книги / Метрология, стандартизация, сертификация

- *1 - X ;

у2 =х2- Х ;

( 1.12)

В соответствии с аксиомой случайности

п

1=1

Выше отмечалось, что отклонения в измерениях или погрешности являются случайными, т.е. значение (размер) их для каждого отдельного измерения нельзя предвидеть. Поэтому представляется естественным при­ менять к ним те общие законы для случайных явлений (или величин), ко­ торые рассматриваются в теории вероятностей и математической стати­ стике.

Закон нормального распределения случайных погрешностей выра­ жается следующим уравнением:

31

Наблюдения, проведенные при большом числе повторных измерений в одних и тех же условиях, показывают, что для результатов этих наблю­ дений частота появления тех или иных значений случайных погрешностей подчиняется устойчивым закономерностям. Если через /и,- обозначить час­ тот}' появлений значения погрешности 6, при общем их числе /7, то отно­ шение ш,-/п есть относительная частота появлений значения 5/. При неогра­ ниченно большом числе наблюдений (п -> оо) это отношение равнозначно понятию вероятности, т.е. может рассматриваться как статистическая ве­ роятность {р1= п71/п) появления погрешности 8, при повторении измерений в неизменных условиях. Общность понятий частоты и вероятности под­ робно рассматривается в курсах теории вероятностей.

Вероятность того, что погрешности не превосходят численно неко­ торого значения | 5 |, т.е. лежат в пределах от - 5 до +8, может быть найде­ на (учитывая симметричность кривой нормального распределения) путем интегрирования уравнения (1.13):

которую принято называть нормальной функцией распределения, состав­ лены таблицы для различных значений /.

Возвращаясь к рис. 1.6, найдем точки перегиба кривой и соответст­ вующие им значения -8* и +5*. Для этого приравняем вторую производную уравнения (1.13) нулю и найдем, что перегиб кривой происходит в двух точках, симметрично расположенных но обе стороны от оси ординат/(8), при значениях ±8* = ±о„. Полученные точки перегиба разделяют область часто встречающихся случайных погрешностей от области погрешностей, редко встречающихся. Для неограниченно большого ряда измерений

32

одновременно сжимаясь вдоль оси абсцисс (см. рис. 1.7). Таким образом, малому значению сгл соответствует преобладание малых случайных по­ грешностей, а вместе с тем и большая точность измерения данной величи­ ны; при большом же а п большие случайные погрешности встречаются значительно чаще, следовательно, точность измерения меньше.

Конечная цель анализа выполненных измерений состоит в определе­ нии погрешности результата наблюдения ряда значений измеряемой вели­ чины х\, *2, •••» хп и погрешности их среднего арифметического значения, принимаемого как окончательный результат измерения, относительной частоты погрешностей и вероятности.

Оценка точности результата наблюдения. Для оценки точности ре­ зультата наблюдения служит среднее квадратическое отклонение резуль­ тата наблюдения стл (квадрат этой величины, т.е. а п,г называется рассеяни­ ем или дисперсией результата наблюдения и обозначается обычно симво­ лом П). В реальных условиях мы имеем дело с конечными рядами наблю­ даемых значений измеряемой величины, так что, определяя с при ограни­ ченном числе наблюдений, можем найти только приближенное значение или оценку этого отклонения, определяемого по формуле

33

(1.15)

где /? - число наблюдений; х/ - значение величины, полученное при /-м на­ блюдении; X - среднее арифметическое значение (результат измерений).

Выражение (1.15) при ограниченном числе наблюдений дает несме­ щенную оценку среднего квадратического отклонения результата наблю­ дений.

Для получения полного представления о точности и надежности оценки случайного отклонения результата наблюдения должны быть ука­ заны доверительные границы, доверительный интервал и доверительная вероятность. При известном а доверительные границы указываются сле­ дующим образом: нижняя граница -о или X - о, верхняя граница +а или

X + а (сокращенно ±а или X ± а), за пределы которых с вероятностью

Р= 0,683 (или 68,3 %) не выйдут значения случайных отклонений х,- - X или результатов отдельных наблюдений х,-ряда измерений. Доверительный интервал выражается в виде

1Р = ( Х - о \ Х +о).

В зависимости от целей измерения могут задаваться и другие дове­ рительные границы: или X -1ра и +//>а или X + /^а. Значения 1рдля наиболее употребительных доверительных вероятностей при л-»оо сле­ дующие:

В инженерной практике предпочтение отдается вероятности 0,95 и

0,997.

