книги / Надёжность технических систем и техногенный риск. Структурно-энергетическая теория отказов

этих повреждений может с определенной вероятностью восстановиться либо с какой-то другой вероятностью стать необратимым повреждением. Другими словами, необратимые повреждения могут быть следствием «ошибок» в процессе восстановления первичных повреждений. Поэтому любое первичное повреждение можно рассматривать как потенциальное повреждение, т.е. повреждение, которое само по себе еще не вызывает отказа или иных выраженных проявлений энергетического воздействия. Повреждения потенциальны именно в этом смысле: пока они не реализованы, материалы элементов могут от них восстановиться.

6.6. Общая модель восстановления при произвольных режимах энергетического воздействия

Как и раньше, обозначим через I(t) интенсивность энергетического воздействия. Тогда общая подведенная к материалу элемента энергия начиная с момента времени t0 будет равна

t

E(t) = ∫ I (τ ) dτ .

t0

Если бы в материале элемента отсутствовали процессы восстановления, то эффективная поглощенная энергия Еэф(t) совпадала бы с подведенной энергией E(t), т.е.

Чтобы учесть восстановление, вычтем из первой части равенства (6.37) положительную функцию v(t), которую будем называть скоростью восстановления, т.е. будем определять эффективную поглощенную энергию из следующего соотношения:

151

Учитывая, что поглощенная энергия расходуется на образование необратимого компонента энергетического воздействия, запишем

где E1(t) – часть поглощенной энергии, расходуемой на образование необратимого компонента энергетического воздействия;

E2(t) – часть поглощенной энергии, расходуемой на образование обратимого компонента энергетического воздействия.

Очевидно, что необратимый компонент энергетического воздействия должен быть пропорционален величине общей подведенной энергии:

так как материал может восстанавливаться только от обратимых повреждений, то скорость восстановления v(t) будет пропорциональна величине обратимого компонента энергетического воздействия:

где µ – коэффициент восстановления, или вероятность восстановления в единицу времени.

Если же предположить, что и скорость восстановления должна быть пропорциональна величине общей подведенной энергии:

то мы придем к следующему выводу. Пусть энергетическое воздействие прекращается при t = t1. Тогда при t > t1 I (t) = 0, поэтому уравнение (6.38) примет, с учетом равенства (6.42), вид

Следовательно, величина Eэф(t) с ростом t стремится к нулю, т.е. происходит полное восстановление. Таким образом, использо-

152

вание равенства (6.44) приводит к тому, что мы должны постулировать невозможность возникновения необратимого компонента в результате энергетического воздействия. Но это противоречит действительности. Поэтому вместо равенства (6.42) следует использовать другие описания процессов восстановления, из которых, вероятно, простейшее выражается равенством (6.41).

Используя формулу (6.41), запишем выражение (6.38) следующим образом:

Если снова предположить, что I(t) = 0 при t > t1, то для t > t1 формула (6.50) примет вид

153

Первое слагаемое в правой части выражения (6.51) остается постоянным с ростом t (необратимое повреждение, пропорциональ-

мится к нулю (обратимое повреждение). Формулу (6.50) и ее частный случай – формулу (6.51) – можно использовать при различных режимах энергетического воздействия, которым будут соответствовать различные функции I(t). В частном случае, при I(t) = I = const, t = t1 и t0 = 0, получим

Тогда изменение отношения эффективной поглощенной энергии к подведенной энергии E(t) = It можно записать в виде

Eэф (t) = k + 1 − k (1 − e−ψ ).

E(t) ψ

Для случая ψ << 1, разлагая e–ψ в ряд, имеем

Eэф (t) =1,

E(t)

т.е. эффективная поглощенная энергия будет равна подведенной. В этом случае процессы восстановления отсутствуют или их роль незначительна.

При ψ >> 1 e–ψ << 1 и [(1–k)/ψ] << k, поэтому

Eэф (t) = k,

E(t)

154

т.е. в этом случае обратимые повреждения полностью восстанавливаются уже в процессе энергетического воздействия. При промежуточных значениях ψ происходит снижение относительной эффективной поглощенной энергии от 1 до k.

Рис. 6.22. Случай многократного энергетического воздействия (функция I(t))

Рис. 6.23. График функции E1(t), E2(t)

Теперь рассмотрим случай повторного энергетического воздействия, когда функция I(t) имеет вид, изображенный на рис. 6.22, где использованы следующие обозначения: τ – длительность одного энергетического воздействия; T – интервал времени между началом двух смежных энергетических воздействий; Iτ – энергия, подводи-

155

мая к элементу при однократном энергетическом воздействии; N – число энергетических воздействий. Кроме того, в соответствии с рис. 6.22 будем считать момент t0 начала энергетического воздействия равным нулю. Тогда из формулы (6.40) найдем следующее выражение для необратимой части повреждений E1(t):

График функции E1(t) изображен на рис. 6.23.

