книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов

математическая модель находится в отношении математического подобия к моделируемому объекту;

динамическая модель находится в отношении динамического подобия к моделируемому объекту;

вероятностная модель находится в отношении вероятностного подобия к моделируемому объекту;

геометрическая модель находится в отношении геометрического подобия к моделируемому объекту.

2.3. Теоремы подобия

Подобные объекты (явления, процессы, системы) подчиняются общим закономерностям, которые принято называть теоремами подобия.

Первая теорема подобия

У подобных объектов некоторые безразмерные соотношения параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковы.

Критерии подобия обозначают буквой πi , а первая теорема подобия кратко записывается так:

i idem , i 1, 2, ..., I ,

где idem – означает «одно и то же», одинаково для рассматриваемых объектов.

Вторая теорема подобия (π-теорема)

Эта теорема позволяет установить количество критериев подобия для рассматриваемых подобных объектов и может быть сформулирована следующим образом: если какой-либо процесс зави-

сит от n физических величин, из которых k величин имеют независимые размерности, т.е. являются основными в системе единиц измерения, а I n k величин являются производными, то из указанных величин можно образовать I независимых безразмерных комплексов, т.е. критериев подобия.

Следствие из теоремы: k физических величин в модели могут быть выбраны произвольно (например, из конструктивных сообра-

21

жений), а I n k величин должны быть заданы «принудительно», исходя из критериев подобия.

Третья теорема подобия

Первая и вторая теоремы подобия получены на основе предположения о том, что подобие рассматриваемых объектов известно заранее.

Третья теорема совместно с первой теоремой подобия устанавливает необходимые и достаточные условия подобия объектов:

пропорциональность сходственных параметров объектов и равенство критериев подобия, в том числе критериев, составленных из величин, входящих в условие однозначности.

Условия однозначности (моновалентности) – это условия, выделяющие данный единичный объект из группы подобных объектов (например, граничные условия, начальные условия, условия сопряжения и т.п.).

Нетрудно заметить, что рассматриваемое утверждение аналогично условию подобия треугольников: пропорциональность сходственных сторон и равенство сходственных углов.

Кроме теорем подобия существуют дополнительные положения о подобии сложных, нелинейных и анизотропных систем, систем с переменными параметрами [3].

2.4. Определение критериев подобия

Для нахождения критериев подобия могут быть использованы следующие способы.

Первый способ заключается в анализе уравнений, описывающих подобные объекты. Вводятся коэффициенты пропорциональности сходственных физических величин – масштабные коэффициенты. Используя масштабные коэффициенты, параметры модели выражают через параметры объекта – оригинала. Затем подставляют их в уравнение, описывающее модель. Требуют тождественности полученного уравнения и уравнения оригинала. Отсюда получают индикаторы подобия, а затем критерии подобия.

22

Второй способ основан на анализе размерностей физических величин, характеризующих подобные объекты и не требует уравнений, описывающих модель и оригинал.

Подробно рассмотрим второй способ.

Необходимо найти критерии подобия двух потоков жидкости. Каждый из них описывается следующими параметрами:

l, a, b – линейные размеры, diml L, dima L, dimb L ;

– характерная скорость, dim LT 1 ;

– плотность жидкости, dimρ L 3M ;

p – перепад давления, dim p L 1MT 2 ;

– касательное напряжение, dim τ L 1MT 2 ;

g– ускорение свободного падения, dim g LT 2 ;

– динамическая вязкость, dimμ L 1MT 1 ;

– поверхностное натяжение, dimσ MT 2 ;

E – модуль упругости жидкости, dim E L 1MT 2 .

Список параметров позволяет установить, что всего физических величин n 11; независимые размерности имеют три величины l, , ρ . Действительно, размерности величин

diml LM 0T 0 , dim LM 0T 1 ,

dim L 3MT 0

являются независимыми между собой относительно основных величин системы LMT , поскольку определитель, составленный из показателей степеней,

23

Поскольку k 3 , то в соответствии со второй теоремой подобия количество критериев подобия будет равно I n k 8 .

