книги / Гидравлика

Вертикальная координата точки z отсчитывается от горизонтальной плоскости, которая называется плоскостью сравнения. Ее след на рисунке – линия 0 – 0.

С изменением положения точки в жидкости изменяется гидростатическое давление в ней. При этом сумма p +ρgz оста-

ется одинаковой для всех точек в пределах занимаемого объема. Поэтому можно записать

↑ z ↓ p, ↓ z ↑ p.

Если взять две точки 1 и 2, то для них будет справедливо равенство

p1 +ρgz1 = p2 +ρgz2.

2.3.2. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим сосуд с жидкостью (рис. 2.5). В жидкости выберем две точки. Первую – произвольно, ей соответствуют давление p и координата z. Вторую – на свободной поверхности СП (поверхности раздела жидкости и газовой среды), ей соответствуют давление p0 и координата z0.

Рис. 2.5

31

Обычно величины z0 , p0 и z являются известными. Требу-

ется найти давление p. Для этого воспользуемся гидростатическим законом распределения давления и запишем его для выбранных точек:

p +ρgz = p0 +ρgz0.

Разрешив полученное соотношение относительно величи-

ны p, приходим к основному уравнению гидростатики:

h = z0 − z; отсчитывается от свободной поверхности вниз. Следует заметить, что каково бы ни было удаление плоско-

сти сравнения от сосуда, разность координат z0 − z всегда равна

глубине h. Поэтому положение плоскости сравнения может вы-

бираться произвольно.

Анализ основного уравнения гидростатики (2.9) позволяет установить следующее:

1.Гидростатическое давление является линейной функцией глубины h и не зависит от размеров и формы сосуда, в котором находится жидкость. Параметры сосуда не входят в уравнение

(2.10).

2.Давление в любой точке покоящейся жидкости склады-

вается из давления на свободной поверхности p0 и давления ρgh, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

2.4. Уравнение поверхностей равного давления

Поверхность, в каждой точке которой давление имеет одно и то же значение, называется поверхностью равного давления.

32

Так как на поверхности равного давления p = const, то полный дифференциал давления dp = 0. Тогда из выражения (2.7)

в силу того, что ρ ≠ 0 следует уравнение поверхностей равного

Найдем уравнение поверхностей равного давления для однородной несжимаемой жидкости, находящейся в поле сил тяжести. В этом случае проекции единичной массовой силы

X = 0, Y = 0, Z = −g.

Подставляя указанные значения в уравнение (2.11), находим

−gdz = 0.

Так как g ≠ 0, то dz = 0. Отсюда следует, что z = const.

Это уравнение горизонтальной плоскости. Таким образом, лю-

бая горизонтальная плоскость, проходящая через однородную покоящуюся жидкость, есть плоскость равного давления.

2.5. Приложения гидростатического закона распределения давления и основного уравнения гидростатики

2.5.1. Закон Паскаля

Рассмотрим сосуд с однородной несжимаемой жидкостью (рис. 2.6). В покоящейся жидкости произвольно выберем две точки 1 и 2.

Рис. 2.6

33

Принимая во внимание гидростатический закон распределения давления (2.8), для этих точек можно записать

Предположим, что давление в точке 1 изменилось на величину ∆p1 :

p1 → p1 +∆p1.

Тогда давление в точке 2 должно измениться на некоторую величину ∆p2 (пока неизвестную):

p2 → p2 +∆p2.

Будем полагать, что равновесие жидкости при этом не нарушается (жидкость остается в покое). Определим, как связаны приращения давлений в рассматриваемых точках.

В соответствии с гидростатическим законом распределения давления равенство (2.12) должно выполняться и при измененных давлениях, т.е.

( p1 +∆p1 ) +ρgz1 = ( p2 +∆p2 ) +ρgz2 .

Очевидно, что равенство выполняется при условии

∆p1 = ∆p2.

Отсюда следует, что приращения давлений в рассматриваемых точках будут одинаковыми.

Поскольку точки были выбраны произвольно, то можно ут-

верждать, что изменение давления в какой-либо точке покоящейся однородной жидкости, не нарушающее ее равновесия, передается в пределах занимаемого объема всем ее точкам одинаково. Это есть закон Паскаля.

Закон Паскаля – это закон гидростатики. Применение его к движущейся жидкости без соответствующего обоснования является некорректным.

34

Классическим примером использования закона Паскаля может служить гидравлический пресс (рис. 2.7). Он содержит два цилиндра 1 и 2 с поршнями, соединенные трубопроводом. Первый поршень снабжен рычагом, а между вторым поршнем и жестким упором установлена заготовка.

Рис. 2.7

Будем полагать, что жидкость, заполняющая поршневые полости цилиндров и трубопровод, является однородной и несжимаемой. Уплотнения поршней идеальны. Деформация заготовки такова, что перемещения поршней, а следовательно, и жидкости пренебрежимо малы, т.е. жидкость в процессе прессования находится в покое.

Действие силы F1 на поршень 1 приводит к изменению

давления в жидкости на поверхности ее соприкосновения с поршнем:

∆p1 = F1 .

