книги / Гидравлика

Трубка тока – это поверхность, образованная линиями тока, нормальными в каждой точке бесконечно малого замкнутого контура (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Элементарная струйка – жидкость, движущаяся внутри трубки тока.

Элементарная струйка обладает следующими свойствами:

1.Жидкость не входит и не выходит через боковую поверхность, т.е. элементарная струйка является непроницаемой. Боковая поверхность элементарной струйки образована линиями тока. В каждой точке этих линий скорость направлена по касательной. Нормальных составляющих скорости нет. Поэтому нет и движения жидкости через боковую поверхность элементарной струйки.

2.Скорость и другие параметры жидкости в пределах поперечного сечения непрерывны и изменяются на бесконечно малую величину. Это обстоятельство объясняется сплошностью жидкости и бесконечно малыми размерами поперечного сечения элементарной струйки. Вдоль элементарной струйки скорость может изменяться от сечения к сечению. Часто рассматривают среднюю по сечению скорость и принимают ее постоянной.

Элементарная струйка может быть представлена в виде жидких частиц, плотно нанизанных на линию тока, подобно бусинкам на нитке, и движущимся вдоль нее.

61

3.3. Потоки жидкости

Потоком называют движущуюся массу жидкости, ограниченную направляющими поверхностями.

По характеру и сочетанию ограничивающих поверхностей потоки подразделяются на безнапорные, напорные и гидравлические струи.

Безнапорный поток – это поток, ограниченный частично твердой и частично свободной поверхностями, другими словами, поток со свободной поверхностью. Примерами могут служить потоки жидкости в каналах и трубах, работающих неполным сечением (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Напорным называется поток, ограниченный только твердыми направляющими поверхностями, иначе говоря, поток без свободной поверхности. Поток жидкости в трубе, работающей полным сечением, является напорным потоком. При этом стенка трубы испытывает избыточное давление жидкости (рис. 3.5).

Рис. 3.5

62

Гидравлическая струя – это поток, ограниченный жидкостью или газовой средой. Поверхность струи является поверхностью разрыва скоростей. Струя в жидкости называется затопленной, а струя, вытекающая в атмосферу, – свободной. Струя воды из пожарного брандспойта является примером свободной гидравлической струи (рис. 3.6).

Рис. 3.6

В рамках струйной модели поток жидкости рассматривается как бесконечная совокупность элементарных струек, которые не перемешиваются, а при разных скоростях скользят относительно друг друга. Аналогом такой абстракции, в известной степени, может служить пучок волос.

3.4. Живое сечение потока. Расход. Средняя скорость

Живое сечение, или просто сечение потока – это поверхность в пределах потока, нормальная в каждой своей точке к проходящим через них линиям тока (рис. 3.7).

Рис. 3.7

63

Живое сечение представляет собой сложную поверхность. При равномерном движении жидкости живое сечение потока является плоским, а при плавноизменяющемся – близким к плоскому. Основная характеристика сечения – площадь S. Ее можно рассматривать как сумму площадей сечений ds бесконечного числа элементарных струек, из которых состоит поток.

Расход – это количество жидкости, проходящей через живое сечение в единицу времени.

Количество жидкости может измеряться в единицах объема, массы и веса. Поэтому различают:

объемный расход Q, [Q] = 1 м3/с; массовый расход Qm , [Qm ] = 1 кг/с;

весовой расход QG , [QG ] = 1 Н/с.

Они связаны между собой соотношениями

Qm = ρQ , QG = gQm = ρgQ.

Далее будем рассматривать объемный расход.

В потоке жидкости выделим элементарную струйку. С ее продольной осью совместим координату l (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Пусть в элементарной струйке за бесконечно малый промежуток времени dt жидкость, находившаяся в сечении 1-1 площадью ds, переместилась в сечение 2-2, отстоящее от на-

64

чального на расстоянии dl. Элементарный объем жидкости, прошедшей через сечение 1-1, можно найти следующим образом:

dV = dsdl.

Тогда элементарный расход жидкости через сечение 1-1

где и – скорость жидкости вдоль оси трубки, u = dldt .

