книги / Математика. Функции нескольких переменных

z

1

.

y

3

49

A

§4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

1.

z

fx x, y

Функция z f x, y имеет частные

x

производные первого

порядка

z

f y x, y

(4.1)

(4.1), которые, в свою очередь, яв-

y

ляются

функциями

независимых

переменных x и y.

2.

Следует запомнить:

частные

производные

от

частных

производных первого порядка на-

зываются частными производными

второго порядка.

z

z z

Обозначение частных производных

2

x

2

xx

второго порядка.

x

x

2 z

z

z

2

y

yy

y

y

(4.2)

2 z

z

z

x y

xy

y x

2 z

z

z

y x

x

yx

y

Замечание

Функция z f x, y имеет ча-

стные производные второго поряд-

ка, которые определяются по фор-

мулам (4.2).

3.

2 z

,

2 z

–

(4.3)

Замечание

x y

y x

Смешанные

частные

произ-

смешанные частные производ-

водные второго порядка от функ-

ции z

f x, y

(4.3)

отличаются

ные второго порядка.

между собой лишь порядком диф-

ференцирования.

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

2 z

2 z

Следует запомнить:

(4.4)

если смешанные частные произ-

x y

y x

водные второго порядка от функ-

ции z f x, y непрерывны, то они

равны между собой (4.4).

4.

Следует запомнить:

частные производные от частных

производных второго порядка на-

зываются частными производными

третьего порядка.

3

2

z

Обозначение частных производных

z

z

2

третьего порядка.

x

3

x

x

xxx

3 z

2 z

z

3

2

y

y

y

yyy

(4.5)

3 z

2 z

z

2

2

x

y

xxy

y x

……………………………..

Замечание

n z

n

Частная производная n-го по-

zxm yn m

(4.6)

рядка есть первая производная от

xm yn m

частной производной n 1 -го по-

рядка.

(4.6) – частная производная n-го по-

рядка, причем функцию z f x, y

сначала m раз дифференцировали

по x, а потом n m раз по y.

Найти

2 z

,

2 z

,

2 z

, если

z x3 y 4y2 x 5x 3y .

x2

y2

x y

Решение

Найдем частные производные

z

,

z

:

x

y

z

3x2 y 4 y2 5;

x

z

x3 8yx 3.

y

Дифференцируя повторно, получим:

2 z

3x2 y 4 y2 5 6xy;

x2

x

2 z

x3

8yx

3 8x;

y2

y

2 z

3x2 y 4 y2 5 3x2 8y.

x y

y

Задача 2

Найти

2 z

,

2 z

,

2 z

,

x2

y2

x y

если z

x y

.

x y

Решение

Найдем частные производные

z

,

z

:

x

y

z

x y

1 x y x y 1

2 y

;

x

y

x y

2

x y

2

x x

z

x y

1 x y x y 1

2x

.

y

x y

2

x y

2

y x y

2

z

2 y

2 x y 3

4 y

2 y

;

x y 3

x2

x

x y 2

2

z

2x

2x 2 x y 3

4x

;

x y 3

y2

y

x y 2

2 z

2 y

1 x y 2 y 2 x y

2

x y 4

x y

y

x y 2

x

y

2 y

2

x y

2

.

3

x y

x y 3

Задача 3

3 z

x

Найти

, если

z e y .

x2 y

Решение

Найдем частную производную

z

:

x

z

x

1

e y

.

x

y

Задача 4

Показать,

что функция u x y

удовлетворяет уравнению

y

2u

1 y ln x u .

y x

x

Решение

u

u

2u

Найдем частные производные

x

,

y ,

:

y x

u

yx y 1

;

x

u

x y ln x ;

y

2u

yxy 1 ln x x y

1

x y 1 y ln x 1 .

y x

x

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

1.

z f x x, y y

Полное

приращение

функ-

f x, y

(5.1)

ции двух переменных z

f x, y .

2.

z

f x, y

x

f x, y

y

Равенство (5.2) получено в

предположении,

что

функция

y

x

z f x, y имеет в точке x, y

x

y

(5.2)

1

2

непрерывные

частные

произ-

водные.

Замечание 1

От равенства (5.1)

можно

перейти к равенству (5.2) ис-