книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем

25.

26.

27.

28.

29.

30.

21

31.

32.

33.

34.

35.

36.

22

37.

38.

39.

40.

В данной теме рассматривались характеристики надежности невосстанавливаемых объектов. Характеристики рассчитывались по результатам испытаний, поэтому при расчетах использовались статистические формулы.

23

ТЕМА 3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

В предыдущей теме была рассмотрена методика эксперимента, которая позволяла определить надежностные характеристики объекта. При этом надежностные характеристики, которые являются функциями (вероятность безотказной работы объекта P(t), вероятность отказа Q(t), плотность распределения отказов f (t) и интенсивность отказов (t)), оказывались представлены в виде таблиц.

Использовать таблицы при расчетах надежности сложных систем весьма неудобно, поэтому по результатам эксперимента подбирают аналитическую формулу, которая наиболее удачно подходит в данном случае, и определяют коэффициенты этой формулы. Наиболее типичные формулы называются законами распределения случайных величин.

Для невосстанавливаемых элементов и систем применяются следующие законы распределения случайных величин (указанные вопросы подробно рассматривается в п. 2.1.1 и 2.1.2 учебного пособия [2]).

Показательное (экспоненциальное) распределение

Показательное распределение характерно тем, что интенсивность постоянна ( = const). Отсюда

Примерный вид соответствующих кривых показан на рис. 3.1. Показательное распределение применяется на практике

очень широко. Если обратиться к эксперименту, поставленному в предыдущей теме, то отказы объектов можно рассматривать как поток отказов. При экспоненциальном распределении отказы

24

объектов рассматриваются как пуассоновский поток отказов, обладающий следующими свойствами: простейший (время между отказами распределено по экспоненциальному закону), ординарный (два события не могу произойти в один и тот же момент времени), стационарный без последействий.

(t)

f(t) P(t)

Рис. 3.1. Примерный вид основных показателей надежности при экспоненциальном распределении

Некоторые данные об интенсивности отказов компонентов вычислительных систем приведены в прил. 1.

Пример 1. Покажем, как при расчетах пользоваться экспоненциальным распределением. Оно определяется одним параметром: интенсивностью отказов . Пусть = 0,05. Тогда Т = 1/ = 20 ч. Найдем Р(t) и Q(t) за 30 ч согласно (3.1):

Р(30) = е–0,05 30 = 0,223,

Q(30) = 1 – P(30) = 0,777

и за 100 ч:

Р(100) = е–5 = 0,067,

Q(100) = 1 – P(100) = 0,9933.

В теории надежности существует правило: считается, что распределение экспоненциальное, если результаты эксперимента явно этому не противоречат.

25

Усеченное нормальное распределение

При нормальном (гауссовом) распределении случайной величины ось абсцисс имеет протяженность от – до + . Поскольку время t не может быть отрицательной величиной, в теории надежности используется усеченное нормальное распределение.

Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины.

Основными параметрами для нормального распределения являются: Т – среднее значение наработки на отказ, t – среднеквадратическое отклонение,

пределения. Значения Ф(и) приведены в литературе [1] и прил. 2. При этом Ф(–и) = 1 – Ф(и),

Значения (и) приведены в литературе [1] и прил. 2. При этом

(–и) = (и),

Примерный вид соответствующих кривых представлен на рис. 3.2.

Нормальное распределение может использоваться при исследовании надежности объектов, отказы которых обусловлены действием какого-то одного доминирующего фактора.

26

P(t) (t)

f(t)

Рис. 3.2. Кривые для усеченного нормального распределения

Пример 2. Пусть параметры нормального распределения

Т = 100 ч, t2 = 1000 ч2. Найти Р(70), Q(70), (70), P(130), Q(130),

(130). Из формул (3.2)–(3.4) следует:

70 100

Р(70) = 1 – Ф = 1 – Ф(–0,95) = Ф(0,95) = 0,829,

31,6

Q(70) = 1 – Р(70) = 0,171,

(70) = (0,95) 0, 254 = 0,306, P(70) 0,829

130 100

Р(130) = 1 – Ф = 1 – Ф(0,95) = 0,171,

31,6

Q(130) = 1 – Р(130) = 0,829,

(130) = (0,95) 0, 254 = 1,485. P(130) 0,171

Распределение Вейбулла

Основными параметрами распределения Вейбулла являются0 – масштаб кривой по оси абсцисс и – острота и асимметрия распределения. Обычно берут 1 2 (рис. 3.3).

27

При = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное. Примерный вид соответствующих кривых дан на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Примерный вид основных показателей надежности при распределении Вейбулла: а – график вероятности безотказной работы; б – график плотности вероятности наработки на отказ;

в– график интенсивности отказов

Сзаконом Вейбулла хорошо согласуется время безотказной работы качественных полупроводниковых приборов.

Пример 3. Пусть 0 = 0,05, = 1,5. Определить Р(10), Q(10),(10), P(100), Q(100), (100). По (3.5):

P(10) = e (0,05 10)1,5 0,702,

Q(10) = 1 – 0,702 = 0,298,(10) = 1,5 0,05 100,5 = 0,237,

P(100) = e (0,05 100)1,5 0,0000139, Q(100) = 0,9999861,

(100) = 1,5 0,05 1000,5 = 0,75.

Варианты заданий для самостоятельных и расчетных работ

Задание: по приведенным параметрам рассчитать P(tзад) и f(tзад) для экспоненциального, усеченного нормального и распределения Вейбулла случайной величины, при этом tзад = Т. Для распределения Вейбулла построить график λ(t), 0 ≤ t ≤ Т.

28

25.= 0 = 0,001 1/ч, = 0,7, Т = 1100 ч, t2 = 950 ч2.

26.= 0 = 0,002 1/ч, = 1,7, Т = 1050 ч, t2 = 900 ч2.

27.= 0 = 0,003 1/ч, = 0,6, Т = 1000 ч, t2 = 850 ч2.

28.= 0 = 0,004 1/ч, = 1,8, Т = 950 ч, t2 = 800 ч2.

29.= 0 = 0,005 1/ч, = 0,5, Т = 900 ч, t2 = 750 ч2.

30.= 0 = 0,006 1/ч, = 1,7, Т = 850 ч, t2 = 700 ч2.

В данной теме рассматривались основные законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности.

30