книги / Прикладная теория систем массового обслуживания

Любая конечная группа величин *пя имеет совместное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и с коэф­ фициентами корреляции для любой пары г|л и r|w, равными г^т'п\ так что свойство стационарности имеет здесь место.

Найдем

Л =

Случайные величины, стоящие в этих равенствах справа, независи­ мы и нормально распределены с параметрами (0, 1). Следовательно, ус­ ловная плотность распределения

Ли г Ля-1 _ £

( l - r 2)1/2 " Çn

при условии, что величины £ь £„_i приняли некоторые определенные значения, не зависит от этих значений и равна нормальной плотности ф(дс).

ление зависит только от непосредственно предшествующей величины г|„ 1

и не зависит от r|i, t|n_2*Случайный процесс, для которого зависимость от прошлого носит такой характер, называется марковским.

Приведенные примеры иллюстрируют применение теоремы Колмо­ горова при доказательстве существования случайных процессов с конеч­ номерными распределениями.

2.СЛУЧАЙНЫЕ ПОТОКИ СООБЩЕНИЙ

2.1.Основные понятия

Входящим потоком (потоком событий) называется последователь­ ность событий, наступающих через какие-либо интервалы или в какие-то моменты времени. В теории массового обслуживания под входящим пото­ ком принято понимать последовательность вызовов, поступающих от або­ нентов или групп абонентов, поток неисправностей отдельных устройств, поток информации, поступающий на обработку в ЭВМ, поток заявок на измерения в измерительных системах и т.п.

Следует различать детерминированный и случайный потоки. Детер­ минированный входящий поток - последовательность событий (вызовов, заявок), в которой вызовы поступают в определенные, строго фиксирован­ ные, неслучайные промежутки времени. Случайный поток заявок отлича­ ется от детерминированного тем и только тем, что моменты поступления заявок и промежутки времени между поступлениями заявок не строго фик­ сированы, а случайны. Детерминированные потоки являются частным слу­ чаем случайных потоков и на практике встречаются редко. Примерами их могут служить: поток сеансов связи с искусственным спутником Земли, поток поступления деталей ритмично работающего предприятия, поток заявок на измерение при циклической работе коммутатора. Строго говоря, даже в таких потоках имеют место случайности. В связи с этим в теории систем массового обслуживания основное внимание уделяется рассмотре­ нию случайных входящих потоков.

Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать пропис­ ными (большими) буквами, а их возможные значения - соответствующими строчными (малыми) буквами.

Входящий поток может быть определен тремя эквивалентными по­ следовательностями: последовательностью вызывающих моментов t\, /2»

..., tn\ последовательностью промежутков времени z]9z2, ..., zn\ последова­ тельностью чисел к\, къ ..., кп, определяющих количество вызовов, посту­ пающих в течение заданных отрезков времени [ta fi), [ta h), ..., [ta tn). При этом под вызывающим моментом понимается момент одновременного по­ ступления одного, двух и более вызовов; для вызывающих моментов все­ гда Z/> 0, если /,■> 1, в то время как для момента поступления вызова /, >

> tj. 1 H Z ,-> 0.

Определения случайного потока вызовов связано с определением в вероятностном смысле либо последовательности вызывающих моментов, либо последовательности промежутков между вызывающими моментами, либо последовательности чисел вызовов, поступающих в течение отрезков времени [ta'i), [ta^X •••> [taO-

Для задания случайных потоков, как и других случайных величин и процессов, используются функции распределения. Функцией распределе­ ния вероятностей некоторых случайных величин X называется функция F(x) = Р{Х < *}, определяющая вероятность того, что Х < х , где х - опреде­ ленная заданная величина. С учетом изложенного, для задания случайного потока могут быть использованы следующие эквивалентные законы:

1) совместный закон распределения п случайных вызывающих мо­ ментов Р{Ti< tb /= 1, 2, ...,ri) =P{Tx<t\, Г2< /2, •••> Tn<t„}, где вы­ зывающий момент; п может принимать любое значение;

