книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов

Формула верна.

71

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Условие независимости размерностей физических величин

В качестве основных физических величин при описании механических систем не обязательно принимать основные величины системы LMT . Могут быть приняты другие физические величины, характерные для рассматриваемого явления, но они должны обладать независимыми между собой размерностями относительно основных величин системы LMT . Это означает, что формула размерности любой из этих величин не может быть представлена как комбинация формул размерности двух других [4, 17].

Физические величины A, B, C имеют независимые размерности

dim A L A M A T A , dim B L B M B T B , dim C L C M C T C ,

если определитель, составленный из показателей степеней в формулах размерности этих величин, отличен от нуля:

Примеры. Проверить независимость размерностей следующих физических величин, принимаемых в качестве основных.

1. Физические величины: m – масса, k – коэффициент жесткости упругого элемента, x – перемещение.

Запишем формулы размерности указанных величин:

dim m L0 MT 0 , dim k L0 MT 2 , dim x LM 0T 0 .

72

Из показателей степени составим определитель:

быть использованы в качестве основных величин.

3. Совокупность величин: – плотность, S – площадь, υ –

скорость.

Формулы размерности величин:

dim S L2 M 0T 0 , dim υ LM 0T 1, dim ρ L 3MT 0 .

Определитель из показателей степеней

73

отличен от нуля. Величины ρ, S, имеют независимые размерности. 4. Рассмотрим набор физических величин: l – длина, m –

масса, g – ускорение свободного падения. Формулы размерности физических величин:

отличен от нуля. Величины l, m, g имеют независимые размерности и могут быть приняты в качестве основных величин.

74

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Установление функциональной связи между физическими величинами, описывающими процесс

При постановке экспериментов, построении моделей часто бывает полезным предварительно установить функциональную связь между параметрами, определяющими процесс.

Если известны ФВ, характеризующие некоторый процесс (эти величины обладают независимыми размерностями, а их число равно числу основных величин в системе LMT ), то методом сравнения размерностей можно с точностью до постоянного множителя найти уравнение, отражающее связь этих величин между собой [14, 15].

Пример 1. Установить зависимость периода свободных колебаний математического маятника от его параметров (рис. П4.1).

g

l

m

Рис. П4.1

Маятник характеризуется длиной l и массой груза m . Колебания происходят в поле сил тяжести. Его характеристика – ускорение свободного падения g . Указанные величины обладают незави-

симыми между собой размерностями: diml LM 0T 0 ; dim m L0 MT 0 ;

dim g LM 0T 2 .

75

Их количество равно трем, т.е. числу основных величин системы LMT .

Определитель, составленный из показателей степеней величин, входящих в формулы размерности:

Это свидетельствует о независимости размерностей рассматриваемых физических величин.

Следовательно, период свободных колебаний маятника можно представить алгебраической функцией вида

f l, m, g .

Величины l, m, g входят в эту функцию с показателями, , , а сама функция имеет вид степенного одночлена:

где C – безразмерный, неопределяемый коэффициент пропорциональности; , , – подлежащие определению показатели степени.

Составим уравнение размерностей, выражающее равенство размерностей левой и правой частей соотношения (П4.1). Так как

dim T, diml L, dim m M , dim g LT -2 ,

то можно записать:

T L M LT 2

или

L0M 0T1 L M T 2 .

Сравнивая соответствующие показатели размерностей левой и правой частей этого равенства, получаем систему уравнений:

76

2 1,

0,

0.

Отсюда: 12 , 0, 12 . Подставляя найденные значения показателей в формулу (П4.1), находим

Значение коэффициента C может быть найдено из опыта (эксперимента).

Из решения дифференциального уравнения движения математического маятника известно, что

C2 .

Витоге получаем известную формулу для определения периода свободных колебаний маятника:

2 gl .

Пример 2. Определить период свободных колебаний одномассовой системы как функцию от ее параметров: жесткости и массы

(рис. П4.2).

k

m

x

Рис. П4.2

77

Свободные колебания системы определяются следующими параметрами: m – массой, k – жесткостью и x – перемещением массы относительно положения статического равновесия. Период свободных колебаний, в общем случае, зависит от массы m , жесткости k и перемещения x :

f m, k, x .

Можно показать, что величины m, k, x обладают независимыми размерностями

dim m L0MT 0 , dim k L0MT 2 , dim x LM 0T 0 ,

так как определитель

затели степени, подлежащие определению.

Левая и правая части этого равенства должны иметь одинаковую размерность. Поскольку dim T, dim m M , dim k MT 2 , dim x L , то получаем

L0M 0T L M T 2 .

Сравнивая показатели степени при соответствующих размерностях левой и правой частей равенства, находим

78

0,

0,2 1.

Отсюда 12 , 12 , 0 . Подставляя найденные значения показателей в выражение (П4.2), имеем

Из решения уравнений движения системы известно: C 2 . Окончательно

2 mk .

Пример 3. Определить период свободных колебаний поплавка в жидкости (рис. П4.3).

поплавок

g

h

Рис. П4.3

Определяющие параметры: – плотность жидкости; h – глу-

бина погружения поплавка; g – ускорение свободного падения. Определяемый параметр: τ – период свободных колебаний.

Величины h, , g имеют независимые размерности

79

dim h LM 0T 0 , dim L 3MT 0 , dim g LM 0T 2 ,

так как определитель

dim h L, dim g LT 2 , то уравнение размерностей имеет вид

L0 M 0T1 ML 3 L LT 2 L 3 M T 2 .

Уравнения для определения показателей степени. Сравнивая показатели степени при соответствующих размерностях, находим

3 0,0,2 1.

Отсюда 0, 12 , 12 .

Подставим эти значения в выражение (П4.3). В результате получим

80