книги / Математика. Функции нескольких переменных
.pdf
Вариант 25
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функ-
ций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
z 25 x2 |
|
|
|
; |
|
|
|
б) z |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 16 |
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функции z |
|
ex2 y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
Вычислить |
|
|
|
значение |
производной |
|
|
|
|
dz |
|
, |
|
|
если |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z arcctg x 2y , |
где x e3 t 1 , |
y ln t , при t 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Найти производную |
|
, если u z2e |
|
, где z 2 y 1 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Найти частные производные |
z |
, z |
, если |
|
z |
|
|
|
xy |
|
, где |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
||||||
x u v, y uv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Найти производную |
|
dy |
|
функции y y x , заданной урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нением x3 y3 |
3axy 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Вычислить значения частных производных |
|
z |
, |
|
z |
функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ции z z x, y , |
заданной уравнением |
e2 x 1 |
|
2y2 |
3z 6yz 12 в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точке M0 |
|
|
; 1; |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
8. |
Проверить, |
|
удовлетворяет ли функция z ln |
|
|
|
|
|
|
урав- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|||||
нению 2 x 2 z 1 0.
x y x2 x2
131
9.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S : 2x2 y2 z2 6x + 2y + 6 0 в точке M0 1; 1; 1 .
10.На поверхности S : z x2 y2 y 2 найти точки, в кото-
рых |
|
|
|
касательная |
плоскость |
перпендикулярна |
прямой |
||||
|
x 3y 2z 0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 5y 4z 1 0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
11. |
По |
какому |
направлению |
должна |
двигаться |
точка |
||||
M x; y; z |
при переходе через точку M0 1;1;1 , чтобы функция |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
u ln |
|
x2 y2 z2 убывала с наибольшей скоростью. |
|
||||||||
|
12. |
Исследовать на экстремум функцию z x2 y2 8 x y . |
|||||||||
|
13. |
Найти наибольшее и |
наименьшее |
значения функции |
|||||||
z x2 |
5y2 |
4xy 2y в области |
D : x 0, y 0, |
x 1, y 2. |
|
||||||
132
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие: в 2 т. – М.: Альянс, 2021. – Т. 1. – 416 с.
2.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: учебник для вузов: в 2 ч. – 7-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2019. –
Ч. 1. – 646 с.
3.Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко [и др.]. – 7-е изд., испр. – М.: АСТ,
2016. – 815 с.
133
Учебное издание
Смышляева Татьяна Владимировна, Лойко Наталья Александровна, Плехова Эльвира Валентиновна, Савочкина Анна Александровна
МАТЕМАТИКА
Функции нескольких переменных
Учебно-методическое пособие
Редактор и корректор Е.В. Копытина
__________________________________________________________
Подписано в печать 01.04.2022. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 6,56. Тираж 33 экз. Заказ № 51/2022
_________________________________________________________
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.
134