Оценка точности результата измерения. Для оценки достоверности результата измерения, принимаемого равным среднему значению X , при­ меняют показатель точности, аналогичный показателю точности результа­ та наблюдения. При этом согласно теории погрешностей оценка среднего квадратического отклонения результата измерения су в 4п раз меньше

оценки среднего квадратического отклонения результата наблюдения (1.15). Таким образом, при числе измерений п оценка среднего квадратиче­ ского отклонения результата измерения

(1.16)

34

Доверительные границы погрешности результата измерения ука­ зываются следующим образом: нижняя граница - с у или Х - о у » веРх“

няя граница +а% или ^ +ах >за пРелелы которых с вероятностью 0,683 не выйдут погрешности результата измерения или среднее арифметическое значение X . Доверительный интервал представляют в виде

/ я = (* -< * ? ; X +а ?).

В зависимости от назначения измерений может быть задана и другая доверительная вероятность. В этом случае доверительные границы запи­

сываются как - ( р ^ х или Х - 1 р в х и +*рсх или % + {р ° х »а доверитель­ ный интервал

1р —(X 1р&х | X +

Оценка точности результата измерения при малом числе наблюде­ ний. На практике, как правило, число измерений конечно и в большинстве случаев не превышает 15-20 отдельных наблюдений, а при ответственных измерениях - нескольких десятков. При малом числе наблюдений (п<20) и условии, что распределение погрешностей отдельных измерений нор­ мальное, пользуются для определения //> таблицей, основанной на распре­ делении Стьюдента.

Измерения при малом числе наблюдений чаще дают преуменьшен­ ное значение средней квадратической погрешности по сравнению с по­ грешностью для достаточно большего ряда тех же измерений. Распределе­ ние Стьюдента, упрощенно говоря, учитывает это обстоятельство, и при одинаковой доверительной вероятности значение г = у/а больше в распре­ делении Стьюдента, чем в нормальном. Иными словами, вероятность по­ явления, например, одинаково больших погрешностей в распределении Стьюдента, т.е. при малом числе измерений, больше.

В табл. 1.1 приведены вычисленные по распределению Стьюдента вероятности (1 - Р ) появления погрешностей, превышающих а ^ ,2 а ^ и Зох в зависимости от числа измерений п.

35

Если задана вероятность, то, пользуясь выражением для Р, можно найти положительное число 1р>которое будет зависеть только от Р и п.

Полагая

при этом 6 будет зависеть от и, Р и значений *], х2>л * з , х„, которые вхо­ дят в е через с^у. Выражение (1.18) позволяет достаточно точно произве­ сти оценку приближенного равенства X %X

При практическом применении распределения Стыодента погреш­ ность е среднего арифметического значения (результата измерения) при малом числе наблюдений (л<20) и заданной доверительной вероятности Р определяется из значений а или Су, вычисленных по формулам (1.15) или (1.16), с помощью выражения

Значения //> для наиболее употребительных доверительных вероят­ ностей Р и различных п - 1 приводятся в справочных таблицах.

При п оо (п > 200) распределение Стьюдента сходится с нормаль­

ным.

Для оценки среднего арифметического значения X , принимаемого как окончательный результат измерения, указываются доверительные гра­ ницы и доверительный интервал при выбранной доверительной вероятно­ сти. Доверительные границы указываются следующим образом: нижняя граница X - е, верхняя граница X + г или сокращенно X ± е. Доверитель­ ный интервал выражается в виде

/р = ( Х - е ; Х + е),

где е определяется формулой (1.19) и выражается в единицах измеряемой величины.

Если е выражается в долях среднего арифметического значения из­ меряемой величины, то доверительные границы указываются следующим образом:

36

Оценка точности косвенных измерений. В косвенных измерениях определение значения искомой величины у производится на основании прямых измерений других величин, связанных с у функциональной зави­ симостью

( 1.20)

где Ху{у = 1-гт )- средние арифметические значения прямых измерений с

одинаковым числом отдельных наблюдений Х и, Х 21 Х т} (/ = 1 + п) . При определении искомой величины у полагаем, что результаты из­

мерения величин Х х>свободны от систематических погрешностей. Погрешность результата косвенного измерения величины у зависит

от погрешности результатов прямых измерений независимых друг от друга величин Х у.

