книги / Надёжность технических систем и техногенный риск. Структурно-энергетическая теория отказов
.pdf
Рис. 6.11. Зависимость относительной интенсивности отказов резисторов от температуры окружающей среды и коэффициента нагрузки
Рис. 6.12. Зависимость относительной интенсивности отказов электровакуумных триодов от температуры окружающей среды и коэффициента нагрузки
131
Рис. 6.13. Зависимость относительной интенсивности отказов транзисторов от температуры окружающей среды
и коэффициента нагрузки
Рис. 6.14. Зависимость относительной интенсивности отказов реле от коэффициента нагрузки контактов
132
6.4.Физико-математическая интерпретация влияния интенсивности энергетического воздействия
на надежность элементов
Одним из способов оценки достоинств теоретических представлений о влиянии интенсивности энергетического воздействия или фактора времени на надежность элементов является возможность объяснения с их помощью основных закономерностей отказов, наблюдаемых на практике. Получаемые на практике зависимости вероятности безотказной работы элементов от времени можно свести к одному из четырех типов кривых (рис. 6.15–6.18).
При интерпретации этих кривых будем полагать, что значение функции интенсивности отказов пропорционально количеству поглощенной энергии, т.е.
λ(t) = α En(t). |
(6.20) |
Рис. 6.15. Кривая без перегиба, |
Рис. 6.16. S-образная кривая, |
асимптотически стремящаяся |
стремящаяся к нулевому |
к нулевому значению |
значению вероятности |
вероятности безотказной |
безотказной работы |
работы |
|
133
Рис. 6.17. Кривая без точки перегиба, стремящаяся к (ненулевому) пределу
Рис. 6.18. S-образная кривая, стремящаяся к большему (ненулевому) пределу
1. Примем самое простое предположение, что количество поглощенной энергии En(t) в материалах элементов не изменяется со временем:
dEn (t) = 0 , dt
т.е. En(t) =E(0).В этом случае
λ(t) = α En(t);
134
t |
|
−∫λ(τ) τd= −α En (0)=t−λ t, |
(6.21) |
0 |
|
где λ = α En(0) –положительная константа. |
|
Тогда |
|
N(t) = N0exp(–λt) |
|
или |
|
P(t) = exp(–λt), |
(6.22) |
что соответствует первому типу кривых (см. рис. 6.15).
2. Предположим, что энергия поглощается материалами элементов с постоянной скоростью
dEn |
(t) |
|
|
|
|
|
= η > 0 |
, |
(6.23) |
|
|
|||
dt
т.е. количество ее линейно растет со временем. Поэтому En(t) = 0 при t ≤ t0 и En(t) = η(t – t0) при t > t0, а так как
|
|
λ(t) = α |
En(t) = 0 при t ≤ t0, |
|
||||||||||
|
|
λ(t) = α En(t) = ξ |
(t – t0) при t > t0, |
|
||||||||||
где ξ = α η, т.е. положительная константа, то |
|
|||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∫λ (τ) |
dτ = |
|
0 при T ≤ T0, |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
ξ−(t |
|
|
|||
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
|
λ(τ) τd= − ξ(τ − |
t0τ)=d− |
|
t0 )2 при T > T0. |
|
||||||||
|
0 |
t0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда N(t) = N0(0) при T ≤ T0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
N (t) = N (0) exp − |
|
|
(t − t0 ) |
|
при T > T0 |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или P(t) = 1 при T ≤ T0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
P(t) = exp |
− |
|
(t − t0 ) |
|
|
|
при T > T0. |
(6.24) |
||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
Получающиеся при этом кривые функции вероятности безотказной работы относятся ко второму типу (см. рис. 6.16).
Прежде чем перейти к кривым третьего и четвертого типов, рассмотрим задачу об условиях, при которых кривые функции вероятности безотказной работы стремятся к нулевому пределу и имеют точку перегиба. Обозначим
t
∫λ(τ) dτ = I (t).
0
Поскольку λ(t) ≥ 0, то I(T) ≥ 0. Поэтому при t → ∞ I(t) стремится либо к +∞, либо к конечному пределу. Впервом случае N(t)→ 0, откуда следует, что если λ(t) – функция, соответствующая кривым третьего и четвертого типов, то интеграл
t
∫ λ(τ) dτ
0
должен быть конечным. Это возможно лишь в двух случаях: либо если начиная с некоторого времени λ(t) превращается в нуль, либо если начиная с некоторого времени λ(t) достаточно быстро убывает (например, как 1/t2).
Из соотношения (6.20) следует, что те же условия должны быть наложены и на En(t). Таким образом, формы кривых функций вероятности безотказной работы в рамках рассматриваемой гипотезы могут быть объяснимы только уменьшением количества поглощенной энергии (повреждений) в материалах элементов, т.е. протеканием процессов восстановления. Для объяснения кривой четвертого типа необходимо также предполагать накопление энергии (повреждений) в материалах элементов. Действительно, так как
λ( t)= − 1
N (t)
d2 N (t) = − dλ (t) dt 2 dt
= dλ (t) N (t) + λ 2 dt
dN (t) dN (t) = −λ( t)N( t) ,
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
N (t) − λ (t) |
dN (t) |
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
dλ |
(t) |
2 |
|||||
(t)N (t)= |
− |
|
|
|
|
+ λ |
|
(t) N (t). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|||
136
Кривая четвертого типа имеет точку перегиба T1, в которой N''(t1) = 0, поэтому λ'(t1) = λ''(t1) ≥ 0. Это значит, что в точке T1 функция λ(t) (а с ней и Е) возрастает, т.е. имеет место нарастание количества поглощенной энергии (количества повреждений) в материалах элементов.
