книги / Методы расчета ресурса работы элементов машин

В результате всех этих явлений происходит формирование закона распределения f U,t , который определяет вероятность выхода параметра U за границу Umax, т.е. вероятность отказа

Следует отметить, что в общем случае значение Umax также может иметь рассеивание, если оно оценивает диапазон требований потребителя к предельным значениям показателей машины.

Данная схема в общем виде описывает процесс возникновения отказа и при частных значениях входящих параметров может отражать те или иные случаи, характерные для определенных условий работы и конструктивных особенностей изделия.

Если процесс изменения параметра начинается сразу (Тв = 0), то получаем типичную схему возникновения постепенного параметрического отказа.

Если при достижении Umax будет резкое возрастание U t , то,

как правило, возникнет отказ функционирования.

Если в процессе формирования отказа основную роль играет возникновение (зарождение) процесса, т.е. функция f Tв , а затем

процесс протекает с большой интенсивностью U t , то получим модель внезапного отказа.

Рассеивание начальных параметров изделия f a следует учи-

тывать при рассмотрении определенной совокупности изделий, например всех машин данной модели, выпускаемых заводом. Если рассматривается конкретное изделие, то значение a превращается

внеслучайную величину, так как характеризует начальные параметры данного образца.

Если же учитывать рассеивание начальных параметров машины

врезультате ее работы при различных режимах, то a будет случайной величиной и для данного экземпляра изделия.

11

1.5. Модель формирования постепенного отказа данного изделия

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда изменение параметра изделия U подчиняется линейному закону:

В данном случае k – скорость протекания процесса (скорость изнашивания , или скорость изменения параметра х ), которая за-

висит, как правило, от большого числа случайных факторов: нагрузки, скорости, температуры, условий эксплуатации и т.п., k . Вви-

ду этого наиболее характерен случай, когда она подчинена нормальному закону, т.е.

значение (математическое ожидание) скорости процесса или изменения выходного параметра; – среднее квадратическое отклоне-

ние скорости процесса; – коэффициент вариации (безразмерная

величина), .

ср

Предельно допустимое значение параметров Umax установлено из условия правильности функционирования изделия. При U Umax

наступает предельное состояние, которое и определяет срок службы (наработку) изделия до отказа t T . Срок службы Т является функцией случайного аргумента , т.е.

Средний срок службы изделия

12

Рис. 3. Схема формирования постепенного отказа данного изделия

Подставляем эти значения и делаем преобразования:

13

Эта формула удобна тем, что плотность распределения вероятностей является функцией всего одного безразмерного параметра – коэффициента вариации .

рична, ее максимум (мода Тмод) находится левее точки с координатой t Tср ( 1) .

Из условия dfd 0 получим значение аргумента, при кото-

ром функция достигает максимума:

Для определения вероятности отказа F(T ) необходимо проинтегрировать функцию плотности распределения вероятностей:

14

ся к функции Лапласа и, учитывая, что вероятность безотказной работы P(T ) 1 F(T ) , получим

параметры Umax , ср, , которые являются исходными данными при решении поставленной задачи:

1.6. Модель формирования постепенного отказа с учетом рассеивания начальных параметров

Более полная схема потери изделием работоспособности учитывает и начальное рассеивание параметра изделия:

где a – начальный параметр изделия (например, точность изготовления детали), который также является случайной величиной и подчиняется некоторому закону распределения. Срок службы является функцией двух независимых случайных аргументов a и :

Если случайные аргументы a и распределены по нормально-

му закону, то и параметр U для каждого значения t T будет распределен по такому же закону с параметрами (рис. 4):

– математическое ожидание

где a0 – среднее значение начального параметра и a – среднее квадратическое отклонение случайного параметра a.

Рис. 4. Схема формирования отказа при рассеивании начальных параметров изделия

16

Получим

1.7. Примеры расчета ресурса и вероятности безотказной работы

Для изделий с высокими требованиями к надежности обычно задается P(T ) и необходимо подсчитать ресурс Т, обеспечивающий

данный уровень безотказности. В этом случае в формуле искомым является значение Т, которое входит в аргумент функции Лапласа. Аргумент функции Лапласа будет являться квантилем нормального распределения Хр, т.е. тем его значением, которое соответствует данной вероятности P(T ) .

Из формулы (20), приравняв к Хр значение аргумента функции Ф, для определения Т получим квадратное уравнение

Для частного случая при P(T ) 0,5 квантиль Xp 0 , получим

ср ср

Это средний срок службы изделия.

