книги / Математика. Функции нескольких переменных
.pdf
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|||
1. |
Найти и изобразить на чертеже область определения функ- |
||||||||
ций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) z |
|
|
|
|
|
; б) z |
|
ln 4 x2 y2 . |
|
2x |
3y |
1 x y |
x2 y2 1 |
||||||
2. |
Найти частные производные и полный дифференциал функ- |
ции z cos x3 2xy .
3. Вычислить значение производной dzdt , если z x2e2 y , где x cost, y sin t , при t .
4.Найти производную dxdz , если z xt 1 , где t x 2 .
5.Найти частные производные uz , vz , если z y cos x y ,
где x u v , y u 2v .
6. Найти производную |
dy |
функции y y x , заданной урав- |
|||
dx |
|||||
|
|
|
|
||
нением xy arctg |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
7. Вычислить значения частных производных z , z функ-
x y
ции z z x, y , заданной уравнением x2 y2 z2 z 4 0 , в точ-
ке M0 1;1;1 .
8. |
Проверить, |
удовлетворяет ли функция u |
xy |
уравнению |
||||||
|
||||||||||
x y |
||||||||||
|
x 2u |
|
y 2u |
0 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y x2 |
x |
y2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- |
|||||||||
верхности S : z x2 |
2x 3 в точке M0 1;0;2 . |
|
91
10. |
На поверхности S : 4x2 25 y2 |
4z2 5 0 найти точки, в |
|||
которых |
касательная плоскость |
параллельна |
плоскости |
||
4x 25y 8z 0 . |
|
|
|
||
11. |
Найти градиент и производную функции z xey в точке |
||||
М0 1;4 |
в направлении линии xy 4 в сторону убывания аргумен- |
||||
та x. |
|
|
|
|
|
12. |
Исследовать |
на |
экстремум |
функцию |
|
z x3 y2 6xy 39x 18y 20 . |
|
|
|||
13. |
Найти |
наибольшее и |
наименьшее значения |
функции |
|
z x2 2xy y2 |
4x в области |
D : y 0, y x 1, x 3 . |
|
92
Вариант 6
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-
ций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) z x2 y2 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) z x y x y . |
|
|
|||||||||||||||||
2. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функции z cos |
|
2x2 y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
|
Вычислить |
|
|
значение |
производной |
dz |
, |
|
если |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ln ey e x , |
где x |
|
1 |
, |
y t2 , при t 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти производную |
|
dy |
|
, если y z 2 x 1 , где |
x e2 z . |
|||||||||||||||||||||||
|
dz |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти частные производные |
z |
, |
z |
, если z cos |
x |
, где |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
y |
||
x u2 2v , y u v2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Найти |
производную |
|
dy |
функции |
y y x , |
заданной |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
уравнением x |
|
xy y a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Вычислить значения частных производных z |
, |
z |
функ- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
ции z z x, y , |
заданной уравнением |
z3 3xyz 3y z , в точке |
|||||||||||||||||||||||||||
M0 1;1;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Проверить, удовлетворяет ли функция u exy |
уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||
2u |
|
2 2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x2 y |
y2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- |
||||||||||||||||||||||||||||
верхности S : x2 y2 z2 |
|
4z 2 0 |
в точке M0 2;1; 1 . |
|
|
|
93
10. На поверхности S : 2x2 y2 z2 4 0 найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости 2x y z 0 .
11. |
Найти градиент и производную функции z x2 |
y2 xy |
|
в точке |
М0 3;1 в направлении линии 4x 3y 9 0 в сторону |
||
возрастания аргумента x . |
|
|
|
12. Исследовать на экстремум функцию z 2x3 y2 |
6xy 5. |
||
13. |
Найти наибольшее и |
наименьшее значения |
функции |
z x2 y2 2x 2y 8 в области |
D : y 0, y 1 x, x 0 . |
|
94
Вариант 7
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-
ций
а) |
z arccos x y ; |
|
б) z |
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6 x2 y2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||||||||||||||||
функции z arcsin 2x3 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычислить значение производной |
|
|
dz |
, |
если |
|
z xy , |
где |
||||||||
|
|
dt |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x et , y ln t , при t 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Найти производную |
, если u |
2x |
z 1 |
, где z ln x . |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
||
5. |
Найти частные производные |
, |
|
, |
если |
|
z e2 x , |
где |
|||||||||
u |
|
v |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x u 2v , y 2u v .
