книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов

Уравнение вынужденных колебаний системы имеет вид

внешняя вынуждающая сила, Н ; t – время, с.

Механической системе поставим в соответствие две дуальные

R

Рис. 3.6

Используя законы Кирхгофа, получим уравнения, описывающие колебательные процессы в этих контурах.

Первая система электромеханических аналогий (контур-

ная аналогия). Для последовательного замкнутого контура можно записать

51

Рис. 3.7

Напряжения на элементах контура определяются по формулам:

Сравнивая уравнения (3.35) и (3.32), находим, что они аналогичны. Поэтому последовательный контур является электрической моделью-аналогом рассматриваемой механической системы.

Между параметрами механической системы и ее электрической моделью можно установить следующие соответствия:

52

Эти соответствия характеризуют первую систему электромеха-

нических аналогий (контурную аналогию). Следует заметить, что здесь существует прямая аналогия, т.е. каждому элементу механической системы соответствует свой элемент-аналог электрической модели.

Рассмотрим подобие между механической системой и ее электрической моделью. Введем масштабные коэффициенты, устанавливающие пропорциональность аналогичных параметров:

Поскольку скорости протекания механического и электрического процессов различны, то необходимо принять масштабный коэффициент по времени:

Выразим механические величины через электрические и масштабные коэффициенты (3.36) и (3.37):

Для тождественности уравнений (3.35) и (3.39), а значит для подобия механической системы и электрической модели, необходимо, чтобы выполнялись индикаторы подобия:

На шесть масштабных коэффициентов (3.36) и (3.37) наложено три условия (3.40). Поэтому три масштабных коэффициента будут независимыми. Их можно выбрать, исходя из возможностей электрической модели, а остальные определить из индикаторов подобия.

масштабные коэффициенты можно найти по формулам:

Вторая система электромеханических аналогий (узловая аналогия). Токи через элементы-аналоги (см. рис. 3.7) связаны с напряжением u следующими соотношениями:

где I – ток, вырабатываемый задающим генератором тока.

Подставим выражения (3.41) в уравнение (3.42). В результате получаем

τ

Величина udτ ψ – это потокосцепление. В новой перемен-

0

ной уравнение (3.43) примет вид

54

Уравнения (3.32) и (3.44) аналогичны. Параллельный контур является моделью-аналогом рассматриваемой механической системы.

Здесь справедливы следующие соответствия параметров:

которые характеризуют вторую систему электромеханических ана-

логий (узловую аналогию). Каждому механическому элементу соответствует свой электрический элемент-аналог. Это обстоятельство значительно упрощает построение электрической модели. Электрическую модель можно построить по схеме механической системы, минуя этап составления уравнений [15].

Примем следующие масштабные коэффициенты:

Индикаторы подобия будут иметь следующий вид:

При построении электрической модели-аналога могут быть заданы следующие масштабные коэффициенты:

Для остальных коэффициентов справедливы формулы:

По результатам измерений в электрической модели с помощью масштабных коэффициентов находят соответствующие механические величины.

55

4.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

ОМАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

4.1.Этапы математического моделирования

Исследования, проводимые с помощью математического моделирования, включают в себя следующие этапы [1]:

1.Постановка задачи. Формулируются цель и задача исследования, уточняются исходные данные. Кратко этот этап можно охарактеризовать словами: что дано, что требуется найти.

2.Разработка расчетной схемы.

3.Составление математической модели.

4.Идентификация параметров математической модели.

5.Выбор метода решения задачи.

6.Решение задачи.

7.Анализ и интерпретация результатов решения. Важнейшими этапами, связанными с построением математи-

ческой модели, являются этапы 2, 3 и 4, так как достоверность полученного результата определяется именно этими этапами.

Рассмотрим более подробно содержание указанных этапов.

4.2.Разработка расчетных схем

Кразработке расчетной схемы приступают после формулировки цели исследования (расчета). Расчетная схема необходима для получения математической модели исследуемого объекта.

Расчетная схема – это умозрительная физическая модель объекта, которая изображается графически и отражает совокупность существенных в рамках решаемой задачи свойств объекта.

Разработка расчетной схемы – процедура неформальная. Она требует не только необходимых математических и прикладных знаний, опыта, но и вкуса, интуиции и чувства соразмерности [1].

При составлении расчетной схемы важно выделить совокупность существенных для решаемой задачи свойств объекта и пренебречь несущественными. Это связано с принятием и обосновани-

56

ем допущений, установлением определяющих параметров. Здесь необходимо опираться на апробированные расчетные схемы подобных устройств, а также на общепринятые допущения, проверенные практикой и не противоречащие основным физическим законам.

4.3. Составление математической модели

Математическая модель – это совокупность математических соотношений, описывающих процессы, происходящие в объекте исследования. Составляется математическая модель на основе расчетной схемы. Эта процедура также является неформальной, требует математических знаний и понимания предметной области.

