книги / Теория функций комплексного переменного
..pdf
а) |
|
∫ |
|
|
|
sin πz |
|
dz ; |
|||
|
|
( |
|
2 |
) |
2 |
|||||
|
z−1 |
= |
2 |
|
z |
−1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
∫ |
eiz −1 |
dz . |
|
|
||||||
|
z |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
∞ |
dx |
|
|
|
1. ∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
+8x +17) |
2 |
||
−∞ (x2 |
|
|
||
∞(x3 +5x)sin x
2.−∫∞ x4 +10x2 +9 dx .
|
2π |
|
dx |
|
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||
3 |
7 sin x + |
8 |
||||||
|
0 |
|
||||||
|
2π |
|
dx |
|
|
|
|
|
4. |
∫ |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|||||
(2 |
+cos x) |
2 |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|||
181
Вариант № 25
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 −5i и z2 = 2 −i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
|
б) Найти: z |
|
z2 , |
z2 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
, 5 |
z |
− z |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
z1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Задание 2. |
Вычислить значение функции |
f (z) в точке |
||||||||||||||||||||||
z0 , |
ответ представить в алгебраической форме комплексного |
||||||||||||||||||||||||
числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
f (z) = Arccos z, |
z0 = −3i; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
б) f (z) = ez , z0 = |
3π |
i +2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Указать область дифференцируемости функ- |
||||||||||||||||||||||||
ции |
f (z) = th (iz) |
и вычислить производную. Выделить дейст- |
|||||||||||||||||||||||
вительную и мнимую часть полученной производной. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Задание 4. Определить вид кривой z =1+i + |
t |
|
(2 −4i) . |
|||||||||||||||||||||
|
1−t |
||||||||||||||||||||||||
|
Задание 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−i |
|
|||||||||||||
|
Построить область плоскости z, определяе- |
||||||||||||||||||||||||
мую данными неравенствами: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
− |
|
z −1 |
|
> 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re z ≤5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Re z < |
(Im z)2 +1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
arg z |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задание 6. Проверить, может ли функция v = 2xy + x быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.
182
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-
бражается с помощью функции |
w = z − 4 область D : |
|
z |
|
=5 |
||||||||
|
|
||||||||||||
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
|||||||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. |
Указать главную и правиль- |
|||||||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) f (z) = |
9z +162 |
=0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
, z0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
81z +9z2 −2z3 |
|
|
|
|
|||||||||
б) f (z) = |
2z |
, z |
|
= −1−3i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 +4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 9. Функцию f (z) = |
z2 sin |
z +3 |
разложить в ряд |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||
Лорана в окрестности точки z0 = 0.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
cos z |
; |
|
||
(z2 −π2 )3 |
б) f (z) = (z −1)ch 3z .
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ z dz; L : { z = 2, 3π/ 4 ≤ arg z ≤5π/ 4}.
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а) ∫ |
(z +1)dz |
; |
||||
|
|
|
||||
z |
2 |
+2z −3 |
||||
|
z |
=4 |
|
|
||
183
б) ∫ |
z −sin z |
dz . |
|||
2z |
4 |
||||
|
z−i |
=2 |
|
|
|
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
∞ |
x2 |
+10 |
|
|
1. ∫ |
|
|
|
dx . |
|
+4) |
2 |
||
−∞ (x2 |
|
|
||
∞x2 cos x
2.−∫∞ x4 +10x2 +9dx .
|
2π |
|
dx |
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
. |
||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
0 |
4 5 sin x +9 |
||||
|
2π |
|
dx |
|
|
|
4. |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
(3 + |
2cos x) |
2 |
||||
|
0 |
|
|
|
||
184
Вариант № 26
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 −i и z2 =
= 1+ 3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
б) Найти: ( z1 z2 )2 , z1 |
, 4 z1 . |
|
z2 |
Задание 2. Вычислить значение функции f (z) в точке z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:
а) |
f (z) = cos z, z0 |
= |
πi +1; |
|
|
|
4 |
б) |
f (z) = Arctg z, |
z0 = 2 −i. |
|
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z) = cos(2iz) и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z = 22 +−tt +i11+−tt .
Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами:
z −1+i ≥1,
а) Re z <1,Im z ≤ −1.
z −2 ≥ z +2i ,
б)
z +3 < z −5 .
185
Задание 6. Проверить, может ли функция u = (x2 +x y2 ) + x
быть действительной частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (1) = 2.
