книги / Прикладная теория систем массового обслуживания

Для неординарного потока, т.е. для стационарного неординарного потока без последействия, следует различать поток вызывающих моментов и поток заявок. Поток вызывающих моментов характеризуется вероятно­ стью появления точно i вызывающих моментов в промежутке времени /. Эта вероятность Pt{t) определяется формулой Пуассона (2.7).

В каждый вызывающий момент поступает / (1 < / < г) заявок. Вели­ чина / называется характеристикой неординарного потока, может быть по­ стоянной и переменной. Если / = const, то с вероятностью P,{t) суммарное число заявок, поступающих за отрезок времени /, составляет к = /,.

Для неординарного пуассоновского потока с переменной величиной /, в котором в каждый вызывающий момент с вероятностью со/ поступает /

г

заявок (Х©/=1), также получена формула, определяющая вероятность /=1

Pilt) поступления точно к заявок за промежуток времени t (см. работу [6]). Параметр такого потока для каждого значения / равен Ахо,. Отсюда общий

г

параметр для потока ( £ Ахо/ = X) такой же, как и для потока вызывающих /=i

моментов, т.е. для простейшего потока. Интенсивность р неординарного пуассоновского потока, как и любого стационарного неординарного пото­ ка, больше его параметра А,. Действительно,

р = £ А./оо7 = А^/со/ > X . /=i /=i

2.6. Потоки с простым последействием

Основной характеристикой потока с простым последействием явля­ ется зависимость параметра потока от состояния системы массового об­ служивания в любой момент времени t. Под параметром потока в некото­ ром состоянии S(t) будем понимать предел

где 7ii(f, t + т/S(t)) - вероятность поступления за промежуток [t, t + г) одной заявки и более, если в момент t система находилась в состоянии S(t). Это определение позволяет сформулировать понятие потока с простым после­ действием. Под потоком с простым последействием понимается ординар­ ный поток, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр потока в состоянии S(t) (2.15), зависящий только от состояния S(t) системы в момент / и не зависящий от процесса обслуживания заявок до момента t.

где Pi - вероятность того, что в системе занято / источников. Заметим, что обслуживающей примитивный поток системе не требуется более п обслу­ живающий устройств, т.е. занятый источник не может производить заявки.

Можно показать, что функция распределения вероятности длитель­ ности свободного состояния источника (промежуток времени между мо­ ментом окончания одного занятия и моментом поступления новой заявки)

F(x) =PCB(X < x) =l - e ”"

Таким образом, промежуток времени между моментами окончания одного занятия и поступления от источника новой заявки распределен по показательному закону. Следовательно, поток заявок от свободного источ­ ника является простейшим.

Поток с простым последействием является более общим по сравне­ нию с простейшим потоком заявок. Простейший поток можно считать ча­ стным случаем потока с простым последействием, в том числе симметрич­ ного и примитивного потоков. С увеличением числа источников п и уменьшением параметра а последействие потока уменьшается. В предель­ ном случае при п -> оо и а -> 0 так, что па есть конечная величина и / при­ нимает ограниченные значения, параметр потока X = па не зависит от со­ стояния системы, т.е. модель примитивного потока не переходит в модель простейшего потока заявок.

2.6.2. Поток с повторными заявками

Система, в которую поступает поток заявок, обслуживает не все по­ ступившие заявки. Часть из них не обслуживается (теряется) по ряду при­ чин. Например, телефонными сетями часть заявок не обслуживается по причине занятости или неответа вызываемого абонента, ошибок вызы­ вающего абонента в наборе номера, несоединения абонента коммутацион­ ной системой по техническим причинам. Все источники необслуженных заявок или их часть осуществляют повторные заявки.

Поток с повторными заявками состоит из первичных и повторных заявок. Поскольку параметр потока повторных заявок зависит от состояния системы, то и поток с повторными заявками относится к классу потоков с простым последействием.

Параметр потока повторных заявок можно определить как произве­ дение числа источников повторных заявок j на параметр одного источника р. В качестве модели потока первичных заявок принимается простейший с параметром X или примитивный X, поток. Параметр суммарного потока ра­ вен сумме параметров потоков первичных и повторных заявок. Для про­ стейшего и примитивного потоков он соответственно составляет

ь +УР. = (и - i - j) а +70.

2.7. Поток с ограниченным поступлением. Поток Пальма

Под потоком с ограниченным последействием понимается поток заявок, у которого последовательность промежутков времени между заяв­ ками Z], z2, представляет последовательность взаимно независимых слу­ чайных величин, имеющих любые функции распределения. Такой поток заявок описывается последовательностью функций распределения проме­ жутков между заявками:

FAz) = P(Zk< z\k = 1, 2,...

Как следует из приведенного определения потока с ограниченным последействием, свойство ограниченности последействия заключается в независимости промежутков времени между заявками. Введенное ранее понятие «отсутствие последействия» потока означает независимость коли­ чества заявок, поступающих в непересекающиеся отрезки времени. Таким образом, свойства «ограниченность последействия» и «отсутствие после­ действия» являются различными характеристиками потока.

Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуррентный поток, который характеризуется одинаково распределенны­ ми промежутками времени между заявками:

F,(z)=F 2(z)= ...=F(z).

Некоторым обобщением рекуррентного потока является рекуррент­ ный поток с запаздыванием - поток с ограниченным последействием, для которого

F2(Z) = F3(z) = ... = F(z), Fx(z) Ф F(z).

Стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием называется потоком Пальма. Для потока Пальма, как и для любого другого стационарного ординарного потока, р = X = 1/M(z). Распределение проме­ жутков времени между заявками для потока Пальма задается следующими соотношениями:

F, (z) = F(Z, < z) = XJco0(«)d«,

Fk(z) = P(Zk < z) = 1 - cû0(z), к = 2,3,...

где CD0(Z) - вероятность отсутствия заявок в промежуток времени дли­ ной Z.

Весьма важной является следующая теорема Пальма: если на систе­ му обслуживания с потерями и с показательным распределением длитель­ ности обслуживания поступают заявки, образующие поток Пальма, то по­

ток необслуженных заявок также является потоком Пальма. В частности, если поток поступающих заявок будет простейшим, то поток потерянных заявок будет потоком Пальма. Это справедливо и для потоков, теряемых каждой линией полнодоступного пучка, работающего в режиме упорядо­ ченного искания: если на первую линию поступает поток Пальма, или про­ стейший поток заявок, то поток заявок, потерянных любым количеством первых линий пучка, будет потоком Пальма.

Простейший поток является частным случаем потока Пальма, у ко­ торого все промежутки времени между заявками, включая первый, распре­ делены по показательному закону.

Рекуррентный поток без запаздывания является ординарным пото­ ком. Рекуррентные потоки с запаздыванием могут быть и неординарными. Доказано, что стационарный рекуррентный поток является простейшим.

2.8. Просеивание потоков. Потоки Эрланга

Пусть имеется поток заявок, для которого гь t2, есть моменты по­ ступления заявок. Выберем из этого потока часть заявок, применив сле­ дующую операцию: заявка, поступающая в момент tk (k= 1, 2, ...), с веро­ ятностью р остается в новом потоке и с вероятностью (1- р) теряется. Но­ вый поток заявок называется просеянным. Таким образом, просеянный по­ ток образуется из заданного потока, в котором случайное число заявок те­ ряется, следующая заявка остается (просеивается), затем снова случайное число заявок, имеющих тот же закон распределения, теряется, следующая заявка заданного потока остается и т.д. Операция, с помощью которой по­ лучен просеянный поток, называется рекуррентной операцией просеива­ ния. Поток, полученный из рекуррентного потока с помощью рекуррент­ ной операции просеивания, также является рекуррентным.

Если основной поток - простейший с параметром X и каждая заявка этого потока просеивается с вероятностью р и теряется с вероятностью (1 - р), то просеянный поток будет также простейшим с параметром Хр. Из этого следует весьма важный для практики вывод: если поступающий на систему обслуживания простейший поток с параметром X разделяется на h направлений и вероятность того, что вызов входящего потока поступает на / - е (/ = 1, 2, ..., h) направление, равна р„ то поток z-ro направления явля­ ется также простейшим с параметром Хр,.

Используем отличную от рекуррентной операцию просеивания, при которой точно т заявок потока теряются, [т + 1)-я заявка просеивается, за­ тем снова точно т заявок теряются, (т + 1)-я заявка просеивается и т.д. В результате такой операции просеивании простейшего потока образуется так называемый поток Эрланга т-го порядка. Если в простейшем потоке сохранить (просеять) каждую третью заявку, то образуется поток Эрланга

2-го порядка, каждую вторую заявку - поток Эрланга 1-го порядка. Естест­ венно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулево­ го порядка.

В потоках Эрланга любого порядка промежутки времени между за­ явками независимы и распределены по одному и тому же закону, так как эти промежутки представляют сумму одинакового числа промежутков простейшего потока. В связи с этим потоки Эрланга являются рекуррент­ ными.

Математическое ожидание M(zm)f дисперсия D(zm) и среднее квадра­ тическое отклонение a(zm) промежутка времени между заявками в потоке Эрланга т-то порядка можно записать следующим образом:

а параметр этого потока

Из (2.17) и (2.18) следует, что с увеличение порядка Эрланга увели­ чивается математическое ожидание и дисперсия промежутка времени ме­ жду заявками и одновременно уменьшается параметр потока. Потоки Эр­ ланга /и-го порядка при разных m создают потоки с различной степенью случайности: от простейшего (т = 0) до детерминированного (т = оо).

2.9. Неоднородный входящий поток

Как уже отмечалось, в неоднородном потоке каждая заявка имеет две

иболее характеристики. Рассмотрим модели неоднородных потоков, когда

вкачестве второй характеристики используются требования входящей за­ явки на число обслуживающих приборов.

