книги / Математика. Функции нескольких переменных

ций

б) z arcsin 3 x2 y2 .

а)

z

2x2 y2 ;

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z ln

1 .

xy

3.

Вычислить

значение

производной

dz

, если

dt

z ln e x e2 y , где x

6

,

y

3

,

при t 1 .

t2

t

4.

Найти производную

dt

, если t x2ex y2

, где

x = ln y .

dy

5.

Найти частные производные

z

,

z ,

если

z

x

e y , где

u

v

y

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением (x y)3

27(x y) .

7.

Вычислить значения частных производных

z ,

z

функ-

x

y

ции z z x, y ,

заданной

уравнением xy z2

1,

в

точке

M0 0;1; 1 .

8.

Проверить,

удовлетворяет ли функция u e cos x y

урав-

2u

2u

нению a2 x2

y2 .

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к за-

данной поверхности S : x2 y2 z2 2xy 2x z в точке

M0

1;1;1 .

10.

На поверхности S : 3x2 11y2

3z2 13 0 найти точки, в

которых

касательная плоскость

параллельна

плоскости

6x 11y 6z 0 .

11.

Найти градиент и производную функции

z x2 y2 в

точке

М0 6;8 в направлении линии

x2 y2 100

в сторону воз-

растания аргумента x .

12. Исследовать на экстремум функцию z 5x2

2xy y2 4x .

13.

Найти наибольшее и

наименьшее значения функции

z x2

2xy 10 в области D : y x2

4, y 0 .

а) z ln y2 x2 2y ;

б) z

y 2x2

.

y

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z tg x3 y4 .

3.

Вычислить значение производной

dz

,

если z ey 2x 1 , где

dt

x tg

t

, y sin 2t , при t .

2

2

dx

z

z e

y .

4.

Найти производную

, если x cos

, где

2

dy

y

5.

Найти

частные

производные

z

,

z

, если

u

v

z sin 3x 2y , где x 2u2 v , y u 2v2 .

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

a arctg

y

.

нением

x2 y2

x

ции

z z x, y ,

заданной уравнением x2 2y2 3z2 yz y 2 , в

точке

M0 1;1;1 .

8. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u exy урав-

2u

2u

2 2u

нению x2 x2 2xy

y

y2 2xy exy 0 .

x y

верхности S: 3x2 y2 9 в точке

1

M0

;2 2;1 .

3

10. На поверхности S: x2 y2 2z2

10 0

найти точки, в ко-

11.

Найти градиент и производную функции z arctg

y

в

x

точке М

1

3

в направлении линии x2 y2 2x в сторону

0

;

2

2

убывания аргумента x .

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z x2 xy y2 6x 9y .

13.

Найти наибольшее

и наименьшее значения

функции

z xy 2x y в области D: y x 3 ,

y 0 , x 0 , y 4 .

где x ln t , y

1

, при t 1.

t3

dz

2

2

1

4.

Найти производную

, если

z tg t

y

, где t

.

dy

y5

5.

Найти частные производные

z

, z

, если

z y2 2x , где

u

v

x u2 3v , y 3u v2 .

6.

Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением x4 y4 x2 y2 .

7.

Вычислить значения частных производных

z ,

z функ-

x

y

ции z z x, y , заданной уравнением x2

y2 z2 2xz 5, в точке

8.

Проверить,

удовлетворяет

ли данная функция

u arctg

x y

уравнению

2u

0 .

1

xy

x y

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : z y2 x2

2xy 3y в точке

M0 1; 1;1 .

11.

Найти градиент и производную функции

z arctg xy в

точке М0 1; 1 в направлении линии y x

в сторону возраста-

ния аргумента x.

12. Исследовать

на

экстремум

функцию

z 2y2 2y x 4y x .

13.

Найти наибольшее и

наименьшее

значения функции

z 0,5x2

xy в области D : y 8,

y 2x2 .

Вариант 13

1.

Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

б) z ln 4 4x y2 .

а) z 3 x2 y2 4y ;

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z 2 ln

y2 .

x

3.

Вычислить значение

производной

dz

,

если

dt

2x

t2 4 , при t 0 .

z arccos

, где x et , y

y

4.

Найти производную

dy

, если

y x3

2x z ,

z sin x.

dx

5.

Найти

частные

производные

z

,

z ,

если

u

z x y2 2x , где

v

x u 4v ,

y 4u v .

6.

Найти производную

dy

функции y y x ,

заданной урав-

dx

нением x2 y2 2arcctg

y

C.

x

7.

Вычислить значения частных производных

z ,

z

функ-

x

y

ции z z x, y , заданной уравнением

x cos y y cos z z cos x ,

2

8.

Проверить,

удовлетворяет

ли

функция

u ln

x2

y2 2x 1

уравнению 2u

2u 0.

x2

y2

11. Найти градиент и производную функции z x3

y3 3xy

в точке М0 3;3 в направлении линии

xy 9 в сторону убывания

аргумента x .

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z 2x2 4xy 4y2 6x .

13.

Найти наибольшее

и наименьшее

значения

функции

z 3x2 3y2 2x 2y 2 в области D: y 1 x ,

y 0 , y x 1.

Вариант 14

1.

Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

z arcsin 3xy .

а)

z 1 x y ;б)

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z cos x

.

xy 3

3.

Вычислить значение производной

dz

, если

z

x

, где

dt

1 y

x 1 2t , y arctgt ,

при t 0 .

4.

Найти производную

dt

, если t sin

y2

, где

x e3 y .

dy

x

5.

Найти частные

производные

z

,

z

,

если

v

u

z x2 sin 2 y 1 , где

x

uv , y uv .

6.

Найти производную

dy

функции y y

x , заданной урав-

dx

нением y2ex ey x 1 x2 y2 .

7. Вычислить значения частных производных z

, z

функции

x

y

z z x, y , заданной уравнением 3x2 y2

2xyz2 2x3 z 4y3 z 12 , в

точке M0 2;1;2 .

8.

Проверить,

удовлетворяет

ли

данная

функция

u ekx sin ay уравнению a2

2u

k 2 2u

0 .

x2

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S: x2 2y2 z2 xz 4y 1 в точке M0

3;1;2 .

z 2x2 3y2 1 в области D: y

9

9

x2

,

y 0 .

4