книги / Математика. Функции нескольких переменных

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

Замечание

Из определения (2.2) сле-

дует, что если предел существу-

ет, то он не зависит от пути, по

которому P стремится к P0 (чис-

ло таких направлений беско-

нечно).

3. lim f x, y f x0 , y0

(2.3)

Функция z f x, y

называется

x x0

y y0

непрерывной

в

точке

M0 x0 , y0 , если она определена

в точке M0 x0 , y0

и некоторой

ее окрестности и

выполняется

условие (2.3).

Замечание 1

Функция,

непрерывная в

каждой точке некоторой облас-

ти, называется непрерывной в

этой области.

Замечание 2

Если

в

некоторой точке

P0 x0 , y0 не выполняется усло-

вие (2.3),

то

точка

P0 x0 , y0

называется

точкой

разрыва

функции z f x, y .

Замечание 3

Точки

разрыва

функции

z f x, y

могут образовывать

целые линии разрыва.

а)

z

1

;

x2 y2

б) z

3

;

x y 3

в)

z

1

.

9 x2 y2

Решение

1

а) Функция z

определена на всей плоскости OXY , за

x2 y2

б)

Для функции

z

3

точками разрыва являются все

x y 3

точки,

лежащие на прямой

y x . Таким образом, точки разрыва

образуют линию разрыва данной функции.

в)

Функция z

1

определена и непрерывна всюду,

9 x2

y2

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

1. x z f x x, y f x, y

(3.1)

Частное приращение функ-

ции z f x, y по x.

Замечание

Переменная

y

в

данном

случае остается неизменной.

y z f x, y y f x, y

(3.2)

Частное приращение функ-

ции z f x, y по y.

Замечание

Переменная

x

в

данном

случае остается неизменной.

2.

z

,

f

,

,

(3.3)

Обозначение

частной

про-

x

x

zx

fx

x, y

изводной

функции

z f x, y

по x.

z

,

f

,

,

x, y

(3.4)

Обозначение

частной

про-

y

y

zy

f y

изводной

функции

z f x, y

по y.

z

lim

x z

Частной производной по x

x

x

от функции

z f x, y

называ-

3.

x 0

(3.5)

lim

f

x x, y f x, y

ется предел отношения частного

x

приращения

xz к приращению

x 0

x

при

стремлении

x

к нулю.

Частной производной по y

от функции z = f(x, y) называется

предел

отношения

частного

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

z

lim

y z

приращения

yz к приращению

y

y

y при стремлении

y к нулю.

y 0

(3.6)

f x, y y f x, y

Следует запомнить:

lim

при нахождении частной произ-

y 0

y

водной

z

,

переменная y счита-

x

ется постоянной величиной, а

при нахождении частной произ-

водной

z

,

переменная x счита-

y

ется постоянной величиной.

Замечание 1

В отличие от обозначения

обыкновенной

производной,

здесь употребляется не «пря-

мое» d, а «круглое» .

Замечание 2

Частные производные от

функции z f x, y находят по

формулам и правилам вычисле-

ния производных функций од-

ной переменной.

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

4.

Геометрический

смысл

частной

производной

z

от

x

функции двух переменных:

1. Графиком

функции

z f x, y

является некоторая

поверхность σ.

2. Рассмотрим

точку

M0(x0, y0) в плоскости OXY и со-

ответствующую

точку

Рис. 3.1

P0 x0 , y0 , z0

на

поверхности

(рис. 3.1).

3. Проведем

плоскость

y = y0.

4. Плоская кривая

AP0 B –

это результат пересечения по-

верхности z = f(x, y) с плоско-

стью y = y0.

5. Полученную

кривую

AP0 B можно рассматривать как

график функции одной пере-

менной z f x, y0 .

6. Согласно

геометриче-

скому

смыслу

производной

функции

одной

переменной

fx x, y0 tg , где α – угол на-

клона касательной,

проведенной

к кривой AP0 B в точке P0.

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

z

tg

(3.7)

Следовательно,

z

x M

tg (3.7).

0

x

M

0

В этом заключается гео-

метрический

смысл

частной

z

производной

x .

Замечание

Аналогично

выясняется

геометрический смысл частной

производной

z .

y

z

tg

(3.8)

Следует запомнить:

y M

0

значение

частной произ-

водной

z

tg

(3.8), где

y M

0

угол наклона касательной,

проведенной

в

точке

P0 x0 , y0 , z0 к линии пересече-

ния

поверхности

z f x, y с

плоскостью x = x0.

5. xu f x x, y, z f x, y, z (3.9)

Частное приращение функ-

ции u = f (x, y, z) по x.

Замечание

Переменные y, z в данном

случае остаются неизменными.

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

yu f x, y y, z f x, y, z

(3.10)

Частное приращение функ-

ции u f x, y, z

по y.

Замечание

Переменные x, z в данном

случае остаются неизменными.

z u f x, y, z z f x, y, z

(3.11)

Частное приращение функ-

ции u f x, y, z

по z.

Замечание

Переменные x, y в данном

случае остаются неизменными.

6.

u

,

f

(3.12)

Обозначение

частной

x

, ux

, fx x, y, z

производной

от

функции

x

u f x, y, z по x.

u

,

f

,

(3.13)

Обозначение

частной про-

y

y

, uy

fy x, y, z

изводной

от

функции

u f x, y, z по y.

u

,

f

,

(3.14)

Обозначение

частной про-

z

z

, uz

fz x, y, z

изводной

от

функции

u f x, y, z по z.

7.

Частной производной по x

u

lim

xu

от функции u f x, y, z назы-

x

x

x 0

(3.15)

вается предел отношения част-

f x x, y, z f x, y, z

lim

ного приращения xu

к прира-

x

x 0

щению x при стремлении x

к нулю.

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

u

lim

y u

Частной производной по y

от функции u f x, y, z назы-

y

y

y 0

(3.16)

lim

f x, y y, z f x, y, z

вается предел отношения част-

ного приращения yu к прира-

y

y 0

щению

y при стремлении

y к

нулю.

Частной производной по z

u

lim

z u

от функции u f x, y, z назы-

z

z

вается предел отношения част-

z 0

(3.17)

lim

f x, y, z z f x, y, z

ного приращения zu к прира-

z

щению z при стремлении

z

z 0

к нулю.

Следует запомнить:

при нахождении частной произ-

u

водной

x , переменные y, z

считаются постоянными;

при нахождении частной произ-

водной

u , переменные

x, z

y

считаются постоянными;

при нахождении частной произ-

u

водной

z , переменные x, y

считаются постоянными.

а)

z

5 4xy x2 y3 4 4 y 2x

x

y const

10 4xy x2 y3 4 2y x ;

z

5 4xy x2 y3

4

4x 3y2 .

y

x const

б) z

x

x

1

1

x

e3 y

e3 y

e3 y ;

x

3y

3y

y const

x

z

x

1

x

x

x

x

e3 y

e3 y

e3 y .

2

2

y

3

y

3y

x const

x

в)

z

2arctg x y

1

;

x

y const

1 x y 2

z

2arctg x y

1

1 .