книги / Гидравлика

Уравнения (4.7) – это дифференциальные уравнения установившегося движения идеальной жидкости под действием единичной массовой силы с проекциями X , Y , Z.

Впервые эти уравнения были получены Л. Эйлером в 1755 г. и опубликованы в трактате «Общие принципы движения жидкости».

4.2. Интеграл Бернулли

Детальное изучение движения жидкости с помощью уравнений (4.7) часто бывает затруднительным. Поэтому используют другой подход, не требующий отыскания решений уравнений (4.7). Он заключается в том, что путем преобразования уравнений движения находят величины, обладающие свойством сохранять постоянными свои значения во время движения жидкости, так называемые интегралы движения. Они выражают законы сохранения. Наиболее важным из них является закон сохранения механической энергии. Интеграл Бернулли, о котором пойдет речь, отражает закон сохранения механической энергии при установившемся движении идеальной жидкости вдоль линии тока.

Преобразование уравнений движения начнем с того, что первое уравнение системы (4.7) умножим на dx:

71

Так как ux = dxdt , uy = dydt , uz = dzdt , то последний член соотношения (4.8) можно представить следующим образом:

это полный дифференциал давления, определенный на линии

Рассмотрим движение жидкости в поле сил тяжести. В этом случае

X = 0, Y = 0, Z = −g.

Подставляя эти значения в уравнение (4.10), получаем

личина постоянная. Это утверждение известно под названием теоремы Бернулли.

73

Для другой линии тока численное значение постоянной может быть иным.

Величина

H = z + p + u2 ρg 2g

называется полным или гидродинамическим напором.

Напор – это удельная энергия жидкости, т.е. механическая энергия, отнесенная к единице веса (иначе – механическая энергия единицы веса жидкости).

Единица напора в СИ [Н] = 1 м. Покажем это:

[Н] = 11ДжН = 1 Н1 Н1 м = 1 м.

Полная удельная энергия жидкости, или полный напор, H складывается из удельной энергии положения или геометрического напора z, удельной энергии «давления» или пьезометри-

ческого напора ρpg и удельной кинетической энергии или ско-

ростного напора u2 . 2g

Сумма z + ρpg – это удельная потенциальная энергия жид-

кости или потенциальный напор (часто его называют гидростатическим, что не совсем корректно, поскольку рассматривается движущаяся, а не покоящаяся жидкость).

В соответствии с интегралом Бернулли (4.11) полная удельная механическая энергия является суммой удельной потенциальной и удельной кинетической энергий и сохраняет постоянное значение вдоль линии тока.

Удельные потенциальная и кинетическая энергии могут изменяться. Однако убыль одной из них в точности равна приращению другой.

74

Интеграл Бернулли выражает закон сохранения механической энергии при установившемся движении идеальной жидкости вдоль линии тока в поле сил тяжести.

Если геометрический напор незначителен по сравнению с пьезометрическим и скоростным (на практике так бывает часто):

z << p + u2 , ρg 2g

то интеграл Бернулли принимает вид

p + u2 = const вдоль линии тока.

ρg 2g

Интеграл Бернулли устанавливает важную связь между давлением и скоростью движения жидкости в любой точке на линии тока. С увеличением скорости давление понижается и, наоборот, с уменьшением скорости давление повышается:

↑u ↓ p, ↓u ↑ p.

4.3.Полный напор в живом сечении равномерного потока вязкой несжимаемой жидкости

Фрагмент равномерного потока вязкой несжимаемой жид-

кости представлен на рис. 4.2. Такая абстракция является наиболее близкой к реальной жидкости и поэтому вязкая несжимаемая жидкость часто именуется реальной жидкостью.

Выделим в потоке живое сечение. Для равномерного потока оно является плоским. Так как жидкость вязкая, то местные скорости в разных точках сечения будут различными. На стенке скорость равна нулю. Максимальное значение достигается в центре потока (см. примерную эпюру местных скоростей на рис. 4.2). Средняя по сечению скорость (см. подразд. 3.4)

75

υ = QS ,

где Q – объемный расход;

S – площадь живого сечения.

Рис. 4.2

Понятие полного напора в точке на линии тока (см. подразд. 4.2) может быть обобщено на плоское живое сечение потока вязкой несжимаемой жидкости.