6. |
Найти производную |
dy |
функции |
y y x , |
заданной |
||||||||
|
|
||||||||||||
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнением x4 6x2 y2 9y4 5x2 15y2 100 0 . |
|
|
|||||||||||
7. |
Вычислить значения частных производных z , |
z функ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
ции z z x, y , заданной уравнением cos2 x cos2 |
y cos2 z 1,5 , в |
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке M0 |
|
; |
|
; |
. |
|
|
|
|
|
|
||
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Проверить, удовлетворяет |
ли функция |
u sin2 x ay |
||||||||||
|
|
|
|
2u |
2u |
|
|
|
|
|
|
||
уравнению a2 |
x2 |
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- |
||||||||||||
верхности S : x2 z2 5yz 3y 14 0 в точке |
M0 |
1;2;3 . |
|
95
10.На поверхности S : 2x2 y2 z 0 найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости 4x z 0 .
11.Найти градиент и производную функции z yex в точке
М0 2;2 в направлении линии xy 4 в сторону возрастания аргу-
мента x. |
|
|
|
|
|
12. |
Исследовать |
на |
экстремум |
функцию |
|
z 3x3 3y3 9xy 10 . |
|
|
|
||
13. |
Найти |
наибольшее |
и наименьшее значения |
функции |
|
z 2x3 xy2 y2 |
в области D : y 0, y 6, x 0, x 1 . |
|
96
Вариант 8
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-
ций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) z arcsin x y . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
а) |
z |
9 x2 y2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
|||||||||||||||||||||||||||||
функции z ln 3x2 y y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3. |
Вычислить значение производной |
dz |
, |
если z ey x2 , |
где |
|||||||||||||||||||||||||
|
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin 2t , y ctgt , при t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4. |
Найти производную |
dz |
|
, если z y2e3x 1 |
, где x sin2 y . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
5. |
Найти частные производные |
, |
, |
если z x2e 2 , |
где |
|||||||||||||||||||||||||
|
u |
v |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x u v, |
y u v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
6. |
Найти |
производную |
|
dy |
функции |
y y x , |
|
заданной |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением ln x e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
7. |
Вычислить значения частных производных z , |
|
z функ- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
||||
ции |
|
z z x, y , |
|
заданной уравнением |
ez 1 z cos x cos y 2 , в |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
точке M0 |
|
|
|
;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Проверить, удовлетворяет ли функция |
u y |
y |
|
уравне- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
2 2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
нию |
x2 x2 |
y |
|
y2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
9. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-
верхности S : 4x2 9z2 36 в точке |
M0 3;0;0 . |
10. На поверхности S : x2 y2 |
4z2 4 найти точки, в кото- |
рых касательная плоскость параллельна плоскости x y 2z 0 .
11. |
Найти |
градиент |
и |
производную |
функции |
z x3 2x2 y xy2 1 |
в точке М0 1;2 |
в направлении, идущем от |
|||
точки M0 |
к точке N 4;6 . |
|
|
|
|
12. |
Исследовать |
на |
экстремум |
функцию |
z x2 xy y2 x y 1 .
13. Найти наибольшее и |
наименьшее значения функции |
z 3x 6y xy x2 y2 в области |
D : y 0, y 1, x 0, y x 1. |
98
Вариант 9
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-
ций
а) |
z ln x2 |
y2 2x |
; |
|
|
|
|
б) |
z arcsin |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2. |
Найти |
|
частные |
производные |
|
и |
полный дифференциал |
||||||||||||||||||||||||||
функции z ye |
x3 y3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Вычислить значение производной |
|
dz |
|
, если z x2e y , где |
||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x cos 2t , |
y sin 2t , при t |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти производную |
|
du |
|
, если u y ln y z , где z = |
1 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||
5. |
Найти частные производные |
z |
|
, |
z |
, |
если z xy yx , где |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 3u 3v , |
y u v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Найти |
производную |
|
dy |
функции |
y y x , |
заданной |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнением y cos(x y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Вычислить значения частных производных z , |
z функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|||||||
ции z z x, y , |
заданной уравнением |
|
x2 |
y2 |
z2 |
6x 0 , в точке |
|||||||||||||||||||||||||||
M0 1;2;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Проверить, |
удовлетворяет ли функция |
u |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x2 |
y2 z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнению |
2u |
|
|
2u |
|
2u |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
верхности S : x2 y2 z2 2yz y 4 0 в точке |
M0 1;1;1 . |
|
|
|
|
|
99
10.На поверхности S : x2 2x y2 z 1 0 найти точки, в которых касательная плоскость параллельна плоскости 4x z 0 .
11.Найти градиент и производную функции z ln x2 y2 в
точке М0 1;1 в направлении линии x2 y2 2 в сторону возрастания аргумента x .
12. Исследовать на экстремум функцию z 4 x y x2 y2 .
13. Найти наибольшее и наименьшее |
значения функции |
z x2 2y2 4xy 6x 1 в области D : x y 3, |
y 0 , x 0 . |
100