −2t +1) .

Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами:

z +2i ≤1,

а) 3 −4i

arg z < π3 .

б) 2zz +(z +i) z +(2 −i) z < 2.

Задание 6. Проверить, может ли функция u = x3 −3xy2 − x

быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.

197

Лорана в окрестности точки z0 =5.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ z z dz; L : { z =1, Im z ≥0}.

L

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞(x2 + x)cos x

2.−∫∞ x4 +13x2 + 36dx .

199

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: учеб. для вузов: в 3 т. – 5-е изд., стер. – М.: Дрофа, 2003. (Высшее образование. Современный учебник). – Т. 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексных переменных. – 511 с.

2.Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление: справ. пособие к решению задач / А.А. Гусак [и др.]. – М.: ТетраСистемс, 2002. – 207 с.

3.Горяйнов В.В. Курс лекций по теории функций комплексного переменного. – Волгоград: Изд-во Волгоград. гос.

ун-та, 1998. – 124 с.

4.Функции комплексного переменного: задачи и примеры

сподробными решениями: учеб. пособие для втузов /

М.Л. Краснов [и др.]. – М.: УРСС, 2003. – 205 с.

5.Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 445 с.

6.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: учеб. для вузов. – 6-е изд., стер. – М.:

Физматлит, 2001. – 336 с.

7.Чудесенко В.Ф. Сборник задач по специальным курсам высшей математики: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.:

Высш. шк., 1999. – 126 с.

200