Входной поток представим как композицию пуассоновских одно­ родных потоков, каждый из которых требует для своего обслуживания оп­ ределенное (фиксированное) число обслуживающих приборов. При этом число однородных пуассоновских потоков L = qmaxqmin + 1, а интенсив­ ность каждого /77-го потока (m е L) Хт= Р(т) Xz, где qmax и qmin - макси­ мальное и минимальное значение обслуживающих приборов, требуемых заявками; Р(т) - вероятность запроса т обслуживающих приборов (для общности получаемых результатов распределение запросов будем пола­ гать произвольным, а в качестве примера рассмотрим равномерное распре-

деление,т.е.Р(т) = Р(к) = l%m«-?min+ 1),к,т е L[\ 1]).

Рассмотрим предлагаемую модель. Пусть к - количество потоков заявок, а п - количество источников, которые являются неоднородными, причем /-Й источник участвует в образовании потоков (i е 1,/7 ). Вход­ ной поток Х%может быть описан следующим образом (табл. 2.1).

Некоторые Х0 = 0, но в строке / должно быть М, ненулевых компо­ нентов. Модель такого типа называется мультивекторной [11].

Ниже приводится матричная [12] модель неоднородного входного потока с более наглядной формой задания, эквивалентная мультивектор­ ной модели. Рассмотрим особенности матричной модели неоднородного потока заявок. Этот поток формируется п неодинаковыми и неоднородны­ ми источниками, каждый из которых с интенсивностью XJt генерирует /-за­ явки, 1 < i < к. Неоднородный поток матричной модели характеризуется

Здесь при 1 <j < п, 1 < / < к, Xjt - интенсивность потока /-заявок от j -го источника.

Если в матричной модели п = N\ + N2+ + Л/*, а в мультивекторной модели строки с номерами 1 ... N\ одинаковы и совпадают с вектором Х{У

строки с номерами 1 ...Л/г одинаковы и совпадают с вектором Х2, и т.д., то матричная модель порождает мультивекторную модель неоднородного по­ тока. Верно и обратное утверждение. Если в мультивекторной модели к = = л, а все Nj= 1, то мультивекторная модель порождает матричную, т.е. эти две модели эквивалентны.

Рассмотренные модели неоднородных входных потоков обеспечи­ вают описание реальных процессов в аналого-цифровых преобразователях (АЦП), системах телекоммуникаций, информационно-измерительных сис­ темах (ИИС), автоматических системах управления технологическими процессами (АСУТП), автоматических системах научных исследований (АСНИ), системах автоматизации испытаний (САИ). Мультивекторные и

матричные модели представляют обобщенное описание неоднородных по­ токов, инвариантное к областям применения. Очевидное достоинство мат­ ричной модели - это простота ее описания и исследования. А достоинст­ вом мультивекторной модели является явное использование ею специфики матрицы, когда в ней встречается много совпадающих строк, что сущест­ венно понижает размерность множества состояний соответствующих СМО.

2.10. Примеры решения задач

Пример 2.1. Моменты прибытия вагонов метро на остановку обра­ зуют поток, приближенно являющийся потоком Пальма, причем интервал Т между поездами подчинен закону равномерной плотности с характери­ стиками mt= 2 мин, ст, = 0,05 мин. Определить вероятность Р того, что вре­ мя ожидания пассажиром очередного поезда не привысит 1,5 мин, если пассажир приходит на станцию, не зная расписания движения поездов.

Решение

Плотность распределения времени ожидания 0 определяется сле­ дующей формулой:

p=i<p(p)dp=— ia -F (p ))d p ,

0 т!й

где F(p) - функция распределения случайной величины Г, которая имеет вид

Величины а и b находим из условия

Ь+ а- = т, = 2,

2

Ъ-а =а, = 0,05, 2л/3

откуда а - 1,91 ; b - 2,09. Следовательно,

P = i 'f ( l - F ( 0 ) d r = 0,75.

2 о

Пример 2*2. Производится воздушная разведка подвижной цели. Ус­ тановлено, что время пребывания цели на одном месте подчинено сле­ дующему показательному закону:

где величины а и а положительны, a 1(х) —известная единичная функция. Кривая распределения имеет вид, показанный на рис. 2.1. Удар по

разведанной цели может быть произведен лишь по истечении времени t\ после обнаружения цели разведчиком. Определить вероятность того, что к моменту нанесения удара t\ цель останется на месте ее обнаружения раз­ ведчиком, если противник не имеет сведений о действиях разведчика.

Решение

Условия задачи не изменятся, если считать, что цель на каждом мес­ те находится случайное время Г, имеющее плотность распределения fit). Таким образом, можно рассматривать некоторый стационарный поток Пальма с интервалом Т между соседними событиями, который условно можно назвать потоком уходов цели с места ее обнаружения.

Обнаружение цели можно рассматривать как падение случайной точки S на некоторый интервал этого потока. Следовательно, время пребы­ вания цели на месте ее обнаружения v будет иметь плотность распределе­ ния

<p(v)=

m,

1

где т ; = а + —.

а

F(v) = \f(t)à t = 1 - e"o(v- û)1(v- a).

0

Искомую вероятность найдем из условия