3. В соответствии с полученными выше результатами предположим, что количество поглощенной энергии со временем уменьшается. Это может происходить при изменении режимов работы элементов или в результате прекращения энергетического воздействия или изменения окружающих условий. Наиболее просто принять линейное убывание, которое будет иметь место, например, в том случае, если в материалах элементов будут протекать восстановительные процессы с постоянной скоростью.
dE (t) = µ
0 , E0(0) = 0. dt
Взаимодействие процессов восстановления и процессов повреждения можно представить как реализацию второго порядка
dEn (t) = −η E0 (t) En (t), dt
причем в результате этого взаимодействия количество отводимой энергии Ене изменяется. Тогда
E0 = µt;
откуда
En (t)
|
dEn |
(t) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= −ηµ t En |
(0), |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|
|
|
||
= En |
|
|
|
− |
ηµ t |
2 |
|
|
(0) exp |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Умножив последнее равенство на α , получим
λ(t) = λ(0)exp(–at2); |
|
|
|
t |
|
P(t) = exp −λ( 0)∫exp(− aτ 2 ) τd |
, |
|
|
0 |
|
137
где a = η µ. 2
Получающиеся при этом кривые вероятности безотказной работы относятся к третьему типу (см. рис. 6.17, 6.18).
4. Для появления кривых четвертого типа, как было показано, необходимо сосуществование процессов повреждения и восстановления. Предположим, что скорость накопления поглощенной энергии пропорциональна количеству поглощенной энергии:
dEn (t) = χ En (t), dt
а убывание энергии следует тому же закону, что и в только что рассмотренном случае. Получим
|
dEn (t) |
|
= χ En (t)− η E0 |
(t) En |
(t), |
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
E(0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dE0 (t ) |
= µ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E0(t) = µt; |
|
dEn |
(t) |
= (χ − ηµ t) En (t); |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
En (t) = En |
|
|
|
|
|
ηµ |
|
t |
2 |
|
|
|
||||||
(0) exp χ t− |
|
2 |
|
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ηµ |
2 |
|
|
|
|
|||
|
λ (t)= λ (0) expχ −t |
|
t |
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ηµ |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||
P(t) = exp −λ |
(0)∫exp χ τ − |
|
|
|
τ |
dτ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
λ(t) = c·exp[–a(t – b)2]; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫ |
exp |
−a(τ − |
b) |
dτ |
|
|
|||||||
P(t) = exp −c |
|
, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
138 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a = ηµ/2; b = χ/ηµ – положительные константы и c = λ(0) ×
×exp( ab2).
Вточке t1 перегиба кривой P(t) имеем
λ'(t1) = λ2(t1);
c(–a) · 2(t1 – b)exp[–a(t1 – b)2] = c2exp[–2a(t1 – b)2]
или
–2a(t1 – b) = c exp[–a(t1 – b)2].
Отсюда видно, что при различных наборах коэффициентов a, b, c получается кривая либо третьего (см. рис. 6.17, 6.18), либо четвертого (см. рис. 6.19) типов.
Таким образом, существование различных форм кривых функций вероятности безотказной работы элементов очень легко объясняется с позиций структурно-энергетического подхода к проблеме надежности. Причем предположение о том, что форма кривых функций вероятности безотказной работы в первую очередь определяется не только структурной неоднородностью материалов элементов, но и кинетикой процессов повреждения и восстановления, в большинстве случаев лучше соответствует действительности, чем предположение, отводящее структурной неоднородности материалов решающую роль.
6.5. Модели восстановления свойств материалов от последствий энергетического воздействия
Развитие отказа является многоступенчатым процессом, который формально можно представить следующими основными этапами.
Первый этап – возникновение элементарных повреждений в результате энергетического воздействия на материалы элементов. Вероятность образования первичного повреждения на единицу энергетического воздействия зависит от объема чувствительной структуры материала и величины энергии, необходимой для образования первичного повреждения. Поскольку отнюдь не всякое выделение энергии в объеме чувствительной структуры материала может привести к образованию первичного повреждения, способного вызвать отказ, то материал элемента, по-видимому, способен
139
восстанавливаться от него еще на стадии формирования элементарных повреждений. В пользу этого предположения свидетельствуют результаты исследований процессов разрушения твердых тел, показывающие, что в твердых телах постоянно происходит разрушение и восстановление атомных связей. На этой стадии чувствительность материала к энергетическому воздействию определяется величиной объема V чувствительной структуры материала с вероятностью Р образования элементарных повреждений при локальном выделении
вобъеме чувствительной структуры материала элемента энергии Еп. Оба параметра (V и Р) могут зависеть как от структуры материала элемента, так и от физической природы энергетического воздействия и окружающих условий эксплуатации элементов.
Второй этап – реализация элементарных повреждений. Поскольку материал элемента способен восстанавливаться от некоторых повреждений, то реализованными оказываются не все возникшие элементарные повреждения, а лишь часть их. Следовательно, чувствительность материала элемента к энергетическому воздействию определяется не только вероятностью реализации элементарных повреждений, но и вероятностью их восстановления.
Первый этап процесса формирования отказа рассмотрен в предыдущих параграфах, и уже там неоднократно указывалось на важную роль процессов восстановления материалов в формировании законов распределения времени наработки элементов до отказа. Однако мы не интересовались, каким закономерностям подчиняются процессы восстановления и каким образом эти закономерности можно установить. Без знания этих закономерностей развиваемый
врамках настоящей работы структурно-энергетический подход к надежности не будет полным.
Известно, что изучение количественных закономерностей любого явления сводится к построению математической модели, адекватно отражающей основные особенности этого явления. Создание математической модели восстановления свойств материалов элементов от последствий энергетического воздействия позволяет планировать эксперименты для дальнейшей конкретизации модели, для определения уравнений, описывающих изучаемый процесс, и параметров, входящих в эти уравнения.
140