2)совместный закон распределения п случайных промежутков вре­ мени между вызывающими моментами: P{Zi<zh i = 1, 2, ..., п} = P{Z\<z\, Z2 < z2, Zn< z„}, где Zi - промежуток времени между (z-1) и z-м вызы­ вающими моментами; п может принимает любое значение;

3)совместный закон распределения числа вызовов К на п отрезках

времени [/0, *i), [t0i h), ..., [t0, tn): P{K(t0,ti) = K, < kit i = 1,2,..., n} = P{K(t0i t{) =K\ < ku K(t0, t2) = K2<k2i ..., K(t0, tn) = Kn< kn}, где n может принимать любое значение; к\ < к2 < кп\ t\ < t2< ... < tn.

Введем некоторые ограничения на рассматриваемые случайные по­ токи. Потоки подразделяются на неоднородные и однородные. В неодно­ родных потоках каждая заявка имеет две и более характеристики. Напри­ мер, заявки, поступающие на измерения, определяются моментами их по­ ступления, запросами на требуемое число разрядов измерительного уст­ ройства, приоритетами и другими характеристиками.

Однородный поток вызовов характеризуется последовательностью, определяющей только закономерность поступления вызовов, т.е. последо­ вательностью моментов поступления вызовов или промежутков времени между вызовами либо иным способом задания потока.

На практике потоки, как правило, являются неоднородными. Не­ смотря на это, целесообразно рассматривать и более простую модель, т.е. однородные потоки. Ограничимся рассмотрением потоков, в которых на любом конечном отрезке времени поступает конечное число вызовов и ма­ тематическое ожидание числа поступающих вызовов также является ко­ нечной величиной. Такие потоки называются финитными.

Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени [0, f], называется ведущей функцией потока. Обозначим эту функ­ цию Л(0, г). Функция Л(0, г) - неотрицательная, неубывающая и в практи­ ческих задачах принимает конечное значение. Потоки с непрерывной ве­ дущей функцией называются регулярными, а со ступенчатой - сингуляр­ ными. Вероятность поступления хотя бы одного вызова в определенный момент времени для регулярного потока равна нулю, а для сингулярного потока в моменты разрыва ведущей функции отлична от нуля. Классиче­ ские модели систем массового обслуживания (СМО) ориентированы на случайные однородные финитные регулярные потоки.

т.е. параметр потока есть плотность вероятности наступления вызывающе­ го момента в момент и Исходя из (2.1), находим вероятность поступления одного вызова и более за время [/, t + т):

f + т) = X{t)z + 0(т), х -> 0.

Согласно определению стационарного потока, вероятность поступ­ ления определенного числа заявок за некоторый промежуток времени одна и та же и не зависит от места расположения этого промежутка на оси вре­ мени. Следовательно, и плотность вероятности поступления заявок ста­ ционарного потока, т.е. его параметр Х(Г), есть величина постоянная, не за­ висящая от момента t, т.е. X(t) = X. Отсюда для стационарных потоков

7Tj(г, t + т) = Хх + 0(т), х -> 0.

В отличие от ведущей функции потока Л(7, 0), определяющей мате­ матическое ожидание числа заявок, поступающих в промежутке времени [0, т), параметр потока характеризует не поток заявок, а поток вызы­ вающих моментов, и эта характеристика относится не ко всему отрезку [0, х), а лишь к фиксированному моменту Л

Интенсивностью стационарного потока ц называется математиче­ ское ожидание числа заявок, поступающих в единицу времени. Вследствие аддитивности математического ожидания для стационарного потока веду­ щая функция за промежуток времени [0, t) равна Л(0, t) = \xî.

