книги / Математика. Функции нескольких переменных

ций

а)

z arccos x 2y ; б)

z ln 9 9y x2

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z sin 3

xy2 1 .

3.

Вычислить значение производной

dz

, если z

x

,

где

dt

y

x et ,

y 2 e 2t , при t 0 .

4.

Найти

производную

du

, если

u arcsin

t

,

где

dt

2 y

5.

Найти

частные

производные

z

,

z

, если

u

v

z y2 ln x y , где

x u2v ,

y uv2 .

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением x3 sin y y2 cos x 2x 3y 1 0 .

7. Вычислить значения частных производных

z ,

z

функции

x

y

z z x, y , заданной уравнением x2

2y2 z2

4x 2z 2 0 , в точ-

ке M0 1;1;1 .

8.

Проверить,

удовлетворяет ли функция

z ln

x

x3 y3

y

1

2 z

2 z

2 z

уравнению

x2

2

y2

2

x3 y3

0 .

6

x

x y

y

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S: 4y2 z2

3z 4xy xz 9 в точке

M0 1; 2;1 .

точке

М0 1;1

в направлении линии y x в сторону возрастания

аргумента x.

12. Исследовать на экстремум функцию z 2xy 2x2

4y2 .

13. Найти наибольшее и наименьшее

значения

функции

z x2

2xy y2

4x 1 в области D: x y 1 0 ,

y 0 , x 3.

x

ln y2 x2

а)

z arcsin

; б)

z

2x y

y

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z arccos 3x 2y2 .

3.

Вычислить

значение

производной

dz

,

если

z ln e x e 2 y , где x t2 ,

dt

y 4 t , при t 2 .

4.

Найти

производную

dx

,

если

x t2 cos yt

,

где

dy

t 2ln y.

5.

Найти частные производные

z

,

z , если z y2

3xy ,

где

u

v

x uv ,

y

u

.

v

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением arcsin(x y) x .

7.

Вычислить значения частных производных z

, z

функ-

x

y

ции z z x, y ,

заданной уравнением x y z 2 xyz , в точке

M0 2; 1; 1 .

y

8.

Проверить,

удовлетворяет ли функция u xe x

уравнению

2u

2u

2 2u

x2 x2 2xy

y

0 .

x y

y2

верхности S : z x2 y2 3xy x y 2 в точке

M0 2;1;0 .

10. На поверхности S : x2 y2 z 6 0

найти точки, в кото-

ция u

10

при переходе точки M x; y; z

через точку

x2

y2 z2 1

M 1;2; 2 .

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z x y x2 y 6x 3 .

13.

Найти наибольшее и

наименьшее значения функции

z 3x2 3y2 x y 1 в области

D : x y 1 0 , y 0 ,

x 5 .

а)

z ln x2

y2 ;

б) z arcsin

y

2x

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z log5 xy2 1 .

3.

Вычислить

значение

производной

dz

,

если

dt

1

, при t 1.

z

x y2

3,

где x ln2 t , y

t2

4.

Найти

производную

dz

,

если

z sin 4u2 x2 ,

где

dx

u 2x 1 3 .

5.

Найти частные производные

z

,

z , если z

xy

, где

u

v

x y

x u cosv ,

y u sin v .

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением a cos2 (x2 y) b .

7.

Вычислить значения частных производных z

,

z функ-

x

y

ции

z z x, y ,

заданной уравнением 3x2 2y2 z2

4xz 4 ,

в

точке

M0 1; 1; 1 .

8.

Проверить,

удовлетворяет ли данная функция u arctg

y

x

уравнению

2u

2u

0 .

x2

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : 2x2 y2

2z2

xy xz 3

в точке M0 1;2;1 .

13. Найти

наибольшее и

наименьшее значения функции

z x2 2xy 0,5y2

4x в области

D : y 2x , y 2 , x 0 .

ций

а)

ln x2

y2

2x 4 y ;

б) z arccos

x y

2

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z tg

x

.

2 y3

3.

Вычислить значение производной

dz

, если

z arctg

x2

, где

dt

y

x et 1 ,

y

1

, при t 1.

t4

4.

Найти производную

dt

, если t ctg 2y2

3z2 , где y ez .

dz

5.

Найти

частные

производные

z

,

z

,

если

u

v

z sin x2 2 y ,

где x

uv , y uv2 .

6.

Найти производную

dy

функции

y y x , заданной урав-

dx

нением

x

y ex y .

7.

Вычислить значения частных производных

z ,

z функ-

x

y

ции z z x, y ,

заданной уравнением ez xyz x 1 0 , в точке

M0 2;1;0 .

8.

Проверить, удовлетворяет ли функция u ln x e y

урав-

нению

u 2u

u 2u

0 .

x x y

y x2

13. Найти наибольшее и наименьшее значения

функции

z x2 2,5y2 2xy 2x в области D : y 0 , y 2 , x 2 ,

x 0 .

ций

а)

z

x 2 y

;

б) z ln xy

1

x 2

2x y

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z x2 y sin 2xy2 .

3.

Вычислить значение производной

dz

, если

z 3

y2

, где

dt

x

x 1 2t ,

y 1 arctgt , при t 0 .

где x u2 2v ,

y 2u v2 .

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением 2xsin y 3y cos x 0 .

z

z

7.

Вычислить значения частных производных

x

, y функ-

ции

z z x, y ,

заданной

уравнением

x3 2y3 z3 3xyz 2y 15 0 , в точке

M0 1; 1;2 .

8.

Проверить,

удовлетворяет ли

функция

u ln x2 y2

уравнению

2u

2u

0 .

x2

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности 2 y2 3z2

5 в точке

M0 1; 1; 1 .

11.

Найти

направление наибольшего возрастания

функции

u x2 y2 z в точке

M0 2; 1;3 и скорость возрастания в этом на-

правлении.

12.

Исследовать на экстремум функцию z xy x2 y2 9 .

13.

Найти

наибольшее и наименьшее значения

функции

z xy 3x 2y

в области D : y x 1, y 0, x 0, x 2 .