книги / Прикладная теория ползучести и длительной прочности грунтов
..pdf
|
|
- |
41 - |
напряжениями и деформациями, |
предложенная С.П. Тимошенко. Вид ф (т ) |
||
для чистого сдвига такой : |
|
||
т |
GoTa |
т |
(2.2.11) |
- ------ |
|||
|
Ts+GoT |
|
|
Аналогично записывается |
ф(е) для растяжения (сжатия) |
||
б |
EftGss |
е |
(2.2.12) |
-------- |
|||
|
бз+Ео£ |
|
|
В этих формулах Go и Ео-начальные модули сдвига и упругости соот ветственно. Механический смысл xs и 6S можно установить следующим образом. Разделив числитель и знаменатель (2.2.11) на г, а (2.2.12) на е получим :
|
Go*ts |
|
|
EoGs |
|
Тз/т+Go |
|
6s/e+Eo |
|
Примем, что в первом выражении |
г-*®, а во втором е-*», тогда найдем |
|||
х |
xs |
, |
6 |
е бд |
Ст-*») |
|
(е-«0 |
||
Следовательно, |
xs и |
6S |
- это предельное значение напряжения |
|
(предел текучести) при сдвиге и при растяжении (сжатии) соответс
твенно. Из |
приведенных |
выше |
рассуждений |
можно заключить, что |
|||
константы |
в Выражениях |
(2.2.11) |
и (2.2.12) имеют |
механический |
|||
смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
ф (т ) |
или ф (с ) подставить в уравнения |
наследственной |
||||
ползучести, то можно получить |
прикладные уравнения ползучести |
и |
|||||
релаксации для |
сдвига или для растяжения. |
Вид функций (2.2.11) |
и |
||||
(2.2.12) идентичен, поэтому все рассуждения и уравнения, получен
ные для одной из них, сохранятся и для другой. |
|
|||
Связь |
напряжений с деформациями |
(2.2.1) с функцией |
(2.2.11) |
|
имеет вид |
|
|
|
|
|
Opts |
t |
|
|
t(t) |
T(v) |
■R(t-v)dv |
(2.2.13) |
|
V(t) |
- Qots J- |
|||
Ts+GoT(t) |
0 ta+GoT(v) |
|
||
Приняв значение функции |
Ф (r)-const, найдем выражение для релакса |
|||
ции напряжения т , |
|
|
|
|
|
- 42 - |
|
|
|
t |
|
|
T(t) * |
rfl- [R(t-v)t(v)dvl |
(2.2.14) |
|
|
ts+GoT ^ J |
t |
|
Разделим числитель |
и знаменатель |
в правой части на ts и |
запишем |
(2.2.14): |
|
|
|
GO T
x(t)
1+GoY/ts
Отсюда при Ts-*» имеем линейное уравнение релаксации t
t(t) = Gor[l-jR(t-v)dvj |
(2.2.15) |
о
а при t=0 следует выражение закона Гука T=GoY. Введем в уравнение (2.2.14) следующее обозначение :
tsY
Yo * — — ts+GoY
t
t(t) = r0Go(l-jR(t-v)dvj (2.2.16) 0
В уравнениях (2.2.15) и (2.2.16) произведем замену переменной v на 0-t-t и после преобразований найдем длительный модуль G(°°),
|
G(°°) |
Go Н |
|
|
(2.2.17) |
|
|
0 |
|
|
|
Это выражение аналогично приведенным ранее (2.1.13) |
и |
(2.2.6). |
|||
Для |
описания |
процесса |
ползучести необходимо |
в |
уравнение |
(2.2.7) |
подставить |
выражение |
(2.2.11), |
|
|
- 43 -
GpTs |
t |
|
|
T(t) - t(t)+jK(t-v)dv |
(2.2.18) |
||
•Cs+GoT(t) |
|||
0 |
|
||
|
|
Если процесс ползучести происходит при постоянном напряжении т,
то из (2.2.18) |
следует |
|
|
|
|
||
|
T(t) =» T/Go(l+jK(t-v)dvj |
(2.2.19) |
|||||
ts+GoT(t) |
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
T(t) |
T/6o(l+jK(t.......-v)dvj. |
(2.2.19') |
|||||
l+6o/tST(t) |
|||||||
|
^ |
J |
|
|
|||
Из выражения |
(2.2.19) |
при x&«*> получим уравнение ползучести ли |
|||||
нейное относительно напряжения |
