книги / Прикладная теория систем массового обслуживания

Среднее время пребывания заявки, обладающей приоритетом, в оче­

реди

откуда среднее время ожидания в очереди для заявки, не обладающей при­ оритетом,

5.2.Векторная модель системы массового обслуживания

сприоритетом

Рассмотрим один из возможных оригинальных вариантов приори­ тетной модели СМО.

Предположим, что в СМО поступают два пуассоновских потока зая­ вок с интенсивностями A,i и А,2, причем X = A,i + Х2. Заявки первого потока, являющиеся приоритетными, будем в дальнейшем называть 1-заявками, второго потока - 2-заявками. Кроме того, заявки требуют для своего об­ служивания с вероятностью g(m) т обслуживающих приборов одновре­ менно, g(0) = 0. Все обслуживающие приборы однородны в том смысле, что обслуживание на любом из них экспоненциальное с параметром р, а их число равно N. Освобождение приборов, занятых одной заявкой, происхо­ дит независимо друг от друга. Приоритет 1-заявок заключается в преиму­ щественном праве на выделение требуемого числа обслуживающих при­ боров, которое осуществляется по следующему правилу: в случае, если пришедшая 2-заявка требует выделения такого числа приборов, которое в сумме с уже задействованными превышает некоторое заранее выбранное число п {п < N), то она получает отказ в обслуживании. 1-заявке может

где S(/)(0) - производная /-го порядка S(z) по Z в точке «0», то проблема заключается лишь в нахождении удобного соотношения для вычисления

S ^ ( z ) , которое удается получить в виде

где C/rj4 - число сочетаний из / - 1 по / -у - 1; K V \ Z) - производнаяу-го порядка K{z) по Z, для которой имеет место

*(y)(0) = -p ,U -l)![l-£W

/=о

Несколько первых значений SQ\ Z), вычисляемых в соответствии с

вышеприведенными формулами, имеют следующий вид:

». s§' = - n .

^ 2) = -p ,[i-g (i)]+ p ?,

s f = —2Pj[1 - g(l) - g(2)] - Зр? [1 - g(l)] - p?. С учетом (5.8) и (5.9) можно записать:

j£ tf,Z (,,+M) £p^(Z'/i!)dZ = £ z " +1 /(н + / ) £ я Х “Л/(' " У)!-

/=1 /=0 /=1 у=1

Из условия F(0) = 0 определяем в выражении (5.7) С = 0. Таким об­ разом, окончательно получаем

легко определяются с помощью уравнений (5.4). Заметим, что выражение (5.10) для расчета 7^1) представляет собой сумму бесконечного числа сла­ гаемых, поэтому при реализации численного алгоритма рекомендуется ис­ пользовать их конечное число, достаточное для того, чтобы решение сис­ темы не зависело от дальнейшего увеличения суммы ряда.

В качестве вероятностей блокировки потока /-го типа П, предлагает­

которые, естественно, не совпадают точно с аналогичными характеристи­ ками реальной системы, но являются вполне удовлетворительными их оценками. Проиллюстрируем изложенное на примерах.

Пример 5.1. Предположим, что число приборов, требуемое заявкой для обслуживания, распределено по геометрическому закону с параметра­

В табл. 5.1 (столбец «Приближенно») приведены значения вероятно­ стей блокировок, вычисленные с применением полученных соотношений, причем в выражении для F(l) использованы только первые четыре слагае­ мых в бесконечной сумме. В качестве критерия точности (столбец «Точ­ но») предлагается взять результаты решения системы алгебраических уравнений, полученных стандартным методом сечения (что возможно лишь при небольших N). Варьирование входных параметров не оказывает существенного влияния на близость результатов.

Для замкнутой СМО суммарная интенсивность /- заявок

Ь,- = Hr(j,i)XJti.

7=1

Кроме ограничения, что в каждой строке матрицы R может быть не более одной единицы, имеется еще одно ограничение, накладываемое ко­ нечностью числа N обслуживающих приборов в системе: для R должно выполняться неравенство

5=1 1=1

так как число приборов, занятых обслуживанием всех находящихся в СМО заявок, не может быть больше числа всех имеющихся в системе приборов.

Если при выполнении условий (5.11) выполняется неравенство, то в замкнутой СМО складывается ситуация, аналогичная ситуации потери зая­ вок для открытых систем, так как при этом имеются неблокированные ис­ точники, генерирующие заявки, для обслуживания которых может ока­ заться недостаточно свободных приборов. В состоянии R число свободных приборов

пк

m(R) = N - £ 5>(S,i)?f-

5=1 1=1

Для исследования таких ситуаций и их вероятностей необходимо знать распределение вероятностей P(R) состояний R замкнутой СМО.

Выделим четыре состояния: R(0,0), /2(1,0), R(0,1), /2(1,1) - рассматри­ ваемой системы. Состояния R(vj9 v2) характеризуются тем, что в матрице R выделены два элемента: ф ь i\) и ф 2, *2)» которые принимают значения ф 1, z'i) = V!, ф 2, z2) = v2. Значения остальных элементов ф , i) матрицы R(y1, v2) совпадают. Все четыре состояния /2(vj, v2) удовлетворяют неравен­ ству (5.11). Рассматривая интенсивности переходов между выделенными состояниями случайного марковского процесса изменения состояний сис­ темы обслуживания, получим

Следовательно, выполняется равенство

Ц5(0,0), 5(1,0))А.(5(1,0),5(1,1))Я.(5(1,1),5(0,1))Х(5(0,1),5(0,0)) =

= Х(5(0,0), 5(0,1))Х(5(0,1), 5(1,1))Х(5(1,1),5(1,0))Х(5(1,0), 5(0,0)).