Для нестационарных потоков используются понятия средней и мгновенной интенсивностей. Средняя интенсивность потока на отрезке времени [t]t ti) есть

Согласно (2.2) мгновенная интенсивность потока представляет про­ изводную ведущей функции потока. Так же, как и параметр потока X{t), мгновенная интенсивность потока ц(/) относится не к отрезку времени по­ ступления вызовов, а только к моменту г. В то же время, в отличие от па­ раметра потока, характеризующего поток вызывающих моментов, мгно­ венная интенсивность потока характеризует поток поступления вызовов.

Для любых потоков заявок р(Г) £ А,(г), причем для ординарных пото­ ков ц(г) = А.(г). Для стационарных потоков интенсивность и параметры по­ стоянны: ц(г) = ц, X(t) = X. Следовательно, для любых стационарных пото­ ков р > X, а для стационарных ординарных р = X.

Классификацию потоков удобно осуществлять, принимая за основ­ ной признак последействие потока. По этому признаку различают три класса потоков: без последействия, с простым последействием и с ограни­ ченным последействием. Рассмотрим эти классы потоков.

2.4. Простейший входящий поток

Определение. Простейшим потоком называется стационарный ор­ динарный поток без последействия. Простейший поток вызовов является наиболее распространенной моделью реального потока заявок, применяе­ мой в системах массового обслуживания. В большинстве задач прикладно­ го характера замена реальных потоков на простейшие с теми же интенсив­ ностями приводит к получению решения, которое мало отличается от ис­ тинного [7]. Математическое моделирование показало [7], что в большин­ стве случаев эта погрешность ограничена 3-5 % и лишь в редких случаях 10-12 %, что вполне приемлемо при решении прикладных задач. Однако, как указано в работах [8-10], имеются особые условия, когда эта погреш­ ность может достигнуть значительных величин. В связи с этим необходи­ мо использовать модели потоков более сложного характера.

Математическая модель простейшего потока. Определим вероят­ ности поступления Потока к {к = 1, 2, ...) вызовов на отрезке времени [г0, Г0 + t): Р*(Го, Г0 + 0- Исследования будем проводить на отрезке времени [г0, Г0 + Г + т), который Можно представить состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков [г0, г0 + г + т) = [г0, 'о+ 0 + [t, г + т).

Для того чтобы в течение отрезка [г0, Г0 + Г+ т) поступило точно к вы­ зовов, необходимо, чтобы за первый промежуток времени [/о, + 0 посту­ пило к, или к -1, ..., или £-/, ..., или 0 вызовов, а за второй промежуток со­ ответственно 0, или 1, ..., или /, ...Д вызовов.

Введем обозначения: Pk[t0, г0 + t + т) - вероятность поступления точ­ но к вызовов за отрезок времени [Г0, Г0 + * + т); Pk.j[t0, Г0 + Г) - вероятность поступления Ы вызовов за первый отрезок времени [г0, г0 + Г); P{t, Г + Г) - вероятность поступления точно i вызовов за второй отрезок времени [г, Г + + г). Согласно определению простейший поток является стационарным. Из этого следует, что вероятности поступления того или иного числа вызовов (заявок) за отрезки времени [/о, to+ t + т); [Г0, Г0 + г), [г, г + т) не зависят от моментов начала отсчета времени, а зависят только от длины отрезков времени. Поэтому упростим обозначения как отрезков, так и вероятностей: [Г0, Го + t + т) будем обозначать как [г + т); [Г0, Г0 + Г) - как [г); [Г, Г + т) - как

Простейший поток —это поток без последействия. Поэтому незави­ симыми являются события, заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность по­ ступления точно к вызовов за время [t + т) для каждой регистрации i = 0, 1, к составляет P^t + т), = Р*.,{/)Л(т), *= 1> ..Д Поскольку реализациис i = о, 1, к представляют несовместимые события, то согласно формуле

полной вероятности имеем

Выражение (2.3) представляет собой систему, состоящую из беско­ нечного числа уравнений. Устремим отрезок времени т к нулю. Вследствие ординарности простейшего потока 7i2(f, t —х) = 0(т), т —►0. Вероятности поступления 2, 3, вызовов: Р2(т), Р М и т.д. - есть бесконечно малые более высокого порядка по отношению к т. Следовательно, в системе урав­ нений (2.3) вероятности Pi имеют конечные значения только при /, равном Ои 1. На основании этого (2.3) преобразуется к виду

Определим Pi(x) и Р’о(т):

Р,(х) = я,(т) - тс2(х); Ро(х) = К0(т) -тс2(т).

