Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория функций комплексного переменного

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Вариант № 18

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 −6i и z2 = = −2 +2i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

	б) Найти: z	z2 ,	z1		, 3 z	+ z .
	1	2		z2		2
	1	2			1	2
	Задание 2.	Вычислить значение функции f (z) в точке
z0 ,	ответ представить в алгебраической форме комплексного
числа:					πi ;
	а) f (z) = ez , z0 = 1+				πi ;
					3
	б) f (z) =ch z, z0		= 2 + πi .
					2
	Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-
ции	f (z) = sin2 z	и вычислить производную. Выделить дейст-

вительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = sh1t −ictht.

Задание 5. Построить область плоскости z, определяемую данными неравенствами:

1 < z −1 ≤ 2, а) Im z ≥ 0,

Re z <1.

arg z < π,

б) 2

z 2 −3 ≤3.

Задание 6. Проверить, может ли функция u =ex (x cos y − y sin y) быть действительной частью некоторой

161

аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

бражается с помощью функции w = z − 1

область D :

= 2

плоскости Z.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0 . Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

z +4

, z0 = 0 ;

2z2 + z3 − z4

б) f (z) =

z +2

, z0 =1−3i.

(z −1)( z +

Задание 9.

Функцию

f (z) = sin

разложить в ряд

z −4

Лорана в окрестности точки z0 = 4.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а)	f (z)	=	sin2 z		;
			z3 +2z2

б)	f (z)	=	3	.
			z4ez

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ (z2 +1)dz; АВС – ломаная zA = 0; zB = −1+i; zC =i.

ABC

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

162

а)	∫			z +1		dz;
а)	∫			2	+4	dz;
б)	z	=3 z
	z	=3 z
			∫		z tg 2zdz.
	z−0,5			=1
	z−0,5			=1

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞	x	2	+3
1. ∫						dx .
	−10x +			29)	2
−∞ (x2

∞cos x

2.∫0 (x2 +9)(x2 +16)dx .

	2π		dx
3.	∫		dx		.

			15 sin x −	4
	0		15 sin x −	4
	2π		dx
4.	∫		dx				.

		(	5 +2cos x)			2
	0	(	5 +2cos x)

163

Вариант № 19

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 −4i и z2 =

= 3 +2i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: z2 z

, z1

4 z .

Задание 2.

Вычислить значение функции

f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) =sin z,

z0 =

π +

2πi ;

б) f (z) = ln z, z0 =1+i.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = cos2 (zi) и вычислить производную. Выделить дей-

ствительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = 2eit +

2eit

Задание 5.

Построить область плоскости z, определяе-

мую данными неравенствами:

1 ≤

z −i

< 2,

а) Re

z ≤ 0,

Im z >1.

z + z

≥ 2 Im z 2 ,

б)

≤ arg z

Задание 6.

Проверить,

может ли функция

v = 2xy +2x

быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) =0.

164

Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-

			z	≥1

бражается с помощью функции w =	1	область D :
			Re z ≤ 0
	z	Im z ≤ 0

плоскости Z.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f (z) по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.
а) f (z) =		3z +18			, z0 = 0 ;
а) f (z) =	9z +3z2 −2z3				, z0 = 0 ;
б) f (z) =	4		z +2			,	z0 = −3 −i.
б) f (z) =	4	(z	−1)(z	+3)		,	z0 = −3 −i.
		(z	−1)(z	+3)
Задание 9. Функцию				f (z)			= cos	z2 −4z	разложить в ряд
Задание 9. Функцию				f (z)			= cos	( z −2)2	разложить в ряд
								( z −2)2

Лорана в окрестности точки z0 = 2.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) f (z) =	sh z		;

	(z2 +π2 )2
б) f (z) =	e2 z −3	.

	z3

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

∫ e z 2 Im zdz ; АВ – отрезок прямой zA =1+i; zB = 0.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

165

а)		∫		ch zdz		;

			=π (z2 +π2 )		2
	z−πi
	z−πi
б)	∫		e1z +1 dz.
	z	=4		z
	z	=4		z

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞					dx
1. ∫					dx						.

	(		2	)	2	(	2		)	2
−∞	(			)		(			)
−∞		x		+1		x		+5
		x		+1		x		+5

∞xsin x

2.−∫∞ x2 −2x +10dx .

	2π	dx
3.	∫	dx			.