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
T(t) |
- t/So[l+jK(t-v)dvj |
(2.2.20) |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
а при t-О следует закон Гука r-t/Go. |
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
Введем обозначение II(t)-l+jK(t-v)dv |
|
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
и после решения (2.2.19) относительно |
т, найдем |
|
|||||
|
|
|
r(t) |
tn(t)ts |
(2 . 2 . 21) |
||
|
|
|
= |
|
|||
|
|
|
|
Gofas-T^Kt) |
|
||
Отсюда, зная |
значения |
Go.ts ,n(t), |
можно вычислить |
деформацию в |
|||
любой момент времени с учетом нелинейных свойств грунтов. |
|||||||
Произведем замену |
переменной t на 0-t-T в |
уравнениях |
|||||
(2.2.19) и (2.2.20) |
и |
после |
преобразований найдем выражение для |
||||
длительного модуля |
сдвига |
|
|
|
|||
6(~) |
(2. 2. 22) |
-44 -
3.ПРИКЛАДНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ НА ОСНОВЕ НАСЛЕДСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Вмеханике грунтов наибольшее распространение получили два направления для описания реологических процессов.
Суть первого направления состоит в том, что разрабатывается механическая модель, а затем записывается соответствующее уравне ние состояния. Это направление кратко описано в параграфе 1.1.
Второе направление основано на использовании теории наследс твенной ползучести и в настоящее время признано наиболее перспек тивным. Из этой теории можно получить эмпирические формулы,широко
используемые на практике как частные случаи.
В следующих параграфах рассмотрены количественные и качест венные закономерности ползучести второго направления.
3.1.Описание ограниченной ползучести. Экспоненциальные ядра ползучести
Подбор эмпирических формул для аппроксимации ползучести грунтов или осадок оснований или конкретных объектов является от ветственной задачей, поскольку чаще всего данные кратковремен ных испытаний необходимо экстраполировать на длительные отрезки времени.
В работе /3/ приведен детальный анализ результатов обработки наблюдений за осадками основания плотины Каховской ГЭС с помощью четырех аппроксимирующих формул. Выделим среди них две :
|
|
s(t) = s„*te |
|
(3.1.1) |
|
|
S(t) - S(®)(l-e-t/T) |
(3.1.2) |
|
здесь S-осадка для любого |
текущего времени |
t, |
a SH *,S («),&. и Т- |
|
некоторые параметры аппроксимации. |
|
|
||
В формулах (3.1.1) |
и |
(3.1.2) начальной осадкой So пренебре |
||
гают, поскольку данных |
о |
начальной осадке |
нет. Если в выражениях |
|
- 45 -
(3.1.1) и (3.1.2) учесть начальную осадку, то они примут следую щий вид :
S(t) |
- |
SO +SH t |
(3.1.3) |
S(t) |
= |
So+S(«) (l-e't/T) |
(3.1.4) |
Выражения (3.1.1)-(3.1.4) могут быть использованы для аппроксима ции только частных экспериментов и их нельзя обобщить для описа ния ползучести при различных постоянных и ступенчатых нагружени ях. Но успехи в описании частных случаев могут значительно уско рить, а затем и обосновать выбор обобщенного уравнения для описа ния "веера" деформаций (е) ползучести или релаксации напряжений
(б) во всем диапазоне действия напряжений или деформаций.