Задание 7. Найти область плоскости W , |
в которую ото- |
|||||||||||||
бражается с помощью функции |
w = z + 3 область D : |
|
z |
|
=5 |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
||||||||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. |
Указать главную и правиль- |
||||||||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) f (z) = |
5z +100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
, z0 =0 ; |
|
|
|
|
|
||||||||
50z2 +5z3 − z4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
б) f (z) = |
2z |
, z |
|
= −3 +2i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z2 +4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задание 9. Функцию f (z) = z sin |
z2 −2z |
|
разложить в ряд |
|||||||||||
(z −1)2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Лорана в окрестности точки z0 =1 .
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
sin z |
; |
|
|
|
||
(z2 −π2 )2 |
|||
б) f (z) = |
sh (2z) |
. |
|
|
|
||
|
z2 |
|
|
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ (z9 +1)dz; АВС – ломаная zA =0; zB =1+i; zC =i.
ABC
186
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а) |
|
∫ |
|
sin z |
|
dz; |
||
|
(z −π) |
5 |
||||||
|
z−1 |
=3 |
|
|
||||
б) |
∫ |
e2 z +3z |
dz. |
|||||
|
z |
2 |
||||||
|
z |
=4 |
|
|
|
|
||
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
1. ∫ |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||
( |
|
2 |
) |
4 |
||
−∞ |
|
|
|
|||
|
x |
+1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
∞(x3 +1)cos x
2.−∫∞ x4 +5x2 +4 dx .
|
2π |
dx |
|
|
|
|
3. |
∫ |
|
|
. |
||
|
|
|
||||
7 sin x + |
4 |
|||||
|
0 |
|
||||
|
2π |
dx |
|
|
|
|
4. |
∫ |
|
. |
|||
|
|
|||||
(2 +cos x) |
2 |
|||||
|
0 |
|
|
|
||
187
Вариант № 27
Задание 1
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 +5i и z2 = = −3 −4i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
|
б) Найти: z3 z |
|
, |
z1 |
|
, 3 z |
− z . |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
z2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Задание 2. Вычислить значение функции |
f (z) в точке |
||||||||||||||
z0 , |
ответ представить в алгебраической форме комплексного |
|||||||||||||||
числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) f (z) =sh z, z0 |
= 1− |
πi ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
б) f (z) = Ln z, z0 = 3 +i. |
|
|
|||||||||||||
|
Задание 3. Указать область дифференцируемости функ- |
|||||||||||||||
ции |
f (z) = sin2 (2iz) |
и вычислить производную. Выделить |
||||||||||||||
действительную и мнимую часть полученной производной. |
||||||||||||||||
|
Задание 4. Определить вид кривой z =t2 −2 +i (t2 −4t +5) . |
|||||||||||||||
|
Задание 5. Построить область плоскости |
z, определяе- |
||||||||||||||
мую данными неравенствами: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
− |
6 ≤ arg z |
≤ − 6 |
, |
|
|
|
|
||||||||
|
а) |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
≤arg (z |
+2i) ≤ |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) Re(z +1) = |
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
v = x2 − y2 − x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Задание 6. Проверить, может ли функция |
|||||||||||||||
быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.
188
Задание 7. Найти область плоскости W , |
в которую ото- |
|||||||||||||
бражается с помощью функции w = z − |
3 область D : |
|
z |
|
= 4 |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
плоскости Z. |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной |
||||||||||||||
функции f (z) |
по степеням z − z0. Указать главную и правиль- |
|||||||||||||
ную части ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) f (z) = |
11z +242 |
=0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
121z +11z2 −2z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) f (z) = |
2z |
, z |
|
= 2 +3i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 +4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 9. Функцию f (z) = |
z cos |
|
z |
|
разложить в ряд |
|||||||||
|
z −3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лорана в окрестности точки z0 =3.
Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-
бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f (z) = |
tg z |
; |
|
|
|
||
z2 − |
π z |
||
|
|
4 |
|
б) f (z) = z12 +cos 1z .
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
∫ (sin z + z5 )dz; АВС – ломаная zA = 0; zB =1; zC = 2i.
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а) ∫ |
|
|
dz |
|
; |
||
|
|
|
|
||||
( |
z2 |
) |
2 |
||||
|
z+i |
=1 |
|
|
|||
|
|
+1 |
|
|
|||
189
б) ∫ |
z2 sin |
i |
dz . |
|||
2 |
||||||
|
z |
|
=1 |
|
z |
|
|
|
|
||||
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
2 |
) |
2 |
( |
|
2 |
|
) |
2 |
||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
+1 |
|
|
x |
+15 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞(x3 +1)sin x
2.−∫∞ x4 + 5x2 + 4dx .
|
2π |
|
dx |
|
|
|
3. |
∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 sin x + 3 |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
dx |
|
|
|
4. |
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
( |
10 + 3cos x) |
2 |
||||
|
0 |
|
|
|||
190