книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов

Пример 4. Определить зависимость времени истечения жидкости из сосуда от его параметров (рис. П4.4). Определяющие пара-

S2

Рис. П4.4

Размерности величин g, h, :

dim g LM 0T 2 , dim h LM 0T 0 , dim L 3MT 0

81

являются независимыми, так как определитель

и обратно пропорционально S2 . Тогда можно принять для рассмотрения следующую функциональную зависимость:

T LT 2 L L 3M L 3 M T 2 .

Отсюда

3 0,0,2 1.

Решение этой системы дает: 12 , 12 , 0 .

Подставляя найденные значения показателей соответствующих размерностей в выражение (П4.4), находим

Точное решение задачи дает C 2 . Заметим, что при отсутствии точного решения величина C может быть определена экспериментальным путем.

82

Окончательно

Пример 5. Установить функциональную связь силы F давления струи на стенку с параметрами: S – площадь сечения насадка;– скорость истечения жидкости из насадка (скорость струи) (рис. П4.5).

струя

S

Рис. П4.5

Определяющие параметры: , S, . Определяемый пара-

метр – F . Величины , S, имеют независимые размерности

Функциональную зависимость будем искать в виде степенного одночлена

83

Отсюда

1,3 2 1,

2.

Тогда

α 1, β 1, γ 2.

Подставляя найденные показатели в формулу (П4.5), находим

F C 1S1 2 C S 2 .

Известно, что C 1 . Окончательно F S 2 .

Пример 6. Установить зависимость избыточного давления pизб в покоящейся жидкости в заданной точке от глубины этой точки под свободной поверхностью. Жидкость имеет плотность и находится в поле сил тяжести, которое характеризуется ускорением свободного падения g (рис. П4.6).

Избыточное давление pизб – определяемая величина. Величины ρ, g, h – определяющие величины, которые должны иметь неза-

висимые размерности, а их число должно быть равно числу основных единиц в системе LMT .

84

p0 g

h

pизб

Рис. П4.6

Размерности величин

dim ρ L 3MT 0 , dim g LM 0T 2 , dim L LM 0T 0 ,

являются независимыми, так как определитель, составленный из показателей степени, не равен нулю:

Связь между рассматриваемыми величинами можно представить в виде степенного одночлена

где C – безразмерный неопределяемый коэффициент пропорциональности; α, β, γ – показатели степени, подлежащие определению.

Составим уравнение размерностей

dim pизб dim g h

или

L 1MT 2 L 3M LT 2 L

85

или

L 1MT 2 L 3 M T 2 .

Из последнего уравнения следует система уравнений для определения показателей степени

3 1,1,2 2.

Решая эти уравнения, находим: 1, 1, 1.

Подставляя полученные значения в выражение (П4.6), получаем

pизб C ρgh.

Из гидростатики известно, что C 1 . Тогда окончательно

pизб ρgh.

Следует заметить, что коэффициент C может быть определен опытным путем.

86

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Составление критериальных уравнений

Порядок составления критериального уравнения

Составление критериального уравнения включает следующие этапы.

1. Составляется список параметров системы, например:

m, b, к, x, P0 , t, τ ,

который в рамках решаемой задачи должен обладать свойством полноты. Далее из этого списка выделяются основные величины,

имеющие независимые размерности m, к, x . Остальные величины будут производными b, P0 , t, . Кратко список основных и производных величин можно представить в виде

m, к, x b, P0 , t, τ .

2.Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) определяет π-теорема: из общего числа размерных величин, определяющих процесс, необходимо вычесть число основных величин, имеющих независимые размерности. В нашем случае число критериев подобия – четыре.

3.Для определения критериев подобия нужно каждую из про-

изводных величин b, P0 , t, τ поочередно разделить на произведение основных величин, возведенных в некоторые степени α, β, γ :

87

Далее для каждого из записанных соотношений составляется уравнение размерностей и определяются показатели степени α, β, γ ,

которые затем подставляются в исходные соотношения. Таким образом, получаются безразмерные комплексы – критерии подобия.

4. Записывается критериальное уравнение, выражающее в общем виде зависимость между критериями подобия:

φ π1, π2 , π3 , π4 0.

При необходимости критериальное уравнение может быть представлено в виде зависимости одного критерия от других, например:

π1 f π2 , π3 , π4 .

Примеры составления критериальных уравнений

Пример 1. Течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис. П5.1).

d

k

l

Рис. П5.1

Искомой величиной является перепад давления на трубе p .

Размерность перепада давления dim p L 1MT 2 . Параметры, определяющие процесс:

l – длина трубы, diml L;

88

d – диаметр трубы, dimd L;

– средняя скорость движения жидкости, dim LT 1 ;

ρ– плотность жидкости, dim L 3M ;

μ – динамическая вязкость, dim L 1MT 1;

k – высота выступа шероховатости, dimk L. 1. Список параметров рассматриваемой системы:

p, l, d, , , , k .

Величины d, , имеют независимые размерности:

Поэтому список основных и производных величин примет вид

d, , , p, l, , k .

2.Количество безразмерных комплексов (критериев подобия)

всоответствии с π-теоремой: 7 3 4 .

3.Определение критериев подобия.

Критерий π1 :

Отсюда получаем систему уравнений для определения показателей степени

3 1 0, 1 0,

2 0.

Решение этих уравнений дает: 0, 2, 1.

Подставляя полученные значения показателей степени в формулу (П5.1), находим

1 p .υ2

Критерий 2 ищем в виде

2 d υl .

Уравнение размерностей

1 3 0,0,

0.

Показатели степени α 1, β 0, γ 0 .

С учетом найденных значений показателей степени критерий2 принимает вид

2 dl .

90