книги / Гидравлика

4.5. Уравнение изменения импульса объема жидкости

Рассмотрим стационарный поток несжимаемой жидкости (рис. 4.4). В потоке выделим отсек – это часть потока между сечениями 1-1 и 2-2. Сечения проходят через области с равномерным течением жидкости. Средние скорости в торцевых сечениях отсека обозначим υ1 и υ2. При этом влиянием неравномерно-

сти распределения местных скоростей в сечениях потока на импульс жидкости в отсеке будем пренебрегать.

υ2

υ1

Рис. 4.4

На жидкость, проходящую через отсек, в общем случае могут действовать следующие внешние силы:

•силы давления на торцевые поверхности отсека;

•сила тяжести жидкости в отсеке;

•сила трения о стенки отсека;

•реакция стенок, преград, ограничивающих поверхностей. Пусть F – равнодействующая этих сил.

Массовый расход жидкости вдоль потока является посто-

янным:

Qm = ρQ = const.

81

Поэтому за промежуток времени τ в отсек втекает через сечение 1-1 и вытекает через сечение 2-2 одинаковое количество жидкости:

m1 = m2 = m =ρQτ.

В результате приращение импульса (количества движения) жидкости в отсеке за время τ, вызываемое импульсом внешних сил F τ, возможно лишь за счет изменения средних скоростей в торцевых сечениях отсека.

Пусть ρQτυ2 – импульс жидкости, вытекающей из отсека за время τ; ρQτυ1 – импульс жидкости, втекающей в отсек за то

же время.

В соответствии с законом изменения импульса механической системы приращение импульса жидкости в отсеке за время τ равно импульсу равнодействующей всех внешних сил за тот же промежуток времени, т.е.

ρQτ(υ2 −υ1 ) = F τ,

или

Уравнение (4.16) выражает теорему Эйлера об изменении импульса жидкого объема: произведение массового расхода жидкости через выделенный отсек на разность средних скоростей в его торцевых сечениях равно равнодействующей внешних сил, действующих на жидкость в отсеке.

Следует заметить, что величины υ1, υ2 и F – это векторы.

При решении практических задач необходимо перейти к координатной форме уравнения (4.16), т.е. к уравнениям в проекциях на соответствующие оси координат.

Рассмотрим пример. Струя жидкости из цилиндрического насадка ударяется о преграду, расположенную нормально к ней (рис. 4.5). Необходимо определить силу, действующую со стороны струи на преграду Fстр.

82

Рис. 4.5

Выделим отсек жидкости между сечениями 1-1 и 2-2. На жидкость в этом отсеке действуют сила тяжести G и реакция преграды Rx . Силы давления на торцевые поверхности уравно-

вешиваются, так как p1 = p2 = pa . Остальные внешние силы пре-

небрежимо малы.

Запишем уравнение (4.16) в проекции на ось x:

ρQ(υ2x −υ1x ) = Fx .

Так как υ2x = 0, υ1x = υ1, Gx = 0, Fx = Rx , то последнее уравнение принимает вид

ρQ(0 −υ1 ) = Rx .

Отсюда

Rx = −ρQυ1.

Искомая сила давления струи на преграду

Fстр = −Rx =ρQυ1 =ρS0υ12 ,

где S0 – площадь сечения цилиндрического насадка.

83

4.6.Общие сведения о подобии

имоделировании потоков

Вгидравлике при изучении движения жидкости большая роль отводится экспериментальным исследованиям. Они выполняются в лабораториях, как правило, на уменьшенных моделях потоков.

Изучение реальных потоков с помощью уменьшенных мо-

делей называется физическим моделированием потоков. При физическом моделировании важно знать законы, устанавливающие соответствия между параметрами моделируемого потока и потока-модели. Эти законы рассматриваются в теории подобия, которую справедливо называют «грамматикой эксперимента».

Физическое подобие является обобщением геометрического подобия. Вспомним признаки подобия многоугольников: подобные многоугольники имеют одинаковые углы, а их сходственные стороны пропорциональны. Если многоугольники подобны, то размеры одного из них могут быть найдены путем умножения размеров другого на коэффициент пропорциональности. Нетрудно заметить, что первый многоугольник выступает в роли моделируемого объекта, а второй является моделью.

Теория подобия устанавливает, что у подобных физических систем сходственные параметры пропорциональны, а безразмерные комплексы, составленные из сходственных параметров, имеют одни и те же значения. Коэффициенты пропорциональ-

ности называются масштабными коэффициентами, а безраз-

мерные комплексы, принимающие одинаковые значения для модели и моделируемого объекта, именуются критериями по-

добия.

Поток жидкости описывается совокупностью величин, из

которой можно выделить геометрические, кинематические и динамические (силовые) параметры. В связи с этим различают следующие виды подобия.

84

Геометрическое подобие – это подобие границ потоков, заданных направляющими поверхностями. Оно требует пропорциональности сходственных геометрических размеров.

Кинематическое подобие отражает подобие местных скоростей в геометрически подобных потоках. Для кинематического подобия необходима пропорциональность местных скоростей в сходственных точках потоков.

Динамическое подобие представляет собой подобие сил в кинематически подобных потоках. При этом сходственные силы должны быть пропорциональны.