Одним из наиболее распространенных уравнений наследственной ползучести является /1,4/
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
ФСеа)] |
- .K6(t):i+jK(t-vH[6(v)]dv |
, |
(3.1.5) |
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
здесь |
ф ,«|» и |
К-некоторые функции, подлежащие определению |
из экспе |
|||||
риментов для |
конкретных |
грунтов. |
|
|
||||
|
Часто для первоначального изучения свойств грунтов пользуют |
|||||||
ся упрощенным вариантом |
(3.1.5), а именно: |
|
|
|||||
|
|
<p[e(t)]=e(t) |
*C6(t)]-6(t)/E |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
e ( t ) -----[6(t)+jK(t-v)6(v)dvj |
|
(3.1.6) |
|||
здесь |
E |
имеет |
смысл |
модуля деформации. |
|
|
||
|
Для |
того, |
чтобы воспользоваться уравнением |
(3.1.6),необходи |
||||
мо знать функцию ползучести K(t-v). Для ее нахождения имеются ме тодики, например, в /1/ и другие, но практически используются только несколько функций, от правильного выбора которых зависит достоверность получаемых результатов расчета. В качестве первого шага выбора подходящей функции ползучести (K(t-v) можно провести аппроксимацию эксперимента на реальном грунте одной из эмпиричес ких зависимостей (3.1.1)-(3.1.4). Если в результате расчетов наи
- 46 -
лучшее совпадение с опытом даст функция (3.1.1) или (3.1.3), то ядро K(t-v) следует выбрать в виде функции с особенностью, напри мер,
|
X |
(3.1.7) |
K(t-v) * A(l-X)/(t-v) |
||
здесь А и X - параметры ядра К. |
|
|
Экспоненциальному ядру |
ползучести |
|
K(t-v) - АХе |
-X(t-v) |
(3.1.8) |
|
||
следует отдать предпочтение |
при удовлетворительном |
совпадении |
экспериментальных и расчетных результатов по формулам |
(3.1.2) или |
|
(3.1.4) . Из уравнения (3.1.6) с ядром ползучести (3.1.8) при пос
тоянном |
напряжении 6 найдем |
|
|
|
||
|
|
e(t) |
|
-Xt |
|
|
|
|
« e0+Ai(l-e |
) |
|
||
где |
е0 |
“ начальная |
деформация, |
a |
Ai= б/ЕА. |
|
Этот |
результат с |
точностью |
до |
обозначений совпадает с формулой |
||
(3.1.4) , а при ео*0 с формулой |
(3.1.2). |
|
||||
|
Таким образом, |
из уравнения (3.1.6) всегда можно получить |
||||
практически приемлемые эмпирические зависимости для |
описания де |
|||||
формаций грунтов и оснований |
при малых напряжениях. |
На методике |
||||
определения констант здесь нет необходимости останавливаться, так как она достаточно полно описана в работах /3,8/.
Возможности уравнения (3.1.6) можно расширить, если вместо простых ядер ползучести (3.1.7) и (3.1.8), использовать их комби
нации или ввести дополнительные |
константы. Очевидно, |
что если по |
||||
являются новые |
константы, |
то |
нужны дополнительные |
опыты для их |
||
определения |
для |
конкретного |
грунта. |
|
|
|
Такие |
дополнительные эксперименты, как правило, |
отсутс |
||||
твуют, т.к. |
нет соответствующего оборудования для проведения |
но |
||||
вых опытов. |
Поэтому С.С.Вялов пишет "само решение задач резко ус |
|||||
ложняется, |
что ограничивает |
практическое использование этих |
ядер" |
|||
/3 /.
Поясним сказанное на анализе возможностей экспоненциального ядра (3.1.8). Оно является очень удобным при решении задач теории вязкоупругости на всех этапах, а именно: при описании свойств грунта и при решении краевой задачи для конкретного основания.
