книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем

сивности потока , переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, откуда стрелка исходит. Если стрелка входит в описываемое состояние, то произведению присваивается знак «+», если исходит, то знак «-».

Для графа, приведенного на рис. 8.2, получается следующая система уравнений:

Добавление последнего уравнения является обязательным и необходимым для закрытия системы, поскольку ни одно из предыдущих уравнений не учитывает начальных условий, но в силу того, что совокупность этих вероятностей представляет собой полную группу событий и сумма их всегда равна 1, начальные условия с помощью последнего уравнения добавляются в систему. После этого из системы вычеркивается любое уравнение, кроме последнего.

На третьем этапе решаются системы уравнения, и находятся искомые вероятности пребывания объекта (системы, узла) в состояниях его работоспособности.

На четвертом этапе рассчитывается коэффициент готовности как сумма вероятностей работоспособных состояний. В рассматриваемом примере три работоспособных состояния, следовательно, коэффициент готовности будет вычисляться по формуле

Пример 1. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, состоящей из двух блоков, соединенных последовательно, интенсивность отказов блока W = 0,01 ч–1, интенсивность восстановлений блока =1 ч–1. Ремонт осуществляет один ремонтник.

61

Этап 1. Построим граф работоспособности системы. Поскольку надежностные характеристики блоков 1 и 2 одинаковые, можно уменьшить число состояний.

Состояние 0: оба блока исправны (система исправна и работоспособна).

Состояние 1: один из блоков исправен (система неисправна и неработоспособна). Интенсивность перехода из состояния 0 в состояние 1 равна 2ω, так как выйти из строя может любой из двух блоков.

Состояние 2: оба блока неисправны (система неисправна и неработоспособна). Интенсивность перехода из состояния 2 в состояние 1 равна μ, а не 2μ, поскольку ремонт осуществляет только один ремонтник.

Построенный граф работоспособности системы приведен на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Граф работоспособности блоков, соединенных последовательно

Этап 2. Запишем для этого графа систему линейных уравнений:

Этап 3. Из первого уравнения системы получаем

62

Из третьего уравнения системы получаем

Подставляя эти значения в четвертое уравнение, получаем

Пример 2. Определить коэффициент готовности, если система состоит из двух блоков, соединенных параллельно, параметр потока отказов блока W = 0,01, параметр потока восстановления блока =1 ч–1. Ремонт блоков системы осуществляют два ре-

монтника после выхода из строя всей системы.

Этап 1. Построим граф работоспособности системы. Состояние 0: оба блока исправны (система исправна и рабо-

тоспособна); Состояние 1: один из блоков исправен (система неисправна,

но работоспособна).

Состояние 2: оба блока неисправны (система неисправна и неработоспособна).

Интенсивность перехода из состояния 2 в состояние 1 равна μ, а не 2μ, поскольку ремонт осуществляет только один ремонтник.

63

Построенный граф работоспособности системы приведен на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Граф работоспособности блоков, соединенных параллельно

При построении данного графа было нарушено соглашение об ординарности потока восстановлений (стрелка между 2 и 0 состояниями, что соответствует одновременному восстановлению обоих блоков), однако такое нарушение позволяет точнее промоделировать ситуацию, если в системе нет средств встроенного контроля и отказ системы будет обнаружен только после отказа обоих блоков. На практике система будет включена только после того, как будут отремонтированы оба блока. Если есть возможность обнаружить отказ любого из блоков, то формулировка задачи будет следующей: ремонт блоков системы осуществляют два ремонтника после выхода из строя любого блока. Тогда и граф работоспособности будет выглядеть аналогично графу на рис. 8.3 со своими интенсивностями отказов и восстановлений.

Этап 2. Запишем для этого графа систему линейных уравнений

Этап 3. Из второго уравнения системы получаем

P

P0 21 .

64

Из третьего уравнения

P 2 P .

1 W 2

Тогда

P0 W P2 .

Подставляем эти значения в четвертое уравнение:

По результатам анализа этих двух примеров можно сделать следующие выводы:

1.Построение графа работоспособности при наличии резервирования зависит от имеющихся средств встроенного контроля. Если такие средства есть, ремонт может быть произведен после выхода из строя любого блока. Если средств встроенного контроля нет, то отказ отдельных блоков может остаться незамеченным и ремонт может быть произведен только после выхода из строя всей системы.

