книги / Математика. Функции нескольких переменных

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

Рис. 8.2

u

u cos

u cos

Формула

для

вычисления произ-

l

x

y

(8.12)

водной по направлению (8.12).

u

cos

z

9.

Если направление l совпадает с

ортом

, то

cos 1 ,

cos 0,

i

cos 0,

тогда согласно формуле

(8.12)

u

u .

l

x

Замечание

Аналогично для ортов j

и k

Рис. 8.3

осей Oy и Oz .

Следует запомнить:

если направление l совпадает с на-

, j

правлением одного из ортов i

или k , то производная

u по

на-

правлению l совпадает c соответст-

вующей частной производной этой

функции.

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

10.

Для плоского скалярного поля

скалярная функция точки имеет

вид u u x, y .

Рис. 8.4

u

u

u

Формула

для

вычисления

производной

по

направлению

в

x cos y cos

(8.13)

l

случае плоского

скалярного

поля

(8.13).

90

(8.14)

Равенство (8.14)

получено на

90

основании рис. 8.4.

cos cos 90 sin

(8.15)

u

u cos u sin

(8.16)

(8.16) – формула для вычисления

l

x

y

производной

по

направлению

в

случае плоского скалярного поля, с

учётом формул (8.14) и (8.15).

u

u

u

Градиентом

функции

11.

grad u

x i

y

j

z k

u u x, y, z

называется

вектор,

или

(8.17)

координатами

которого

являются

u

u

u

значения соответствующих

част-

grad u

x

;

y

;

ных производных в точке P x, y, z

z

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

u

u

grad u

i

j

В плоском

скалярном

поле

x

y

u u x, y

или

(8.18)

grad u определяют по

u

u

формуле (8.18).

grad u

;

x

y

12.

Следует запомнить:

между

градиентом

функции

u u x, y, z

в данной точке и про-

изводной по направлению

u

в той

l

же точке имеется связь, которая

устанавливается

следующей

тео-

ремой:

производная

u

по направлению l

Рис. 8.5

l

u пр

равна проекции вектора grad u на

u

(8.19)

это направление. (8.19).

grad

l

l

или

u

– угол между направлением l и

cos

(8.20)

grad u

grad u (рис. 8.5).

l

Следует запомнить:

из формулы (8.19) следует, что

производная по направлению при-

нимает наибольшее значение, если

направление l совпадает с направ-

лением градиента. Таким образом,

направление градиента есть на-

правление

наибольшего

роста

функции.

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

u

(8.21)

Наибольшее значение произ-

grad u

водной по направлению l равно мо-

l

дулю градиента функции u (8.21).

Замечание 2

В направлении, противопо-

ложном градиенту функция u будет

убывать с наибольшей скоростью.

Следует запомнить:

Если l grad u , то

производная по направлению l, ко-

u

0

(8.22)

торое перпендикулярно grad u , рав-

l

на нулю.

Замечание 3

Утверждение (8.22),

следует

из формулы (8.20), если

.

2

13.

В области D задано скалярное

поле, т. е. в области D задана ска-

лярная функция точки u u x, y .

u x, y C – уравнение

линии

уровня в плоскости Oxy (рис. 8.6).

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

u

Производная

функции

dy

x

(8.23)

u x, y C ,

заданной неявно, най-

u

dx

дена по формуле ((7.2, §7).

y

k1 tg 1

(8.24)

k1

– угловой

коэффициент

каса-

или

тельной

к

линии

уровня

u

u x, y C

k

x

(8.25)

u

1

y

u

k2

tg 2

y

(8.26)

k2

– угловой коэффициент гради-

u

ента.

x

u

u

k k

x

y

1

(8.27)

u

u

1

2

y

x

Условие перпендикулярности двух

k k

2

1

(8.28)

прямых.

1

Следует запомнить:

вектор градиент перпендикулярен

к линии уровня u x, y C ,

лежа-

щей в плоскости Oxy

и проходя-

щей через точку P (рис. 8.6).

Замечание

Вектор

grad u перпендикуля-

рен

поверхности

уровня

u x, y, z C,

проходящей

через

данную точку.

Задачи

Задача 1

Построить

линии уровня

для плоского

скалярного

поля

u x2 y2 .

Решение

Линии уровня x2 y2 C .

При C 0

разделим все члены равенства

x2 y2 C

на С,

получим

x2

y2

1 или

C

C

x2

y2

1

– семейство равнобочных гипербол с

2

2

C

C

вершинами в точках

;0 и

;0 , где Ox – действительная,

C

C

а Oy – мнимая оси.

При C 1

линия уровня – гипербола x2 y2 1 с вершинами

в точках 1;0 и

1;0 (рис. 8.7).

При C 2

линия уровня

x2

y2

1 – гипербола с вершина-

ми в точках

2;0 и

2;0

2

2

(рис. 8.7).

При C < 0 получим

x2

y2

1 или

C

C

x2

y2

1

– семейство равнобочных гипербол с

2

2

C

C

вершинами в точках 0;

и 0;

, где Oy – действительная,

C

C

а Ox – мнимая оси.

При C = 1

линия уровня – гипербола y2 x2 1 с вершина-

ми в точках 0;1

и 0; 1

(рис. 8.7).

u

x z

5 ,

y

u

y x

M

2;1;3

3 .

z

M

2;1;3

Вектор

3;4;12 .

MN

Найдем направляющие косинусы вектора MN :

cos

x

3

; cos

y