- 47 -
Качественно результаты расчета хорошо согласуются с опытными, |
но |
|||
количественные расхождения |
очень велики. Для лучшего совпадения |
|||
расчетов с опытными рекомендуют использовать многочленное |
ядро |
в |
||
виде суммы экспонент |
|
|
|
|
n |
-Xj(t-v) |
|
|
|
K(t-v) - Е А^е |
|
|
|
|
j-i |
|
|
|
|
Отсюда видно, что если ограничиться двумя членами |
|
|
||
|
-Xi(t-v) |
-\2(t-v) |
|
|
K(t-v) ■ Aie |
+ |
Аге |
(3.1.9) |
|
то число констант в ядре ползучести-четыре. Дальнейшее увеличение числа членов постепенно приближает рассчитанные результаты к экс периментальным, но значительно усложняет решение задач механики.
Ниже рассмотрим один из возможных подходов к решению задач, который позволяет использовать простые ядра, не усложняя матема тическую сторону задачи. Этот подход позволяет представлять ядра в виде двухчленных разностных и не разностных функций времени следующим образом :
|
|
K(t-v,v) - K(t-v)+K(v) |
(3.1.10) |
|
Например, |
если |
использовать |
функцию |
(3.1.8), то выражение |
(3.1.10) |
запишется |
|
|
|
|
|
-X(t-v) |
-Xv |
|
|
|
K(t-v,v) » АХе |
+ АХе |
(3.1.11) |
Отсюда видно, что несмотря на наличие второго члена, число конс тант в ядре не увеличилось. Однако следует показать, что для оп ределения их не нужно привлекать дополнительные физические опыты. Для этого рассмотрим основные уравнения для описания:
1)ползучести при постоянной нагрузке;
2)релаксации;
3)ползучести при ступенчатом нагружении.
1. |
Уравнение |
ползучести (3.1.6) при постоянном напряжении б |
с учетом функции (3.1.8) |
после преобразований будет иметь следую |
|
щий в ид : |
|
|
e(t) |
(3.1.12) |
- 48 -
Аналогичное выражение для деформации с двухчленным ядром ползучести (3.1.11) получится после интегрирования уравнения
e(t) |
6(t) |
1 |
р |
, |
(3.1.13) |
-------- + — |
|K(t-v,v)6(v)dv |
||||
|
Ео |
Ео |
J |
|
|
а именно: |
|
|
|
|
|
*<« ■ |
|
|
|
(3.1.14) |
|
|
|
|
|
||
Сопоставление |
и анализ деформаций (3.1.12) и |
(3.1.14) |
позволяет |
||
сделать заключение о том, что возможности уравнения (3.1.14) зна
чительно шире, |
чем у формулы (3.1.12). Например, при t-м» получим |
|||||||||||||
соответственно £(®)-е0 (1+А) |
и £(°°)«£о(1+2А). |
Здесь |
£0-начальная |
|||||||||||
деформация, |
равная 6/Е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если для |
описания |
свойств |
грунта |
используется |
нелинейная |
|||||||||
связь напряжений |
с деформациями, |
например, |
(2.2.12), |
то в уравне |
||||||||||
ние (3.1.5) |
нужно |
подставить |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
EQ 68 |
|
и |
4 (б)«б |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ф(е) « ------ е |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6S +EO £ |
|
|
|
|
|
|
Тогда вместо |
(3.1.6) |
получим следующее |
нелинейное уравнение |
|||||||||||
|
|
Ep6s |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с (t) = 6(t)+jK(t-v)6(v)dv |
|
|
(3.1.15) |
||||||||
|
6s+Eoe(t) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видно, что это уравнение является более общим, |
чем |
(3.1.6), т.к. |
||||||||||||
является |
нелинейным |
и содержит кроме |
Ео |
|
еще |
одну |
|
механическую |
||||||
константу 6S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
одночленном |
ядре |
ползучести |
|
(3.1.8) |
из |
уравнения |
