книги / Теория функций комплексного переменного

б) Найти: z

z2 , z2

,

3 z

+2z .

1

2

z1

1

2

Задание 2. Вычислить значение функции

f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а)

f (z) = cos z, z0

=

π

+ 3πi;

2

4

б)

f (z) = Arcth z,

z0 =i.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = sin (z +i)

и вычислить производную. Выделить

действительную и мнимую части полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = 4cosect −i 2ctg t.

Задание 5. Построить область плоскости

z,

определяе-

мую данными неравенствами:

z −

2

+

z +

2

> 4,

а)

π

π

≤ arg ( z −1) ≤

−

.

4

4

z −1

≤1+Re z

б)

Re z ≤5.

Задание

6.

Проверить, может ли функция

v = ex cos y

Задание 7. Найти область плоскости W ,

в которую ото-

бражается с помощью функции

w = z − 1 областьD :

z

= 4

плоскости Z.

z

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0 . Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

4z −64

=0 ;

, z0

z4 +4z3 −32z2

б) f (z) =

z +1

, z0 = −2 −3i.

z (z −1)

Задание 9. Функцию f (z)

= z cos

1

разложить в ряд

z

−1

а) f (z) =

z2 +1

;

(z −i)2 (z2 +4)

б) f (z) =

cos z .

z3

б) ∫

z3 cos

2i

dz .

z

=1

z

∞

dx

1.

∫

.

(x2 +

9)(x2

+4)

2

−∞

∞

(x3 −2)cos

x

2.

∫

2

dx .

(

x

2

)(

x

2

+9

)

−∞

+1

2π

dx

3.

∫

.

8 −3

0

7 sin x

2π

dx

4.

∫

.

(

5 +

3 cos x)

2

0

Вариант № 9

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 8 −

8i и z2 =

= 8 − 8i . Изобразить числа на комплексной

плоскости.

2

z2

,

z2

,

z1

− z2 .

б) Найти: z1

z1

Задание 2.

Вычислить значение функции

f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) =sh z, z0

= 2 −

πi ;

2

б) f (z) = Ln z, z0 = 2 −2i.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = ln z3

и вычислить производную. Выделить действи-

тельную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = ctg t −i 2cosect.

Задание 5.

Построить область плоскости z, определяе-

мую данными неравенствами:

z −2 −i

≤ 2,

а)

Re z ≥3,

Im z <1.

zz ≥ Re z +Im z,

б)

Im z

<

2.

Задание

6.

Проверить,

может ли

функция v =

= −

y

быть мнимой частью некоторой аналитической

(x +1)2 + y2

134

функции

f (z),

если

да – восстановить

ее при условии

f (0) =1.

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

бражается с помощью функции

w = z −

4

область D :

z

= 4

плоскости Z.

z

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции

f (z) по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

9z −162

=0 ;

, z0

2z3 +9z2 −81z

б) f (z) =

z +3

, z

= 2 +i.

0

z2 −1

Задание 9.

Функцию f (z)

= z sin

1

разложить в ряд

z −1

∫

Re

z

dz ; ABC :{

z

=1,Im z ≥ 0} , BC – отрезок zB =1, zC = 2.

z

ABC

б) ∫

ze2 z

dz .

z

4

−+8z

2

−9

z+i 2

=2

∞

x

2

1. ∫

dx .

+

3)

2

−∞ (x2

2π

dx

3.

∫

.

9

−4 5 sin x

0

2π

dx

4.

∫

.

(

7 +2cos x)

2

0

б) Найти: z

z2 , z2

, 4 z −i.

1

2

z1

1

Задание 2.

Вычислить значение функции f (z) в точке

числа:

а) f (z) =sin z, z0 =

π

+

2πi ;

3

3

1

<

1

б)

Im z

4

,

π

arg ( z +i)

≥

.

3

быть мнимой частью некоторой аналитической функции

f (z),

если да – восстановить ее при условии f (1) = 2.

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

бражается с помощью функции

w = z + 3 область D :

z

=3

плоскости Z.

z

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

5z −100

=0 ;

, z0

z4 +5z3 −50z2

б) f (z) =

z +3

,

z

=3 −i.

0

z2 −1

Задание 9. Функцию f (z)

= ( z −3)cos π

z −3

разложить

z

а) f (z) =

(z +πi)3

;

(z2 +π2 )3

Коши о вычетах.

а)

∫

zdz

;

z

+

3

z+1

=4 e

б)

∫

z2

+cos z

dz.

z

3

z

=1

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞

dx

1.

∫

.

(x2

+2)(x2 +

3)

2

−∞

2π

dx

3.

∫

.

4 −

7 sin x

0

2π

dx

4.

∫

.

(4 +

7 cos x)

2

0

б) Найти: ( z1 z2 )2 , z1

, 5 z1 + z2 .

z2

а) f (z) =ch z, z0

= −1+ πi ;

4

б) f (z) = ln z, z0

=

1+2i

.

−1+2i

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции f (z) = e

z2

2 и вычислить производную. Выделить действи-