Так как поток представляется бесконечной совокупностью элементарных струек, то расход потока равен сумме расходов элементарных струек:

Q = ∫dQ = ∫uds.

S S

Расход – это основной параметр потока жидкости. Средняя скорость потока в данном сечении определяется

как частное от деления объемного расхода на площадь живого сечения:

υ = QS .

Это средняя по сечению скорость, величина фиктивная (воображаемая), при которой расход через данное сечение равен действительному расходу:

υS =Q .

3.5.Уравнение неразрывности

Всоответствии со струйной моделью жидкости поток можно представить бесконечной совокупностью элементарных струек. Элементарные струйки являются непроницаемыми,

65

а жидкость – сплошной (без разрывов) и несжимаемой. Поэтому объемный расход вдоль потока есть величина постоянная:

Это уравнение неразрывности, или постоянства расхода.

Представляет собой математическое выражение закона сохранения массы и принципа сплошности. Очевидно, впервые о нем упоминается в сочинениях римского инженера-строителя Фронтина (40–103), где отмечается, что количество воды, поступающей в трубу, должно равняться количеству воды, вытекающей из нее.

Уравнению неразрывности (3.1) можно придать следующий

вид:

Отсюда следует важный для практики вывод. С увеличением площади сечения потока средняя скорость в нем понижается и, наоборот, с уменьшением площади сечения она повышается:

↑ S ↓ υ, ↓ S ↑ υ.

Рассмотрим пример использования уравнения неразрывности. В потоке жидкости (рис. 3.9) выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади этих сечений S1 и S2 , средние скорости в них υ1 и υ2.

Рис. 3.9

66

Пусть величины S1, S2 и υ1 известны. Требуется найти υ2.

В соответствии с уравнением неразрывности (2.26) для выделенных сечений можно записать

υ1S1 = υ2S2.

Отсюда находим

υ2 = S1 υ1.

S2

Если S1 > S2 , то υ1 < υ2.

67

4. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

Гидродинамика – это раздел гидравлики, в котором изучается движение жидкости под действием внешних сил, а также механическое взаимодействие жидкости и твердых тел при их относительном движении.

4.1. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

Под идеальной понимают несжимаемую и лишенную вязкости жидкость. В ней не возникают силы внутреннего трения и связанные с ними потери механической энергии. Идеальной жидкости в природе нет. Это лишь абстракция, которая часто бывает полезной.

Для вывода уравнений движения идеальной жидкости воспользуемся принципом Даламбера, который позволяет получить уравнения динамики из уравнений статики.

Ранее были выведены дифференциальные уравнения равновесия жидкости (2.4)–(2.6). Представим эти уравнения в виде, удобном для дальнейшего рассмотрения:

Согласно принципу Даламбера уравнения движения могут быть составлены из уравнений равновесия (4.1), если в каждое из них включить соответствующую проекцию единичной силы инерции, взятую с отрицательным знаком.

68

Единичная сила инерции имеет физический смысл ускорения жидкой частицы

где δm – масса жидкой частицы.

Добавив в уравнения (4.1) проекции единичной силы инерции (4.2), получим:

Величину u = u(x, y, z,t) можно интерпретировать как скорость жидкой частицы на линии тока (рис. 4.1).

Рис. 4.1

69

Проекции скорости u зависят от координат жидкой частицы на линии тока и времени

ux =ux (x, y, z,t), uy = uy (x, y, z,t), uz = uz (x, y, z,t),

где t – время – независимая переменная;

x = x(t), y = y(t), z = z(t) – координаты жидкой частицы на линии тока – зависимые переменные.

Производные dudtx , dudty , dudtz найдем, воспользовавшись правилом дифференцирования сложных функций:

Будем рассматривать установившееся движение идеальной жидкости. Для установившегося движения (см. подразд. 3.1)

Нетрудно заметить, что

Подставим соотношения (4.5) и (4.6) в выражение (4.4), а полученный результат в уравнения (4.3). В итоге находим:

70