|||||||
(3.1.15) |
при |
постоянном |
напряжении имеем |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Eo6s |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.16) |
|
|
|
|
|
------------- |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
||
6S +EQ £
Отсюда получаем формулу для вычисления деформации
- 49 -
e(t) - 6se[l+A(l-e Xtj]^Eo[6s-6[l+A(l-e Xt)]]}
При t-*» стабилизированная деформация может быть вычислена из следующего выражения
|
|
6s6(l+A) |
|
|
|
|
£(»)« -------------- |
|
|
|
|
C6S-6(1+A)] |
Ео |
|
Раскрывая неопределенность , при |
6S-*» находим |
координату |
||
асимптоты, которая равна е(°°)-ео(1+А), что совпадает в точности с |
||||
результатом, полученным из (3.1.12). |
|
|
||
2. |
Для |
получения формулы релаксации напряжений необходимо |
||
решить уравнение |
(3.1.6) относительно б (v). |
|
||
|
|
t |
|
|
|
6(t) |
- Eo[e(t)-jR(t-v)e(v)dvj. |
(3.1.17) |
|
|
|
о |
|
|
Будем рассматривать простую релаксацию, то есть такую, когда в начале опыта "мгновенно" задана деформация £, которая все время остается постоянной. Этой деформации будет соответствовать на чальное напряжение бо-Еое. Тогда вместо общего случая (3.1.17) будем иметь частный
t
6(t) = 60(l-jR(t-v)dv] (3.1.18)
О
Подставим сюда резольвенту ядра ползучести (3.1.8), которая из вестна и Имеет следующий в и д :
R(t-v) - A\expC-X(l+A)(t-v)3
В результате решения уравнения напряжение можно вычислить по фор муле
г |
1 t -X(l+A)t |
JJ |
(3.1.19) |
6(t) * 60 [l - — |
(l-e |
- 50 -
где б0 - начальное напряжение. Заметим, что при t-О, б(0)«бо , а при t-*»
6(00)
Получим еще одно уравнение релаксации напряжении. Для этого решим уравнение (3.1.13) относительно 6(v), подставим двухчленна резольвенту ядра (3.1.11)
|
|
|
-X(l+A)(t-v) |
-X(l+A)v |
|
|
|
||||
R(t-v,v) - АХе |
|
+АХе |
|
|
|
|
|
|
|||
и полагая, что e-const,найдем напряжение |
при релаксации |
|
|
||||||||
|
6(t) |
г |
2А |
/-X(l+A)t |
\-| |
|
(3.1.20) |
||||
|
-б0[1 - — |
[l-e |
|
|
JJ |
|
|||||
Отсюда при |
|
|
|
|
|
|
( |
2А \ |
|
|
|
t«0; б(0)«бо , а при t-*»,6(®)-60 1 ----- . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
1+А' |
|
|
|
Возможности уравнения(3.1.20) |
для учета релаксации гораздо |
||||||||||
шире, чем у выражения (3.1.19). Достаточно сказать, |
что |
при |
t-*» в |
||||||||
случае двухчленного |
ядра, |
можно получить |
релаксацию, равную |
нулю. |
|||||||
Например^ из 1-С2А/(1+А)1=0 |
следует, что |
А=1. Это |
позволяет на |
||||||||
ложить ограничения при поиске констант. |
|
|
|
|
|
|
|||||
В заключение по п.п. 1 и 2 заметим, |
что |
количественные |
и ка |
||||||||
чественные результаты вычислении по формуле |
(3.1.14) |
и |
(Зл.20), |
||||||||
гораздо шире, чем у выражении (3.1.12) и |
(3.1.19) при том же чис |
||||||||||
ле констант |
(А,Х). |
При этом число физических опытов |
и |
методика |
|||||||
определения |
А и X |
остаются |
одинаковыми. |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Ползучесть при ступенчатом нагружении для лилейного вари |
||||||||||
анта теории наследственности запишем для двух ступеней |
|
|
|||||||||
1 |
|^6(t)+jK(t-v,y)6(v)dv+jK(t-v,v)6(v)dv , |
|
(3.1, 2 1 ) |
||||||||
e(t) - — |
|
||||||||||
где ti - время приложения второй ступени нагрузки.
При одночленном ядре ползучести в виде (3.1.8) деформация,