Для оценки точности результата косвенного измерения величины у применяют среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле

где 0|, а г,..., аш - средние квадратические отклонения результатов измере­ ния величин Х] , Х 2 Х т .

В зависимости от требований к измерениям может быть задана раз­ личная доверительная вероятность. Обозначая для выбранной доверитель­ ной вероятности Р через еу погрешности величин Х у, связанные с сту/ или ау равенством

Су/

Ву =-1р — 7= ^ — 1рСу,

а/и

и подставляя еу в формулу (1.21), получаем

Погрешности оу и еу в формулах (1.21) и (1.22) выражаются в тех же единицах, что и искомая величина у. Если непосредственно измеряемые величины являются по своей природе разнородными, то пользуются отно­ сительными погрешностями этих величин.

37

При использовании оценок средних квадратических отклонений оу/ значение погрешности результата косвенного измерения также будет при­ ближенно.

Приведенные выше формулы для определения погрешности резуль­ тата косвенного измерения у могут быть использованы и в том случае, если Vнаходится по отдельным значениям прямых измерений, т.е.

У = / ( * ь -V:,..., х т) .

В этом случае должно быть известно значение среднего квадра­ тического отклонения.

1.4. Средства измерений

Общим термином средства измерений называют технические средст­ ва, используемые при измерениях и имеющие нормированные метрологи­ ческие характеристики, т.е. характеристики, влияющие на результаты и на точность измерений.

1.4.1.Классификация средств измерений

Вметрологии средства измерений принято классифицировать по ви­ ду, принципу действия и метрологическому назначению.

Различают следующие виды средств измерений: меры, измеритель­ ные устройства; измерительные установки и измерительные системы (рис. 1.8).

Мера — средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера.

Самым многочисленным видом средств измерений являются изме­ рительные устройства, применяемые самостоятельно или в составе изме­ рительных установок и измерительных систем.

Взависимости от формы представления сигнала измерительной ин­ формации измерительные устройства подразделяют на измерительные приборы и измерительные преобразователи.

Измерительный прибор - средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительная информация обычно представляется в виде перемещения указателя по шкале, переме­ щения пера по диаграмме или в виде цифр, появляющихся на табло.

Измерительные приборы могут быть классифицированы по ряду признаков. Наиболее важные с позиций метрологии признаки отражены на рис. 1.8.

38

Рис. 1.8. Классификация средств измерений

Измерительный преобразователь - средство измерений, предназна­ ченное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удоб­ ной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и (или) хране­ ния, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем.

Измерительная информация представляется преобразователями обычно в виде сигналов постоянного или переменного тока или напряже­ ния, давления сжатого воздуха или жидкости, частоты гармонических ко­ лебаний, последовательности прямоугольных импульсов и т.п.

Как видно из рис. 1.8, измерительные преобразователи могут быть классифицированы в зависимости от используемого метода измерения и способа представления величины совершенно аналогично измерительным приборам. Кроме того, принято различать измерительные преобразователи по расположению в измерительной системе и виду функции преобразова­ ния, представляющей собой зависимость сигнала измерительного преобра­ зователя от измеряемой физической величины. Помимо приведенной клас­ сификации измерительных приборов и преобразователей используют и другие.

По роду измеряемой величины измерительные устройства подразде­ ляют на амперметры - для измерения тока, термометры - для измерения температуры, манометры - для измерения давления, концентраторы - для измерения концентрации веществ и т.п.

По степени защиты измерительные устройства бывают в нормаль­ ном (обыкновенном), пыле-, водо-, взрывозашищенном, герметичном или ином исполнении.

Измерительные приборы подразделяют по характеру применения на стационарные (щитовые), корпус которых приспособлен для жесткого крепления на месте установки, и переносные, корпус которых не предна­ значен для жесткого крепления.

Измерительная установка - совокупность функционально объединенных средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомогательных устройств, предназначенных для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем, и расположенных в одном месте. Измерительные установки обычно используются в научных исследованиях, осуществляемых в различных лабораториях, при контроле качества и в метрологических службах для определения метрологических свойств средств измерений.

Измерительная система - совокупность средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомога­ тельных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназна­ ченная для выработки сигнала измерительной информации в форме, удоб­ ной для автоматической обработки, передачи и (или) использования в ав­

40