С учетом ранее введенных определений

Подставим в систему уравнений (2.4) полученные значения вероят­ ностей Р,(х) и Р0(х). Затем, перенеся в левую часть уравнений Pit), поде­ лим левые и правые части уравнения на т. Переходя к пределу, получим

Таким образом, вероятность поступления точно к заявок простейше­ го потока за отрезок времени t определяется формулой Пуассона (2.7). По

этой причине простейший поток также называют стационарным пуассо­ новским потоком.

Основные характеристики простейшего потока. При объедине­ нии п независимых простейших потоков с А.1, Х2у ..., Хп образуется про­ стейший поток с параметром Х\ + Х2+ + Хп. Вероятность точно к заявок за отрезок времени t определяется формулой Пуассона

Можно показать, что объединение большого числа независимых ста­ ционарных ординарных потоков с практически любым последействием при малых значениях параметров этих потоков создает общий поток, близ­ кий к простейшему. Если каждый из потоков поступает от отдельного ис­ точника заявок, то простейший поток можно представить как поток от бес­ конечного числа источников, параметры каждого из которых стремятся к нулю.

Сумма вероятностей всех возможных значений числа поступающих заявок за рассматриваемый промежуток времени t равна 1. Действительно,

При t = 1 получаем

ркт = р к = ^ е ~ х

Функция Pi£t) есть функция распределения дискретной случайной ве­ личины К. Из (2.7) следует, что она зависит от X tnk,a при t =1 - от X и к.

Как и для любой дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона, математическое ожидание М(к) дисперсии D(k) и среднеквадратическое отклонение а(&) числа заявок простейшего потока,

поступивших за отрезок времени t, равны: М(к) = D{k) = Xt; a(fc) = 4Xt

При t= 1M(k) = D(k) = X, a(k) = VL

Из этого следует, что интенсивность простейшего потока равна его параметру р = М(к) = X. Равенство р = X справедливо не только для про­ стейшего потока, но и для любого стационарного ординарного потока.

Вероятность поступления к и более заявок определяется по формуле

Ъ * (0 = £ ( Р ' е-X/

Ык я

Вероятности F*(0 и P ^ t ) для различных значений к и Xt табулиро­ ваны [11].

Функция F(z) распределения вероятностей промежутков време­ ни между заявками. Согласно определению функция F(z) равна вероятно­ сти того, что промежуток времени между заявками будет меньше заданно­ го промежутка z, что равносильно вероятности n\(z) того, что за промежу­ ток z поступит одна заявка и более. Используя (2.7), получим

a плотность распределения вероятности промежутков времени между заяв­ ками

Таким образом, распределение промежутков времени между заявка­ ми простейшего потока подчиняется показательному (отрицательному экспоненциальному) закону. Функция F(z) зависит от параметра потока X.

Характеристики промежутков времени между заявками Z можно за­ писать в виде

Из (2.11) и (2.13) следует, что M(z) = a(z). Такое равенство характер­ но для показательного закона распределения любой случайной величины. Формула (2.11) показывает, что с увеличением параметра потока X умень­ шается математическое ожидание промежутка времени между заявками

M(z).

Распределение промежутков времени между заявками по показа­ тельному закону (2.9) является не только необходимым, но и достаточным условием существования простейшего потока. Можно показать, что поток с независимыми промежутками между заявками, распределенными по одинаковому показательному закону (2.9), является простейшим потоком.

Показательный закон обладает следующим свойством: если проме­ жуток времени, распределенный по показательному закону, уже длится некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшей­ ся части промежутка; он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка. Для доказательства предположим, что промежуток времени