Рис. 6.24. График функции Eэф(t)

Перейдем к определению обратимой части повреждений E2(T). При nT ≤ t ≤ nT + τ (участок энергетического воздействия) найдем из формулы (6.48), заменяя t0 на nT, следующее выражение для

E2(t):

n = 0, N.

156

Следовательно,

При nT + τ ≤ t ≤ (n + 1)T (участок отсутствия энергетического воздействия) из формулы (6.48), заменяя t0 на nT + τ, получаем, что

Формулы (6.54)–(6.58) определяют изменение во времени обратимой компоненты повреждения E2(t); график функции E2(t) изображен на рис. 6.23. График функции Eэф(t) изображен на рис. 6.24.

Из рис. 6.23 и 6.24 видно, что характер изменения E2(t) и Eэф(t) соответствуют моментам начала и конца энергетического воздействия.

Найдем формулу для вычисления максимальных и минимальных значений E2(t). Из выражений (6.55) и (6.57) следует, что

Тогда выражение (6.55) принимает следующий вид:

157

Итак, для момента времени t = nT, соответствующего началу очередного энергетического воздействия, поглощенная энергия будет равна

а для момента времени t = nT + τ, соответствующего окончанию периода очередного энергетического воздействия, эффективная поглощенная энергия будет определяться выражением

Eэф (t) = kI (n +1)τ + b 1 − exp(−µnT ) exp(− µτ )+ a= 1 − exp(−µT )

[ ] (6.64) = kI (n +1) + 1 − exp −µ(n +1)T .

1 − exp(−µT )

Формулы (6.63) и (6.64) дают возможность рассчитать эффективную поглощенную энергию при любом режиме повторного энергетического воздействия. Если общая (суммарная) энергия и время t, за которое она была получена, остаются постоянными, то, изменяя значения τ и T, можно проследить характер изменения эффективной поглощенной энергии при различных режимах повторного энергетического воздействия. При τ = T повторное энергетическое воздействие становится непрерывным и выражения (6.63) и (6.64) совпадают. Если T постоянно (τ < T), то при уменьшении τ значение эффективной поглощенной энергии перед началом очередного энергетического воздействия (6.63) будет уменьшаться, а значение поглощенной энергии после окончания очередного энергетического воздействия (6.64) будет увеличиваться (I увеличивается, энергия Iτ, подводимая при неоднократном энергетическом воздействии, остается постоянной). Если τ постоянно, T изменяется от τ до t (τ ≤ T ≤ t), a T = t (I максимальное), выражение (6.63) примет свое минимальное, а (6.64) – максимальное значение. При увеличе-

158

нии числа энергетических воздействий, т.е. при уменьшении T (I уменьшается), значения эффективной поглощенной энергии по формуле (6.63) будут увеличиваться, а по формуле (6.64) уменьшаться до тех пор, пока при Т = τне станут одинаковыми.

Таким образом, определение эффективной поглощенной энергии по формулам (6.63) и (6.64) дает возможность предварительной оценки уровня повреждения материала элемента при различных режимах энергетического воздействия. Что же касается изменения кривых вероятности отказа, то анализ показывает, что восстановление свойств материалов при любых условиях энергетического воздействия подчиняется статистическим закономерностям, аналогичным принципу уменьшения эффективной поглощенной энергии. Однако поскольку при сложных режимах энергетического воздействия эффективная поглощенная энергия может увеличиваться, то принцип уменьшения эффективной поглощенной энергии естественным образом обобщается до принципа изменения эффективной поглощенной энергии, который можно записать следующим выражением:

Если элементы подвергаются энергетическому воздействию E(t), тогда в любой момент t фактическая поврежденность материалов элементов такова, как если бы первоначально элементы были подвергнуты однократному энергетическому воздействию Еэф(t).

Вопросы по материалу главы 6

1.Модель отказов, учитывающая интенсивность воздействия на элемент.

2.Учет способности материала к самовосстановлению.

3.Получение интенсивности отказов λ(t) в структурноэнергетической теории отказов.

159

4.Каким образом интенсивность энергетического воздействия влияет на интенсивность отказов?

5.Физическая природа процесса восстановления материала после повреждения.

6.Каким образом учитываются необратимые повреждения?

7.Общая модель восстановления при произвольных режимах энергетического воздействия.

160