S1

По закону Паскаля это изменение давления в жидкости передается в пределах занимаемого объема всем ее точкам одинаково. В результате давление на поверхности поршня 2

∆p2 = ∆p1.

Поэтому для силы, действующей на заготовку, можно запи-

сать

35

F2 = S2∆p2 = S2 F1 = S2 F1. S1 S1

Так как S1 < S2 , то F2 > F1 . Получается выигрыш в силе

вS2 раз.

S1

2.5.2. Пьезометр

Это простейший прибор для измерения давления. Он представляет собой стеклянную трубку диаметром 5…12 мм, верхний конец которой сообщен с атмосферой, а нижний конец присоединен к сосуду в точке, где из-

меряется давление (рис. 2.8). Абсолютное давление в точке

А, лежащей на уровне присоединения пьезометра к сосуду, можно определить с помощью основного уравнения гидростатики:

рое создает столб жидкости в пьезометре. В этом заключается

принцип действия пьезометра, открытого в атмосферу.

Действительно,

pизб А = GSст = ρghSS =ρgh,

где Gст – вес жидкости в пьезометре;

36

h – высота столба;

S – площадь внутреннего сечения пьезометра. Из соотношения (2.13) следует

h = pρизбgА .

Между величинами h и pизб А существует взаимно одно-

значное соответствие. Поэтому высотой столба можно измерять избыточное давление в жидкости.

Высота подъема жидкости в пьезометре h, соответствующая избыточному давлению в точке его присоединения к сосуду, называется пьезометрической высотой. «Пьезометрическая» означает давление меряющая.

При малых давлениях высота столба измеряется в сантиметрах. Если в пьезометре находится вода, то давление, которое соответствует 1 см вод. ст.,

pизб А(h =1 см) =ρgh(h =1 см) =1000 9,81 1 10−2 = 98,1 Па.

2.5.3. Сообщающиеся сосуды

Рассмотрим два открытых сообщающихся сосуда, в которых находятся несмешивающиеся жидкости разной плотности

ρ1 и ρ2 (рис. 2.9).

Рис. 2.9

37

Через поверхность раздела этих жидкостей проведем плоскость сравнения. Эта плоскость одновременно является плоскостью равного давления. Поэтому давления в точках 1 и 2, лежащих в этой плоскости, будут одинаковыми p1 = p2 . Выразим

указанные давления с помощью основного уравнения гидростатики. Плоскость сравнения выбрана таким образом, что вертикальные координаты точек 1 и 2 равны нулю, т.е. z1 = 0, z2 = 0. В результате можно записать

p0 +ρ1gz01 = p0 +ρ2 gz02.

Отсюда

z01 = ρ2 . z02 ρ1

Уровни свободных поверхностей в сообщающихся сосудах относительно поверхности раздела разнородных жидкостей обратно пропорциональны их плотностям. Если жидкости имеют одинаковые плотности ρ1 = ρ2 , то координаты z01 = z02 , т.е. уровни свободных поверхностей в открытых сосудах с однородной жидкостью одинаковы.

2.5.4. Подъем жидкости поршнем

Цилиндр с поршнем помещен в сосуд с жидкостью (рис. 2.10). На свободную поверхность жидкости действует атмосферное давление pa . При перемещении поршня вверх объем

поршневой полости цилиндра увеличивается. Давление в жидкости под поршнем p уменьшается. Под действием разности

давлений pa − p жидкость поднимается за поршнем.

Положив, что поршень перемещается медленно и равновесие жидкости не нарушается, давление в жидкости под поршнем найдем с помощью основного уравнения гидростатики (2.10):

p = pa −ρgh.

38

Рис. 2.10

Точка, в которой определяется давление, лежит выше свободной поверхности жидкости в сосуде. Поэтому величина h является отрицательной.

С увеличением высоты подъема жидкости давление p снижается. Если оно достигнет давления насыщенных паров pн.п,

то под поршнем образуется полость с паром. Сплошность жидкости в цилиндре нарушается и ее подъем прекращается. По-

этому существует предельная высота подъема жидкости hпр = paρ−g p .

Для воды при атмосферном давлении pa =101,3 кПа и температуре 20 °С давление насыщенных паров pн.п = 2,4 103 Па. Тогда

39

2.5.5. Измерение уровня жидкости в резервуарах

Рассмотрим схему измерения уровня жидкости в резервуа-

рах (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Сжатый воздух по трубе подается к дну резервуара. Устойчивый барботаж (продавливание воздуха сквозь жидкость) возникает при условии равенства давления в жидкости на выходе из трубы p0 +ρgh и давления воздуха в трубе p, которое равно

сумме атмосферного давления pa и избыточного давления pизб,

измеряемого манометром.

Уровень жидкости в резервуаре находится по формуле

h = p − p0 = pизб + pa − p0 ,

ρg ρg

где p0 – абсолютное давление на свободной поверхности жидкости в резервуаре.

жидкости в резервуаре

40