При значениях члена 2T 2 , значительно меньших, чем 2a (что

имеет место при значительных рассеиваниях начальных параметров), принимая в формуле T 0 , получим

Полученные зависимости позволяют при знании физических законов изнашивания или других законов старения с учетом воз-

17

можных вариаций исходных показателей работоспособности и условий эксплуатации прогнозировать потерю работоспособности изделия и определять основные показатели надежности, так как в структуру формулы входят исходные данные, не зависящие от времени.

Рассмотрим пример расчета показателей надежности [13] при износе изделия.

Оценка скорости протекания процесса повреждения детали во времени dUdt является необходимым этапом при решении задач

надежности.

Простейшим будет случай, когда не изменяется во времени,

а ее значение зависит лишь от режима и условий работы материала. Тогда будет иметь место стационарный процесс (по отношению к ), параметры которого можно оценить, зная законы распределе-

ния случайных аргументов и используя соответствующие теоремы теории вероятностей.

Износ зависит от давления на поверхности трения р (МПа) и скорости относительного скольжения сопряженных тел v (м/с), так как это основные параметры, связанные с конструкцией и кинематикой сопряжений.

Анализ большого числа исследований износа различных материалов в условиях граничного трения и трения без смазки показывает, что в общем случае скорость изнашивания (мкм/ч) может быть

выражена зависимостью

где m 0,5...3,0 и для большинства пар трения n 1 ; k – коэффициент износа, характеризующийматериалпары иусловияизнашивания.

Для абразивного и ряда других видов изнашивания m n 1 ,

Пусть из условий эксплуатации известно, что спектры нагрузок подчиняются нормальным законам распределения с параметрами –

18

математическим ожиданием рср и vср и среднеквадратическим отклонением p и v . Известно также среднее значение kср. Если счи-

тать, что факторы, определяющие значение коэффициента k (смазка, загрязнение поверхности абразивом), существенно не изменяются, а на процесс изнашивания влияет лишь изменение нагрузок и скоростей, то можно определить параметры процесса изнашивания, пользуясь теоремами для случайных аргументов.

Математическое ожидание процесса

Дисперсия процесса изнашивания D 2 может быть подсчи-

тана на основании теоремы о дисперсии независимых нецентрированных случайных величин:

Пусть, например, из анализа спектров нагрузок, которые могут возникать при эксплуатации, известно, что они подчиняются нормальному закону распределения и в пределах шестисигмовой зоны имеют колебания

p 16 4,5 , т.е. pср 16 МПа и p 1,5 МПа; v 2 0,6 , т.е. vср 2 м/с и v 0,2 м/с.

Кроме того, из испытания образцов при средних режимах эксплуатации известно, что за 100 ч работы износ составил 2 мкм, т.е.

ср 2 10 2 мкм/ч.

Из формулы можно определить среднее значение коэффициента износа k, которое для принятых значений будет kср 6,25 10 4 .

Среднее квадратическое отклонение, характеризующее дисперсию процесса изнашивания, 2,77 10 3 мкм/ч.

19

Максимально допустимое значение износа Umax 10 мкм и определено по отношению к номинальному размеру a0, т.е. при расчете следует принять a0 0 , a 1 мкм.

Требуется рассчитать ресурс изнашивающейся детали при заданной вероятности безотказной работы P t T для ее значений

в пределах от 0,5 до 0,9999.

Учитывая, что для рассматриваемого случая член 2a на два порядка выше, чем 2T 2 , воспользуемся ранее рассматриваемой формулой (23) и получим

T 500 1 0,1Xp .

Однако утверждение, что член 2T 2 на два порядка меньше,

чем 2a , справедливо только для малых наработок, что само по себе

интереса не представляет.

Например, если принять T 300 ч, то

2T 2 2,77 10 3 2 9 104 7,67 10 6 9 104 69,03 10 2 0,69;

2a 12 1,

т.е. члены соизмеримы и пренебрегать величиной 2T 2 нельзя. Если T 400 ч, то член 2T 2 оказывается даже больше 2a .

2T 2 2,77 10 3 2 16 104 7,67 10 6 16 104 122,72 10 2 1,22.

Рассмотрим несколько примеров расчета надежности в период постепенных отказов.

Пример 1 [15]

Оценить вероятность безотказной работы P t в течение

t 1,5 104 ч изнашиваемого подвижного сопряжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному распределению с параметрами tср 4 104 ч, t 104 ч.

20