книги / Надёжность технических систем и техногенный риск. Структурно-энергетическая теория отказов

Определим функцию распределения следующим образом:

Тогда для относительной крутизны, согласно уравнению (5.6), справедливо

Будем обозначать впредь через m(K) и mi(K) K-й момент распределений q(ε) и qi(ε) соответственно. Из условия (5.17) следует, что

Сопоставим между собой выражения (5.22) и (5.24) и получим

91

i =1

Таким образом, утверждение 1 доказано в общей форме для функции q(ε), определяемой выражением (5.17).

Справедливость доказанного утверждения подтверждается и результатами испытаний на разрушение образцов из алюминия, латуни и алюминиевой фольги, представленными в табл. 5.1–5.3.

Таблица 5. 1

Результаты испытаний на механическое разрушение образцов из дюралюминия марки Д16АТ при скорости нагружения v = 20 мм/мин

Таблица 5. 2

Результаты испытаний на механическое разрушение образцов из латуни марки Л63М при скорости нагружения v = 20 мм/мин

Таблица 5. 3

Результаты испытаний на электрическое разрушение образцов из алюминиевой фольги при W = 13,2 Вт

93

Из этих таблиц видно, что в случае как электрического, так и механического разрушения образцов с дефектами относительная крутизна S функции распределения энергии разрушения, полученной в результате суперпозиции отдельных распределений, всегда оказывается меньше соответствующей линейной комбинации величин Si отдельных функций распределения.

5.4.Минимальное число квазичастиц, вызывающих отказ элементов

Определение минимального числа квазичастиц, поглощение которых материалами элементов ведет к их отказу, базируется на следующем утверждении, которое справедливо независимо от механизма действия энергии, вида энергии и состава элементов.

Утверждение 2. Если функция распределения энергии разрушения имеет относительную крутизну S, то среднее число событий поглощения квазичастиц, вызывающих отказ, по крайней мере не меньше, чем S.

Как видно из формулировки утверждения, оно указывает только нижний предел для среднего числа событий поглощения квазичастиц, необходимый для возникновения отказа, фактическое же число таких событий может быть значительно больше S.

Единственным условием справедливости утверждения 2 является требование, чтобы при испытаниях элементов при изменении величины энергетического воздействия остальные параметры испытаний оставались постоянными, особенно важно, чтобы не изменялась продолжительность энергетического воздействия, для чего интенсивность энергетического воздействия следует изменять пропорционально величине энергетического воздействия. Хотя это условие часто не выполняется по техническим причинам, все же во многих случаях можно считать, что изменение продолжительности энергетического воздействия не влияет на форму кривой функции распределения энергии разрушения и, следовательно, утверждение остается в силе. Действительно, в испытаниях по определению функции распределения энергии разрушения продолжительность

94

энергетического воздействия исчисляется секундами, в некоторых случаях минутами, поэтому фактор времени, т.е. зависимость вероятности отказа от временного распределения энергетического воздействия, не успевает проявиться. Это условие введено для того, чтобы исключить из рассмотрения процессы восстановления, которые могут оказывать влияние на величину S.

Пусть совокупность однородных элементов подвергается энергетическому воздействию ε, величина которого определяется его интенсивностью. Вероятность отказа элемента в этом случае будет зависеть от числа и вида событий поглощения квазичастиц, происходящих в материале элемента. Отдельные события поглощения квазичастиц различаются по величине и пространственному распределению поглощенной энергии в материале элемента и по моменту времени, в который они происходят.

Для упрощения предположим, что имеется K различных видов или классов событий поглощения квазичастиц, которые различаются между собой по величине и пространственно-временному распределению поглощенной энергии в материале элемента. Выберем K такой величины, чтобы данные параметры класса достаточно точно характеризовали событие поглощения квантов во времени и пространстве.

Обозначим через ri число событий поглощения квазичастиц класса i (i = 1, 2, …, K), происходящих в материале элемента испытуемой совокупности. Пусть вектор Rε есть вектор с K компонентами ri. Индекс ε у вектора R указывает на то, что он является случайной величиной, зависящей от величины энергетического воздействия ε.