Это равенство выполняется для любого цикла в графе переходов иссле­ дуемого марковского процесса, тогда в соответствии с критерием эквива­ лентности уравнений глобального и детального балансов [26] можно для вероятностей P(R) записать следующие равенства

P ( R № ) = P(R{0,0))\slÀ /Vishn>

P ( R m ) =P(R(0,0))XSl,,2 / ^ 2,i2-

Аналогичные равенства выполняются и для всех других состояний R, удовлетворяющих неравенству (5.11). Обозначим как ДО) вероятность со­

ству (5.11), можно записать, что стационарное распределение вероятностей ДЛ) определяется равенством

Как обычно, вероятность ДО) определяется условием нормировки. Здесь суммирование происходит по всем R, элементы которых удовлетво­ ряют (5.11). Если среди p5iI имеются одинаковые, то в (5.12) появляются степени соответствующих значений р.

Равенство (5.12а) определяет мультипликативность распределения состояний рассматриваемой замкнутой СМО, а формула (5.126) определя­ ет это распределение в явном виде.

Знание явного выражения (5.126) для распределения вероятностей P(R) состояний R замкнутой СМО позволяет определять ее различные ве­ роятностные характеристики, например, такие, как вероятность блокиров­ ки источников с /-заявками, т.е. блокировки /-заявок; вероятность блоки­ ровки (s, /)-заявок; вероятность П блокировки произвольной заявки, кото­ рая не допускается к обслуживанию в связи с отсутствием достаточного для нее числа обслуживающих приборов.

Вероятностью П назовем отношение среднего числа L0(At) заявок, мгновенно возвращенных в источник в связи с отсутствием достаточного для них числа свободных обслуживающих приборов, к среднему числу L(At) всех заявок, обратившихся в систему обслуживания за время A t, ко­

торые либо были приняты к обслуживанию, либо которым было отказано в обслуживании. Так как рассматриваем среднее стационарное распределе­ ние, то величина числа П не зависит от значений At, поэтому устремив At -> 0, получим

ДА0 = SР(ЮS SO- r(S9i))XSJAt + 0(Д/),

л5=1 /=1

п к

Lom=SДЛ) S SO- r(S,i))I(R9i)XSJAt + 0(ДО,

Я5=1 /=1

где

Пример 5.3 (замкнутой СМО). Пусть в СМО N обслуживающих при­ боров и три неоднородных источника, два из которых совпадают между собой, а третий отличается от них. Заявка каждого источника требует от 1 до 5 обслуживающих приборов. Так как два источника одинаковы, то в матрице Х9 определяющей структуру входного потока, две строки будут совпадать и матрица будет иметь размерность 3x5. Значения вероятностей П по (5.13) приведены в табл. 5.2 для трех различных матричных потоков, определяемых матрицей X, и различного числа N обслуживающих прибо­ ров (3 < N < 10). Итак, матрица X имеет следующий вид:

генерируют потоки заявок, требующих для своего обслуживания два при­ бора, а с интенсивностью Л.|3 = А.32 = 0,4 - три прибора; третий источник с интенсивностью А,33 = 0,7 требует три прибора для каждой своей заявки, а с интенсивностью А,34 =0,3- четыре прибора. Интенсивность заявок, тре­ бующих другое число приборов, равна нулю, т.е. Хп =Хы =Х]5=Х2] = Х24 =

= Х2$ = Хц = Х32 = Х35 = 0.

При этом для матрицы (5.14) П = 0,188 для N = 3, П = 0,027 для N = = 5, П = 0,006 для N = 6. Заметим, что при N= 3 все заявки, требующие че­ тыре прибора для своего обслуживания и поступающие с интенсивностью А.34= 0,3, вообще не обслуживаются.

5.4. Исследование и оптимизация управляемой СМО

Очень важной, но до сих пор мало разработанной областью [18], яв­ ляется статистика систем массового обслуживания. Общая задача состоит в том, чтобы по наблюдениям за входящим и выходящим потоками требо­ ваний управлять системой массового обслуживания. Оставаясь в рамках модели ВМ (глава 3), рассмотрим, каким образом происходит управление СМО. Так как ВМ СМО имеет конечное число приборов, то в системе воз­ можна потеря заявок. Заявки, требующие для своего обслуживания больше приборов, чем имеется в системе свободных, теряются.

Вероятность потери заявки можно существенно уменьшит* [8], если СМО допускает управляющие воздействия, состоящие в том, что в момент поступления заявки, требующей для своего обслуживания т приборов, ей может быть отказано даже при наличии / > т свободных приборов. Реше­ ние данной задачи предложено в работе [27], суть его состоит 0 следую­ щем.

Математическая модель СМО. В качеств основы для построения математической модели управляемой системы СМО рассмотрим Л^-ли- нейную модель.

На вход системы поступает простейший поток с параметром X. Каж­ дая заявка для своего обслуживания с вероятность^) g(m) требует Ъ прибо­ ров.