		2 6 sin x −5
	0	2 6 sin x −5
	2π	dx
4.	∫	dx		.

		(3 +cos x)	2
	0	(3 +cos x)

166

Вариант № 20

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 +3i и z2 =

= 1+ 3i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти:

z z

2 , 5

z .

Задание 2. Вычислить значение функции

f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) =sh z, z0 = 2 +

πi ;

б) f (z) = Arcsin z,

z0 =

−3 +i

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = eiz 2

и вычислить производную. Выделить действи-

тельную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z =3eit −

2eit

Задание 5. Построить область плоскости

z, определяе-

мую данными неравенствами:

< 2,

а)

Re z ≥1,

arg z

< 6 .

б) Re(z2 + z 2 ) > 4Re z −2Im z.

167

Задание 6. Проверить, может ли функция u =1−sin y ex быть действительной частью некоторой аналитической функ-

ции f (z), если да – восстановить ее при условии			f (0) =1+i.
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую ото-
					z	≤1

бражается с помощью функции w =	1	область	D :

	z			Re z ≥0
				Im z ≤0

плоскости Z.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)	по степеням z − z0. Указать главную и правиль-
ную части ряда.
а) f (z) =		2z +16		, z0 = 0 ;
а) f (z) =	8z2 +2z3 − z4			, z0 = 0 ;
б) f (z) =	4	z +2			,	z0 = −2 +i.
б) f (z) =	4	(z −1)( z	+3)		,	z0 = −2 +i.
		(z −1)( z	+3)
Задание 9. Функцию			f (z)			= ch 4z −2z2	разложить в ряд
						( z −1)2

Лорана в окрестности точки z0 =1.

Задание 10. Для функции f (z) найти изолированные осо-

бые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) f (z) =	(z2 +9)2
		;
	(z −3i)2 (z2 +4)
б) f (z) =	sh 3z −1 .
	z2

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

168

∫ (sin iz + z)dz; L : { z =1, Re z ≥ 0}.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а)

∫

ez dz

;

+2z

z−i

=1 z

б)

∫

z sin

dz.

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

∞dx

1.−∫∞ x4 +7x2 +12 .

∞x cos x

2.−∫∞ x2 −2x +10dx .

	2π		dx
3.	∫		dx		.

			35 sin x −6
	0		35 sin x −6
	2π			dx
4.	∫			dx			.

		(	7 +	2 cos x)		2
	0	(	7 +	2 cos x)

169

Вариант № 21

Задание 1

а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 +i и z2 =

= 2 3 +2i. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: z2 z , z2		, 4 z		− z .
1	2	z1	2	1

Задание 2.	Вычислить значение функции f (z) в точке

z0 , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а)	f (z) = cos z, z0	=	πi +2 ;
			6
б)	f (z) = Arch z,	z0 =3i.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z) = 2i ln z и вычислить производную. Выделить дейст-

вительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = −2eit + e1it .

Задание 5. Построить область плоскости					z,	определяе-
мую данными неравенствами:
1 <		z −1	≤ 2,
1 <		z −1	≤ 2,
а) Im
а) Im		z ≥0,
Re z <1.

б) Im(				)≤ 2 −Im z.
б) Im(	z2 − z			)≤ 2 −Im z.
Задание 6. Проверить, может ли функция					v =	e2 x −1	sin y
Задание 6. Проверить, может ли функция					v =	ex	sin y
						ex

быть мнимой частью некоторой аналитической функции f (z), если да – восстановить ее при условии f (0) = 2.

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202327.99 Mб1Теория упругости микронеоднородных сред..pdf
#
12.11.202311.07 Mб1Теория упругости неоднородных тел..pdf
#
12.11.20238.54 Mб6Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости.pdf
#
12.11.20235.05 Mб2Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы.pdf
#
12.11.202321.88 Mб2Теория упругости..pdf
#
12.11.20231.22 Mб5Теория функций комплексного переменного..pdf
#
19.11.202328.91 Mб2Теория функций комплексной переменной..pdf
#
12.11.20235.34 Mб6Теория химических реакторов введение в основной курс..pdf
#
12.11.20236.48 Mб1Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса.pdf
#
12.11.20232.15 Mб15Теория электрической связи. Основные понятия.pdf
#
13.11.202324.95 Mб12Теория электрической связи. Помехоустойчивая передача данных в информационно-управляющих и телекоммуникационных системах модели, алгоритмы, структуры.pdf