книги / Прикладная теория систем массового обслуживания

Константа С определяется условием нормировки:

Nт-1 00

£Z Jn(x,fc,m)dx = l, т*1 к=О О

и имеет вид

здесь а определяется равенством (4.15).

Распределение (4.16) решает задачу исследования математической модели СМО с буфером бесконечной длины и позволяет находить основ­ ные вероятностные характеристики. Рассмотрим нахождение некоторых из них:

1. Распределение числа свободных приборов (обслуживающих)

3. Асимптотическое распределение числа заявок в очереди (экспо­ ненциальное распределение) с плотностью (4.15) имеет смысл среднего

значения. Поэтому среднее число заявок в буфере М = —.

е

4. Средняя величина задержки (время очереди) /оч в буфере опреде­ ляется по формуле Литтла:

5. вом (4.13).

Аналогично можно определить и другие вероятностные характери­ стики СМО с буфером.

Таким образом, выше рассмотрена и построена векторная СМО с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди. Получены явные выражения для расчета основных вероятностных харак­ теристик СМО с буфером.

4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием

Пример 4.1. Показать, что для любого т > 0 и любых параметров (л, Ху ц) СМО с ожиданием имеет большую пропускную способность, чем СМО с отказами и с теми же параметрами (и, Х9р).

Решение

Вероятность обслуживания заявки для СМО с отказами

так как знаменатель первой дроби в квадратной скобке меньше знаменате­ ля второй дроби.

Рассмотрим общий случай, когда %Ф 1 :

Разность будет положительной, если положительным является чис­ литель последней формулы; покажем, что он положительный:

R(n,a) + Р(п,а)х-— ^ — - R(n,а)хт= ^-[Л(и,а)(1 - % ) - %Р(п,а)] =

Отношение — — положительно при любом значении %. Покажем, 1-Х

что разность, стоящая в квадратных скобках, тоже положительна:

R(n, а) - %R(n - 1,а) = Л(«,а) - - R (n - 1,а) = р(0,а) + £/>(*, а / 1 - -1 > О,

и *=1 V п )

т.к. каждый член суммы неотрицателен (к < ri).

Таким образом, показали, что при одинаковых параметрах (п, А., р) система с ожиданием имеет большую пропускную способность, чем сис­ тема с отказами. Это достигается за счет увеличения времени нахождения заявки в системе, т.е. за счет того, что заявка будет ожидать в очереди.

Пример 4.2. Рассматривается СМО с ожиданием и частичной взаи­ мопомощью, когда каналы могут помогать друг другу, объединяясь в группы, наибольший состав которых равен 1<п. При занятии всех каналов очередная пришедшая заявка не получает отказ, а может стать в очередь, число мест в которой равно т. Составить размеченный граф состояний системы и найти основные характеристики работы такой системы.

Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Граф состояний СМО с частичной взаимопомощью и конечной очередью

На этом графе величина h равна целой части отношения у . Этот

граф с точностью до обозначений совпадает с графом состояний СМО с частичной взаимопомощью (глава 3) или системы массового обслуживания с ожиданием (§ 4.1). Следовательно,

R(h,a,) + P(h,a,)x i - x

1-Х

P r t P h Q= h,h+ 1, ...п + т),

Для краткости рассмотрим только случай %* 1. Вероятность обслу­ живания

^обс = 1 - Р»+т = 1 - PhX"~h*m-

Среднее число занятых каналов К =аРобс. Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок S - I - г .

г

Среднее время ожидания в очереди /оч = —, среднее время пребыва- А,

. I ния заявки в системе t = —.

X

5. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Эта часть учебного пособия содержит разделы, охватывающие большой круг вопросов, содержащих ряд важных приложений теории мас­ сового обслуживания к различным областям практической деятельности. Многие реальные процессы могут рассматриваться как представленные в данной главе системы массового обслуживания. За последние годы теории СМО уделялось большое внимание и были получены важные результаты. Вследствие того, что прикладное значение теории СМО возросло, некото­ рые из новых результатов включены в главу 5.

5.1.Система массового обслуживания с ожиданием

иприоритетом в обслуживании

Зачастую при рассмотрении СМО приходится иметь дело с заявками определенного типа, которые должны обслуживаться в первую очередь. Примером такой СМО является аэродром с одной взлетно-посадочной по­ лосой (ВПП). Самолетам, идущим на посадку, ВПП предоставляется в первую очередь, т.е. они пользуются приоритетом в обслуживании по сравнению с самолетами, которые используют ВПП для взлета. Аналогич­ ную картину можно наблюдать на автозаправочной станции (АЗС), где обычно рейсовые автобусы обслуживаются в первую очередь.

В системах массового обслуживания с приоритетом могут быть раз­ личные варианты дисциплины обслуживания.