Как известно, критерий подобия – это безразмерный комплекс. Первый критерий подобия будем искать в виде

где α, β, γ – показатели степеней, подлежащие определению. Очевидно, что

Приравнивая показатели степеней при одинаковых величинах в левой и правой частях последнего соотношения, находим систему уравнений для определения искомых показателей:

1 3 0,

0,0.

Отсюда следует: 1, 0, 0 . Подставляя найденные показатели степеней в выражение (2.1), получаем

πa al .

Аналогичным способом может быть найден второй критерий подобия:

b bl .

24

Следующий критерий подобия будем искать в виде

Для этого соотношения запишем уравнение размерностей

Аналогичным образом находятся остальные критерии подобия:

2 ,q lq2 ,l ,

l 2 ,e E2 .

25

В соответствии с первой теоремой подобия у подобных потоков критерии подобия численно одинаковы:

a al idem ,

b bl idem ,

p p idem ,

2

πτ τ idem ,

ρ 2

πq lq idem ,

2

πμ μ idem , lρ

πσ σ idem , lρ 2

πe E idem.

ρ 2

2.5. Физическое моделирование потока жидкости

Рассмотрим основные этапы разработки физической модели потока жидкости. Схема моделируемого потока представлена на рис. 2.1, а.

Физическая модель потока изображена на рис. 2.1, б.

1. Схематизация потока жидкости. Она заключается в выборе тех физических величин, которые необходимы для полного (в рамках решаемой задачи) описания потока. Пусть определяемыми величинами являются перепад давления между начальным и конечным сечениями трубы pн1 pн2 pн и скорость н в заданной точке.

26

а, следовательно, величины dн , н , ρн имеют независимые размер-

ности.

Список величин, характеризующих поток:

В первой круглой скобке – основные величины, во второй – производные.

3. Установление подобия рассматриваемых потоков. Для этого необходимо потребовать пропорциональность сходственных параметров объекта и модели, а также равенство критериев подобия.

Сходственные параметры – это одноименные параметры, принадлежащие моделируемому объекту (имеют нижний индекс «н») и модели (нижний индекс «м»).

Воспользовавшись списком параметров (2.2), найдем критерии подобия. Согласно второй теореме подобия количество критериев равно трем. Для простоты нижние индексы при рассматриваемых величинах пока опустим.

1. Критерий π1 :

Уравнение размерностей

L0M 0T 0 L3γ α β 1M1 γT β 2 .

Уравнения для определения показателей степени

3γ α β 1 0,

1 γ 0,

β 2 0.

Отсюда: α 0, β 2, γ 1 . Подставляя эти значения в (2.3), получаем

π1 p idem.

2

28

2. Критерий π2 :

Уравнение размерностей

L0M 0T 0 L1 α β 3γ M γT β .

Уравнения для определения показателей степени

1 α β 3γ 0,

γ 0,

β 0.

Отсюда: α 1, β 0, γ 0. Подставляя эти значения в (2.4), находим

π2 dl idem.

3. Критерий π3 :

Уравнение размерностей

L0M 0T 0 L3γ α β 1M1 γT β 1 .

Уравнения для показателей степени

3γ β 1 0, 1 γ 0,

β 1 0.

Отсюда следует: 1, 1, 1. Подставляя найденные значения показателей степеней в формулу (2.5), получаем

29

Введем масштабные коэффициенты, устанавливающие пропорциональность сходственных параметров:

Выразим параметры моделируемого потока через параметры модели и масштабные коэффициенты (2.6):

Критерии подобия 1, 2 , 3 представим в виде

Подставим соотношения (2.7) в (2.8). В результате получаем

Для выполнения равенств (2.9) необходимо, чтобы комплексы из масштабных коэффициентов были равны единице:

30