2.Число ремонтников – важная характеристика, поскольку интенсивность восстановлений μ не может быть больше ни числа блоков, подлежащих восстановлению, ни числа ремонтников в силу того, что наша модель имеет ограничение: интенсивность восстановлений блоков (как и отказов) постоянна, и увеличение числа ремонтников не приведет к ее изменению.

65

Варианты заданий для самостоятельных и расчетных работ

Обратите внимание, что номер задания и варианта не совпадают.

Задание 1. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, если система состоит из трех блоков, соединенных последовательно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт системы осуществляет один ремонтник.

Вариант 1. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 2. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 2. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, соединенных последовательно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт системы осуществляют два ремонтника.

Вариант 3. W = 10–2 ч-1, = 0,2 ч–1. Вариант 4. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 3. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, соединенных последовательно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт системы осуществляют три ремонтника.

Вариант 5. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 6. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 4. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, соединенных параллельно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт

блоков системы осуществляет один ремонтник сразу же по выходе любого блока из строя.

66

Вариант 7. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 8. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 5. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, соединенных параллельно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт

блоков системы осуществляется же по выходе любого блока из строя, одним ремонтником – по выходе из строя одного блока, двумя ремонтниками – по выходе из строя двух или трех блоков.

Вариант 9. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 10. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 6. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, соединенных параллельно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт

блоков системы осуществляется по выходе любого блока из строя, одним ремонтником – по выходе из строя одного блока, двумя ремонтниками - по выходе из строя двух блоков и тремя ремонтниками по выходе из строя всех трех блоков.

Вариант 11. W = 10–2 ч-1, = 0,2 ч–1. Вариант 12. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 7. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, если система состоит из трех блоков, соединенных параллельно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт блоков системы осуществляет один ремонтник после выхода из строя всей системы.

Вариант 13. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 14. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 8. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, если система состоит из трех блоков, соединенных

67

параллельно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт блоков системы осуществляют два ремонтника после выхода из строя всей системы.

Вариант 15. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 16. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 9. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, если система состоит из трех блоков, соединенных параллельно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт блоков системы осуществляют три ремонтника после выхода из строя всей системы.

Вариант 17. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 18. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 10. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, которые соединены, как показано на рис. 8.5. Параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт блоков системы осуществляет один ремонтник сразу после выхода из строя любого блока.

Рис. 8.5. Система с параллельно-последовательным соединением

Вариант 19. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 20. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 11. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, которые соединены, как показано на

68

рис. 8.5. Параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт блоков системы осуществляют два ремонтника сразу после выхода из строя любого блока.

Вариант 21. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 22. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 12. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, если система состоит из трех блоков, которые соединены, как показано на рис. 8.5. Параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ре-

монт блоков системы осуществляют три ремонтника сразу после выхода из строя любого блока.

Вариант 23. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 24. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 13. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, которые соединены, как показано на рис. 8.6. Параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт блоков системы осуществляет один ремонтник сразу после выхода из строя любого блока.

Рис. 8.6. Система с последовательно-параллельным соединением

Вариант 25. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 26. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 14. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, если система состоит из трех блоков, ко-

69

торые соединены, как показано на рис. 8.6. Параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ре-

монт блоков системы осуществляют два ремонтника сразу после выхода из строя любого блока.

Вариант 27. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 28. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 15. Определить коэффициент готовности, если система состоит из трех блоков, которые соединены, как показано на рис. 8.6. Параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт блоков системы осуществляют три ремонтника сразу после выхода из строя любого блока.

Вариант 29. W = 10–2 ч–1, = 0,2 ч–1. Вариант 30. W = 10–2 ч–1, = 0,6 ч–1.

Задание 16. Определить коэффициент готовности восстанавливаемой системы, если система состоит из четырех блоков, соединенных последовательно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт системы осуществляет один ремонтник.

Вариант 31. W = 10–2 ч–1, = 0,02 ч–1. Вариант 32. W = 10–2 ч–1, = 0,06 ч–1.

Задание 17. Определить коэффициент готовности, если система состоит из четырех блоков, соединенных последовательно, параметр потока отказов блока W , параметр потока восстановления блока . Ремонт системы осуществляют два ремонтника.

Вариант 33. W = 10–2 ч–1, = 0,02 ч–1. Вариант 34. W = 10–2 ч–1, = 0,06 ч–1.

Задание 18. Определить коэффициент готовности, если система состоит из четырех блоков, соединенных последовательно,

70