Системами с абсолютным приоритетом называются такие системы, в которых заявка, обладающая приоритетом, немедленно принимается к об­ служиванию каналом, занятым обслуживанием заявки без приоритета в обслуживании. Например, если на АЗС прибывает рейсовый автобус, а в это время заправляется легковая машина, то ее заправка прекращается и начинается заправка автобуса. После того, как заявка, обладающая при­ оритетом, обслужена, а других заявок, обладающих приоритетом, нет, во­ зобновляется прерванное обслуживание заявки, не обладающей приорите­ том. Здесь возможны различные варианты: заявка, обслуживание которой было прервано, начинает обслуживаться заново; прерванное обслуживание заявки начинается с того места, где оно было прервано; заявка, обслужива­ ние которой было прервано, вообще теряется.

Системами с относительным приоритетом называются такие систе­ мы, в которых заявка, не обладая приоритетом, обслуживается до конца, после чего принимаются к обслуживанию заявки, обладающие приорите­ том (если такие имеются).

Из всех возможных СМО с приоритетом здесь рассмотрим только одну, самую простую: одноканальную СМО с абсолютным приоритетом.

Состояние системы будем связывать с числом заявок /, обладающих приоритетом, и числом заявоку, не обладающих приоритетом, находящих­ ся в данный момент t в системе. Рассмотрим различные состояния систе­ мы: х0,о ~ в системе нет никаких заявок; x0tj - в системе имеется у заявок, не обладающих приоритетом, из этиху заявок одна обслуживается, ay - 1 ждут очереди; xit0- в системе имеется i заявок, обладающих приоритетом, и нет заявок, не обладающих приоритетом, из этих i заявок одна обслужи­ вается, а остальные i - 1 ожидают в очереди; Ху - в системе имеется / зая­ вок, обладающих приоритетом, иу заявок, не обладающих приоритетом, из / заявок, обладающих приоритетом, одна заявка обслуживается, а / - 1 ожидают в очереди; до тех пор, пока все заявки, обладающие приоритетом, не будут обслужены, заявки, не обладающие приоритетом, не обслужива­ ются.

Система уравнений имеет следующий вид:

^ 7 ^ = -(*1 + W . o ( ' ) + ^ Л о (') + Ц2*0,.(') > at

у * 0; в начальный момент система свободна).

Решение системы уравнений для любого момента времени t удовле­ творяет условию нормировки:

00ОО

££ Л,у ( 0 = 1.

/=0 у=0

Введем обозначения: (Xj = /щ ; а 2 = Я,2 /ц 2.

Можно доказать, что стационарный режим работы системы сущест­ вует только в случае, когда ai + а 2 < 1. Так как величины ai и а 2 поло­ жительны, то при этом также должны выполняться условия ai < 1, a 2 < 1.

Найдем стационарный режим работы системы с приоритетами, для чего нужно в уравнениях (5.1) принять все производные равными нулю.

Допустим, что удалось решить полученную систему алгебраических уравнений и вероятности Ри (/ = 0, 1, 2, ...;j = 0, 1,2, ...) найдены. Тогда

вероятность того, что в системе будет ровно i заявок, обладающих приоритетом (безотносительно к тому, сколько имеется там заявок, не об­ ладающих приоритетом), можно найти по следующей формуле:

У - о

Вероятность Ру.2)того, что в системе имеется ровно j заявок, не об­

ладающих приоритетом (безотносительно к тому, сколько имеется там зая­ вок, обладающих приоритетом), запишем в виде

pj 2) = z pi j -

/=0

Так как рассматриваемая система является системой с абсолютным приоритетом, то рассмотрение вопросов обслуживания заявок, обладаю­ щих приоритетом, можно проводить без учета наличия заявок, не обла­ дающих приоритетом. Одноканальная система без ограничения мест в оче­ реди была рассмотрена в главе 4. Следовательно,

Для нахождения вероятностей PtJ применим метод производящих функций [9] и введем в рассмотрение производящую функцию вида

= £ I pi j x ‘y J

/=07=0

Отметим некоторые свойства этой производящей функции:

1 . t p ( U ) = î î ^ 7 = l .

/=07=0

2. ф(о,о)=ё | ; р, .о о =/>о,0-

/=07=0

Среднее число заявок, не обладающих приоритетом и находящихся в системе, найдем так:

После этих предварительных замечаний найдем производящую функцию ф(х*у), для чего в уравнениях (5.1) примем все производные рав­ ными нулю. Далее первое уравнение системы (5.1) умножим на х°у° = 1, второе уравнение - на хгу° = х\ третье уравнение - на x°yJ = y J\ четвертое уравнение - на xly J и все эти уравнения сложим, перебрав все возможные значения / и / Проделав это и проведя некоторые простые преобразования, получим

Двойные суммы, входящие в выражение (5.2), могут быть выражены через функции ф(х,у). Проведя соответствующие преобразования выраже­ ния (5.2), получим следующую формулу:

Это дает возможность (после некоторых довольно громоздких пре­ образований, которые опускаем) получить следующее выражение для про­ изводящей функции:

ф (х ,у ) = -----------— g O O - a ^ )

(1- ajx, - a 2y)(l - a ^ x ) ’

где a = ct]+ a 2.

Обратим внимание на то, что величина х\ зависит от переменной у. Приу = 1 xi= 1.

Для нахождения отдельных вероятностей состояний можно восполь­ зоваться следующими формулами:

^о,о = Ф(0>0) = 1 - a , di+J ,

?iJ Яj\

x=y=0