книги / Гидравлика

2.8.1. Относительный покой жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно

Рассмотрим частично заполненный жидкостью сосуд, который перемещается горизонтально и прямолинейно с постоянным ускорением a. С сосудом свяжем относительную систему координат 0xyz (рис. 2.17).

Рис. 2.17

Чтобы воспользоваться соотношениями (2.11) и (2.7), необходимо к действующей силе тяжести добавить переносную силу инерции, направленную в сторону, противоположную ускорению сосуда a. Тогда в произвольно выбранной точке А на жидкость будут действовать ускорение свободного падения g и переносное ускорение, равное ускорению сосуда, взятому с противоположным знаком –a. В этом случае для проекций равнодействующей единичных массовых сил j можно записать:

Уравнение поверхностей равного давления. Подставим соотношение (2.14) в уравнение (2.11):

−adx − gdz = 0,

51

отсюда получим

где C – постоянная интегрирования.

Уравнение (2.15) – это уравнение поверхностей равного давления в жидкости в сосуде, движущемся горизонтально, прямолинейно и равноускоренно. Оно дает семейство плоскостей, наклонных к осям x и z и параллельных оси y.

Свободная поверхность является одной из поверхностей равного давления. Найдем ее уравнение. Для этого необходимо определить постоянную С, которая из бесконечной совокупности плоскостей равного давления выделяет свободную поверхность. Пусть свободная поверхность проходит через точку с координатами (см. рис. 2.16)

Подставим значения координат (2.16) в уравнение (2.15):

z0 = − ag 0 +C.

Отсюда находим постоянную интегрирования:

C= z0.

Сучетом найденного значения С из уравнения (2.15) полу-

чаем уравнение свободной поверхности

52

где ag = tg α – угловой коэффициент.

Построим след свободной поверхности. Из точки x = 0, z = z0 проведем прямую под углом −α к горизонтальной оси x.

Вектор j должен быть перпендикулярен к этой прямой.

С увеличением ускорения сосуда наклон свободной поверхности увеличивается. При a = 0 уравнение (2.17) превращается в уравнение горизонтальной плоскости

z = z0 ,

что соответствует случаю абсолютного покоя.

Величина z0 определяется из условия равенства объемов

жидкости в сосуде при абсолютном и относительном покоях.

Давление в произвольной точке. Обратимся к выраже-

нию (2.7) и подставим в него проекции равнодействующей единичных массовых сил (2.14):

dp = −ρadx −ρgdz.

После интегрирования находим

где C – постоянная интегрирования.

Определим постоянную C, выразив ее через известные величины на свободной поверхности:

где p0 – давление на свободной поверхности.

Для этого подставим соотношения (2.19) в выражение

(2.18):

p0 = −ρgz0 +C,

отсюда

C = p0 +ρgz0.

53

После подстановки найденного значения постоянной интегрирования в формулу (2.18) для давления в произвольной точке жидкости в рассматриваемом сосуде получаем

p = p0 +ρg (z0 − z) −ρax.

Слагаемое ρax характеризует отрицательную добавку

к гидростатическому давлению в жидкости за счет горизонтального прямолинейного равноускоренного движения сосуда.

2.8.2. Относительный покой жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси

с постоянной угловой скоростью

Пусть цилиндрический сосуд, частично заполненный жидкостью, приводится во вращение вокруг центральной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (рис. 2.18).

Рис. 2.18

54

Под действием сил трения жидкость увлекается стенками сосуда и через некоторое время они вращаются с сосудом как одно целое. Наступает относительный покой жидкости во вращающемся сосуде. Он наблюдается в относительной системе координат 0xyz, жестко связанной с сосудом и вращающейся

вместе с ним.

Как и в предыдущем случае (подразд. 2.8.1), задачу об относительном покое будем рассматривать как задачу абсолютного покоя, добавив к действующей на жидкость силе тяжести переносную силу инерции. Здесь переносной силой инерции является центробежная сила. Тогда в произвольной точке А к жидкости будет приложено ускорение свободного падения g

и центробежное ускорение ω2r.

Для проекций равнодействующей единичных массовых сил j можно записать

где C – постоянная интегрирования.