Пусть B – случайная переменная, которая принимает значение 0 при отсутствии отказа и значение 1 при возникновении отказа. Вероятность отказа отдельного элемента в результате энергетического воздействия является функцией числа происходящих событий поглощения квазичастиц различных видов, и поэтому обозначим ее как P(B = 1/Rε = R).

95

На основании этой зависимости формально можно говорить о наложении K простых процессов Пуассона. Разумеется, что в этом случае изменяется не время, а величина энергетического воздействия ε. Если ввести обозначение

Теперь вычислим условную вероятность наступления отказа в том случае, когда произошло точно n событий поглощения квазичастиц. Используя уравнение (5.30), можно показать, что эта вероятность не зависит от ε:

R =n

Вероятность наступления отказа зависит только от поглощенной энергии и ее пространственно-временного распределения. Следовательно, P(B = 1/Rε = R) не зависит от величины ε. Если для краткости ввести обозначение

то уравнение (5.31) с учетом соотношения (5.30) можно записать в следующем виде:

97

Тем самым мы показали, что вероятность отказа элемента при условии, что произошло точно n событий поглощения квазичастиц, не зависит от ε. Обозначим эту вероятность для краткости qn:

Вероятность qn изменяется дискретно и с ростом n (n = 0, 1, 2…) монотонно возрастает от 0 до 1. Это очевидное утверждение вытекает из предположения о том, что дополнительное поглощение энергии материалом не может понизить вероятность отказа элемен-

сле n событий поглощения квазичастиц и после n – 1 событий поглощения квазичастиц; ξ – постоянный коэффициент, ξ = α n.

98

Следовательно, ожидаемое число n событий поглощения квазичастиц, которые необходимы для возникновения отказа,

Теперь эту величину можно сопоставить с относительной крутизной зависимости вероятности отказа от величины энергетического воздействия ε.

Плотность вероятности энергии разрушения, согласно уравнению (5.37), является выпуклым наложением плотностей гаммараспределений, для которых, как известно, среднее значение ε i и

дисперсия σ i2 равны

следовательно, относительная крутизна

Согласно утверждению 1 в его общей форме из уравнения (5.37) следует, что

причем S есть относительная крутизна кривой q = f(ε). А на основании уравнения (5.38) получаем

что и требовалось доказать.

Если используемая в опытах совокупность элементов неоднородна, то ее можно разделить на L классов однородных элементов. Разделение на конечное число классов является вполне обоснованным, так как L может быть выбрано сколь угодно большим, кроме того, мы всегда имеем дело с конечным числом испытуемых элементов. Зависимость вероятности отказа от величины энергетического воздействия ε является, таким образом, выпуклым наложени-

99

ем распределений qi(ε) (i = 1, 2,…, L), соответствующих отдельным классам:

i =1

где

L

∑Ci =1 и Ci ≥ 0,

i=1

Ci – относительная доля элементов данной структуры материалов i (i = 1, 2, …L) в совокупности.

Выше было показано, что соотношение

справедливо для каждой кривой qi(ε) идентичных элементов. Но тогда, согласно утверждению 1 для распределения q(ε), являющегося выпуклым наложением распределений qi(ε), справедливо соотношение

Следовательно, утверждение о минимальном числе эффективных событий поглощения квазичастиц справедливо независимо от механизма действия энергии и состава испытуемых элементов

Материал элемента, поведение которого зависит от величины энергетического воздействия, можно рассматривать как некий измерительный прибор, который регистрирует превышение величины энергетического воздействия над некоторым значением ε. Таким измерительным прибором, очевидно, можно измерить энергию, поглощенную в определенном объеме материала, иначе говоря, определить вид и число событий поглощения квазичастиц. Здесь мы должны оставить открытым вопрос, каким образом происходит измерение. В частности, измерительный прибор может «ошибаться», т.е. содержать элемент случайности; на точность измерений могут влиять и восстановительные процессы.

100