Математическая модель должна быть достаточно простой, наглядной и допускать применение для описания и анализа существующих математических методов. Кроме того, она должна быть адекватна объекту относительно выбранных параметров. Под адекватностью понимается:

правильное качественное описание объекта по принятым характеристикам (правильный вывод о затухании колебаний, устойчивости движения и т.п.);

правильное количественное описание объекта по принятым характеристикам с некоторой разумной степенью точности.

Обычно говорят о степени адекватности модели, понимая под этим долю истинности модели относительно выбранной характеристики объекта. Проверка адекватности модели представляет собой достаточно сложную задачу. Однако существуют простые правила контроля адекватности модели [1]:

контроль размерностей;

контроль порядков (оценка порядков складываемых величин: выделяются основные слагаемые и уточняющие, а явно малозаметные можно отбросить);

контроль характера зависимостей (контроль направления

искорости изменения одних величин при изменении других, которые должны соответствовать физическому смыслу задачи);

57

контроль экстремальных ситуаций, в которых задача вырождается и упрощается, приобретает более наглядный физический смысл;

контроль граничных условий, вытекающих из физического смысла задачи;

контроль математической замкнутости – проверка того, что выписанные математические соотношения дают возможность, и притом однозначную, решить поставленную математическую задачу;

контроль физического смысла – проверка физического содержания промежуточных соотношений, появляющихся по мере конструирования модели;

контроль соответствия результатов основным физическим законам (КПД не может быть больше 1, вероятность события не может быть больше 1 и т.п.).

4.4. Идентификация математической модели

Идентификация математической модели – это установление тождественности между реальным объектом, представленным совокупностью экспериментальных данных, и его математической моделью (идентификация – от лат. identifico – отождествляю: установление совпадения чего-либо с чем-либо).

Различают структурную и параметрическую идентификацию математической модели.

Структурная идентификация – установление тождественности путем подбора структуры математической модели и ее параметров.

Параметрическая идентификация – установление тождест-

венности математической модели при заданной структуре. Это наиболее распространенная задача. Она возникает после разработки математической модели объекта и заключается в определении ее параметров, т.е. коэффициентов, входящих в уравнения, по экспериментальным данным о свойствах реального объекта.

Методы идентификации математических моделей достаточно подробно описаны в соответствующей литературе [5].

58

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математи-

ки. – М.: Наука, 1983. – 328 с.

2.Бурдин Г.Д. Справочник по международной системе единиц. – Изд. 2-е, доп. – М.: Изд-во стандартов, 1977. – 232 с.

3.Веников В.А. Теория подобия и моделирования: учеб. пособие. – 3-е изд., доп. и перераб. – М.: Высшая школа, 1984. – 439 с.

4.Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: учеб. – М.: Машиностроение, 1987. – 440 с.

5.Иванов В.Н. Идентификация механических систем: учеб. пособие / Перм. ун-т. – Пермь, 2010. – 125 с.

6.Картвелишвили Н.А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических систем. – М.: Наука, 1976. – 272 с.

7.Лабутин А.А. Краткие сведения о Международной системе единиц измерений (СИ). – Киев: Вища школа, 1975. – 88 с.

8.Новиков И.И., Боришанский В.М. Теория подобия в термодинамике и теплопередаче. – М.: Атомиздат, 1979. – 224 с.

11.Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика: учеб. для вузов / под ред. Д.Н. Попова. – 2-е изд., стер. – М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 384 с.

12.Разоренов Г.И. Выбор масштабов при моделировании. –

М.: Сов. радио, 1973. – 160 с.

13.Руднев С.С. Конспект лекций по курсу «Гидродинамика». – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1977. – 48 с.

14.Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. –

М.: Наука, 1981. – 448 с.

15.Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерно-

сти. – М.: Наука, 1977. – 335 с.

16.Теория подобия и тепловое моделирование / под ред. Г.Н. Кружилина. – М.: Наука, 1987. – 162 с.

17.Тетельбаум И.М., Тетельбаум Я.И. Модели прямой анало-

гии. – М.: Наука, 1979. – 384 с.

18.Чертов А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы): справ. пособие. – М.: Высшая школа, 1990. – 335 с.

59

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Определение размерности и единиц измерения ФВ, используемых в гидравлике (гидромеханике)

Пусть формула для ФВ имеет вид

y f x1, x2 , x3 ,... ,

где x1, x2 , x3 – определяющие величины; y – определяемая величина.

Тогда размерность и единица производной величины может быть найдена следующим образом:

dim y f dim x1, dim x2 , dim x3 ,... ,

y f x1 , x2 , x3 ,... .

Примеры нахождения размерностей и единиц физических величин, используемых в гидравлике

60