В плоском сечении потока полный напор

где z – геометрический напор;

ρpg – пьезометрический напор;

αυ2 – скоростной напор; 2g

z + ρpg – потенциальный напор.

Нахождение полного напора в сложных живых сечениях потока (например, при неравномерном движении жидкости) представляет собой значительные трудности.

76

О величинах, входящих в выражение (4.12), необходимо сказать следующее:

•величина z отсчитывается от плоскости сравнения до центра тяжести сечения;

•давление p – это гидродинамическое давление в центре

тяжести сечения. Оно отличается от гидростатического тем, что учитывает и касательные напряжения в движущейся жидкости, возникающие за счет вязкости;

• величина α, входящая в выражение для скоростного напора, называется коэффициентом Кориолиса. Он учитывает неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока при переходе к средней скорости и равен отношению кинетической энергии, определенной по действительным местным скоростям, к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости.

Полная удельная энергия жидкости, проходящей через плоское сечение потока, складывается из удельной потенциаль-

В общем случае они изменяются, но приращение одной из них равно убыли другой.

Таким образом, в сечении потока с увеличением скорости давление падает и, наоборот, с уменьшением скорости давление повышается:

↑υ ↓ p, ↓ υ ↑ p.

4.4.Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости

Для вывода уравнения Бернулли в потоке вязкой несжимаемой жидкости выделим два плоских сечения 1-1 и 2-2 (рис. 4.3). Они находятся в областях с равномерным течением, которое возможно на прямолинейных цилиндрических участках

77

потока. Обозначим гидродинамические параметры в этих сечениях:

{z1, p1,υ1, H1} и {z2 , p2 ,υ2 , H2}.

Рис. 4.3

При движении жидкости силы внутреннего трения совершают работу и уменьшают полную удельную энергию потока. Убыль полной удельной энергии жидкости при ее перемещении от сечения 1-1 к сечению 2-2 равна удельной работе сил трения на том же перемещении:

h1−2 – работа сил трения при перемещении жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2, отнесенная к единице веса жидкости.

Величину h1−2 называют потерями напора при движении вязкой жидкости между указанными сечениями потока.

78

Раскрыв полные напоры по формуле (4.12), получим

Уравнение (4.15) – это уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости. Оно выражает закон изменения полной удельной механической энергии жидкости при движении от сечения 1-1 к сечению 2-2 и позволяет установить связь между вертикальными координатами, давлениями и скоростями в центрах тяжести выбранных сечений потока.

Соотношение (4.13) – краткая форма уравнения Бернулли. Напоры измеряются в единицах длины, поэтому их можно

интерпретировать как некие высоты, а именно: z – геометрическая или нивелирная высота;

ρpg – пьезометрическая высота;

αυ2 – скоростная высота; 2g

z + ρpg – потенциальная (гидростатическая) высота;

z + p + αυ2 = H – полная высота;

ρg 2g

h1−2 – потерянная высота.

Если умножить слагаемые уравнения (4.15) на ρg, то полу-

чим уравнение Бернулли, каждое слагаемое которого представляет собой энергию, отнесенную к единице объема, и имеет размерность и физический смысл давления:

79

где ρgz – весовое давление в центрах тяжести сечений;

p – гидродинамическое давление в центрах тяжести сече-

ний;

ραυ2 2 – скоростное давление в сечениях;

ρgh1−2 – потери давления на участке потока между выде-

ленными сечениями.

При решении задач на применение уравнения Бернулли необходимо придерживаться следующих рекомендаций.

Уравнение Бернулли записывается для двух сечений по ходу потока. Они выбираются в областях с равномерным или плавноизменяющимся движением жидкости. Между выбранными сечениями движение может быть любым (например, неравномерным, как показано на рис. 4.3).

Вуравнении давления могут быть как избыточными, так

иабсолютными.

С целью сокращения числа неизвестных величин в качестве сечений следует брать:

•свободную поверхность, где скорость равна нулю;

•выход в атмосферу, где абсолютное давление равно атмосферному, а избыточное – нулю;

•сечение, к которому присоединен манометр или пьезо-

метр.

Плоскость сравнения иногда удобно проводить через центр тяжести одного из выбранных сечений. Для этого сечения геометрический напор (высота) будет равен нулю.

При необходимости уравнение Бернулли может быть дополнено уравнением неразрывности, записанным для выбранных сечений.

80