Уравнение (2.21) – это уравнение поверхностей равного давления. Оно дает семейство конгруэнтных (совмещающихся при наложении) параболоидов вращения. Легко заметить, что сечение вертикальными плоскостями приводит к семейству па-

55

рабол, а сечение горизонтальными плоскостями – к семейству окружностей.

Пусть параболоид вращения с вершиной в точке

является параболоидом свободной поверхности.

Величина z0 зависит от объема жидкости в сосуде и угло-

вой скорости. Используя значения координат вершины параболоида свободной поверхности (2.22), с помощью (2.21) определим постоянную интегрирования:

C = −gz0.

Затем из соотношения (2.21) найдем уравнение свободной поверхности

Давление в произвольной точке жидкости. Подставим проекции равнодействующей единичных массовых сил (2.20) в выражение (2.7):

dp =ρ(ω2 xdx +ω2 ydy − gz).

После интегрирования находим

рис. 2.17). Тогда постоянную интегрирования C можно найти из выражения (2.24), положив в нем:

x = 0, y = 0, z = z0 , p = p0.

56

В результате получаем

C = p0 +ρgz0.

Подставив найденное значение C в соотношение (2.24), находим

p = p0 +ρg (z0 − z) +ρω22 (x2 + y2 ).

Это выражение позволяет определить давление в любой точке жидкости в сосуде, вращающемся с постоянной угловой

скоростью. Слагаемое ρω22 (x2 + y2 ) представляет собой добав-

ку к гидростатическому давлению за счет вращения сосуда.

57

3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ

Кинематика жидкости – это раздел гидравлики, в котором изучается движение жидкости независимо от действия сил, т.е. причин, вызывающих его.

3.1. Виды движения жидкости

Рассмотрим движение жидкости в пространстве, ограниченном твердыми поверхностями. С этим пространством свяжем неподвижную прямоугольную (декартову) систему координат

0xyz (рис. 3.1).

Рис. 3.1

В жидкости выберем точку А с координатами x, y, z.

Скорость жидкости в заданной точке пространства называется местной скоростью. Она является непрерывной функцией координат точки и времени. Величина векторная, она может быть представлена совокупностью проекций на соответствующие оси координат:

u = u(x, y, z,t) = {ux (x, y, z,t),uy (x, y, z,t),uz (x, y, z,t)}.

58

Задача кинематики жидкости заключается в определении скоростей движения в различных точках пространства, т.е. в на-

хождении поля местных скоростей.

По характеру изменения поля скоростей во времени движение жидкости подразделяется на неустановившееся и установившееся.

Неустановившееся, или нестационарное движение – это движение жидкости с изменяющимися во времени местными скоростями. Если скорость u меняется во времени, то существуют не равные нулю производные:

Это есть условие нестационарности движения жидкости.

Примеры неустановившегося движения:

1)быстрое опорожнение сосуда через отверстие в дне;

2)движение жидкости во всасывающем и нагнетающем трубопроводах поршневого насоса.

Установившееся, или стационарное движение – это движе-

ние жидкости с неизменными во времени местными скоростями. Условие стационарности движения жидкости выражается равенством нулю производных:

При этом местная скорость зависит только от координат точки, т.е.

u = u(x, y, z).

Примеры установившегося движения:

1)истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается заданный уровень;

2)движение жидкости во всасывающем и нагнетающем трубопроводах центробежного насоса при постоянной частоте вращения вала.

59

По характеру изменения поля скоростей в пространстве установившееся движение жидкости может быть неравномерным,

равномерным и плавноизменяющимся.

При неравномерном движении местные скорости меняются в пространстве по величине и направлению. Это установившееся движение в местах деформации потока – движение через местные сопротивления.

При равномерном движении местные скорости неизменны во всех точках пространства. Это установившееся движение жидкости в прямолинейном цилиндрическом трубопроводе.

Плавноизменяющееся движение характеризуется плавным изменением поля скоростей в пространстве. К нему применимы законы равномерного движения. Пример: плавный поворот установившегося потока.

3.2. Струйная модель движущейся жидкости

Как известно, основной задачей гидравлики является расчет параметров движения жидкости по трубам и каналам. В этом случае преобладающим является поступательное движение.

При изучении поступательного движения используется струйная модель жидкости. Элементами этой модели являются

линии тока, трубки тока и элементарные струйки.

Линия тока – это линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости совпадает с касательной к этой линии (рис. 3.2).

Рис. 3.2

60