Остановимся на динамическом подобии. В потоке жидкости действуют разные силы: силы инерции, силы вязкости, силы давления и т.п. Выполнение пропорциональности всех сходственных сил в потоках приводит к полному подобию. Однако на практике это неосуществимо. Приходится довольствоваться неполным подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных (превалирующих) сил.

Пусть в потоках преобладают силы инерции и силы вязкости. Тогда для неполного динамического подобия потоков необходимо, чтобы сходственные силы были пропорциональны:

Fин.н = Fв.н ,

Fин.м Fв.м

где Fин.н, Fв.н – силы инерции и силы вязкости, действующие в моделируемом (натурном) потоке;

Fин.м, Fв.м – силы инерции и силы вязкости, действующие

в сходственных областях потока-модели. Отношение

принимает одно и то же (idem) значение для всей совокупности указанных сил в сходственных областях моделируемого потока

85

и потока-модели и является критерием подобия. В переводе с греческого слово «критерий» означает признак.

Раскроем выражение (4.17). С этой целью воспользуемся определяющими формулами для соответствующих сил:

где L – характерный размер потока, например, диаметр; знак « » означает пропорциональность.

В результате получим критерий подобия Рейнольдса:

Величина ρµuL называется числом Рейнольдса и характери-

зует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке жидкости. Критерий подобия (4.18) требует равенства чисел Рейнольдса в сходственных областях потоков (натуры и модели).

Для описания рассматриваемых потоков примем следующие величины: L – линейный размер, u – скорость, ρ – плот-

ность, µ – динамическая вязкость.

Выпишем сходственные параметры моделируемого потока и потока-модели:

Lн, uн, µн, ρн и Lм, uм, µм, ρм.

Введем масштабные коэффициенты, выражающие пропорциональность сходственных параметров:

Выразим параметры моделируемого потока через масштабные коэффициенты и сходственные параметры потока-модели

86

Подставляя соотношения (4.20) в критерий подобия (4.21), находим

N1N2 N4 ρмuмLм = ρмuмLм .

N3 µм µм

Для выполнения указанного равенства необходимо, чтобы

Этот комплекс называется индикатором подобия.

На четыре масштабных коэффициента (4.19) наложено одно условие (4.22). Это означает, что три масштабных коэффициента могут быть заданы произвольно, исходя из условий физической реализуемости потока-модели, а четвертый масштабный коэффициент находится из выражения (4.22).

Пусть заданы

По измеренному значению скорости в потоке-модели uм

можно определить скорость в сходственной точке моделируемого потока, используя формулу

uн = N2uм.

87

Однако результаты моделирования удобнее представлять в форме зависимостей безразмерных величин от критерия подобия. Эти зависимости будут одними и теми же (одинаковыми, справедливыми) для потока-модели и потока-натуры.

Другие сочетания преобладающих в потоке сил приводят к критериям подобия Эйлера, Фруда, Струхаля [6, 9].

88

5. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

5.1. Виды гидравлических сопротивлений

При движении жидкости работа сил вязкого трения преобразуется в тепло, которое рассеивается в окружающую среду. Так происходит диссипация части механической энергии потока жидкости.

Факторы, обусловливающие потери полного напора в потоке вязкой жидкости, называются гидравлическими сопротивле-

ниями.

Различают два вида гидравлических сопротивлений:

1.Сопротивление трения по длине. Оно возникает в пото-

ках с равномерным течением жидкости, например, в прямой цилиндрической трубе или призматическом канале. При этом потери полного напора равномерно распределены по длине трубы или канала.

2.Местные сопротивления. Возникают в местах деформа-

ции потока, где течение жидкости является неравномерным и характеризуется резким изменением поля скоростей. Конструктивно местные сопротивления представляют собой сужения, расширения, повороты труб, присоединенные к трубе вентили, фильтры, элементы гидроавтоматики и т.п. Потери напора на местном сопротивлении связаны в основном с перемешиванием жидкости.

Величина потерь напора на гидравлических сопротивлениях зависит от режима течения жидкости.

5.2. Режимы движения жидкости

При движении жидкости в трубах и каналах технических устройств возможны два режима: ламинарный и турбулентный. Основным отличительным признаком этих режимов является характер движения отдельных частиц и объемов жидкости.

89

Ламинарный режим движения – это течение без переме-

шивания жидких частиц, без пульсаций скоростей и давлений. Движение упорядоченное, параллельно-струйное. В переводе с латинского «ламинарный» означает слоистый.

При ламинарном движении эпюра распределения местных скоростей по сечению потока в круглой трубе имеет вид параболоида вращения (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Средняя по сечению скорость

υ= 1 ∫uds = Q .

S S S

Коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения местных скоростей при переходе к средней по сечению скорости, α = 2.

Турбулентный режим движения – это течение, сопровож-

дающееся интенсивным перемешиванием жидкости, пульсацией скоростей и давлений. Движение жидких частиц неупорядоченное. Имеет место поперечное движение частиц и вращательное движение отдельных объемов жидкости. В переводе с латинско-

го «турбулентный» – бурный, возмущенный, вихревой.

При турбулентном течении местная скорость изменяется не только по направлению, но и во времени: она пульсирует (рис. 5.2). Поэтому вводят в рассмотрение усредненную по времени местную скорость

90