книги / Прикладная теория систем массового обслуживания

Пусть 8(/,/я) - условная вероятность принять к обслуживанию по­ ступившую заявку при условии, что она требует для своего обслуживания т приборов, а в системе имеется / свободных приборов. Очевидно, 6(i,m) = 0 при / < т, так как число требуемых приборов больше имеюще­ гося числа свободных. Принятая заявка начинает обслуживаться одновре­ менно на всех т выделенных для нее приборах. Заявка, получившая отказ в обслуживании, теряется и в дальнейшем не рассматривается.

Качество функционирования системы может оцениваться различны­ ми показателями, например вероятностью потери заявки, т.е. необходимо выбрать такие значения управляющих параметров 0<8(i,iw)<l, которые минимизируют вероятность потери заявки:

Ш= п = Щ 1 - 60» ) = £g(m)M (l - 6 0 » ) ,

т=\

где П - вероятность потери заявки с математическим ожиданием стацио­ нарного распределения P(i) состояний процесса /(0; i(t) - число свободных в момент / приборов.

Если заявки не равнозначны в смысле их потери, то показатель эф­ фективности можно задать в виде:

Ь2(Ь)= £ g(m)A(m)M(1- 50, т)),

т=1

где А(т) - коэффициент, определяющий значимость номера заявки, тре­ бующей для своего обслуживания т приборов.

Если необходимо минимизировать время простоя приборов, то пока­ затель эффективности можно задать в виде

Ь3(8) = М '( 0 = Ъ р (0

/-о

Таким образом, показатель эффективности функционирования сис­ темы в общем виде можно определить как

т= M F № ) = Z g W A ^ (/,5 (/,m )),

т=\

где FW(/,8(Z,/H)) - величина издержек системы за единицу времени пребы­ вания в z-M состоянии и принятие к обслуживанию в этом состоянии заяв­ ки, требующей т приборов.

Для исследования математической модели СМО рассмотрим случай­ ный процесс i(t\ состояниями которого является число приборов СМО,

свободных в момент г. Этот процесс является марковским для любого за­ данного марковского уравнения 8(/,т).

В стационарном режиме вероятности Д /) = Д/(/) = i) удовлетворяют системе уравнений:

N\iP(0) = X I g(m)5(m,m)P(m) ;

т=\

N-i

X 'Zg(m)à(i,m) +(N - j)n P(i) = ^ Х^С^Ж* + m,m)P(i + m) + (5.15) _ m=l m=l

+ (N - i +1)цР(/ - 1)A. Zg(m)8(N,m)P(N) = рР(ЛГ -1), Я1=1

решение которой для заданного управления 8(/,/я) не представляет труда. P(N) = 5(./V) - некоторое заданное число, например 5(N) = 1, тогда из по­ следнего уравнения системы (5.15) найдем значение S(N - 1) для P(N - 1). Далее из второго уравнения системы (5.15) при i = N -1 определим S(N-2) для P (N - 2), а при / = 7V-2 найдем значение 5(N -3) и так далее до / = 1. При / = 1 определим значение 5(0) для ДО). Найденные значения 5(0), 5(1),

..., S(N) не противоречат первому уравнению системы (5.15), следователь­ но, являются решением этой системы.

Стационарное распределение вероятностей Д /) марковского процес­ са /(f) определяется следующим равенством:

Если/У = 10,g(l) = 0,9; g(4) = 0,l и р = 1,то ^(6) = 0,213.

Заданное здесь уравнение (5.17) требует, чтобы принималась всякая заявка, для которой достаточно свободных приборов.

Функционирование управляемой СМО можно заметно улучшить, ес­ ли выбрать оптимальные значения для управления 5(/,/п). Как следует из

работы [11], для нахождения оптимальных значений 8(/,т) достаточно решить систему нелинейных уравнений вида:

где F(i) = X g(mWm 0. 80'.m)) ■

7W=1

Методом последовательных преобразований в пространстве страте­ гий [28] решение системы (5.18) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Зададим произвольное управление 8{8(1)(/,т)}, например, в виде (5.17) и решим СЛАУ.

N\LI(0) + L = F ( 0 ) + ,

( N - /)ц/(/) +L =F(i) + X 'Zg(m)5(i,m)[l(i-m) - /(/)] + (TV- i)[il(i +1), (5.19)

m=\

L = F(N) + X Is(m)ô(TV,m)[/(TV - m) - /(TV)], m=1

где ô(i,m) =5{l)(i9m).

Зная решение lP \ /(1)(/) этой системы, построим второе приближе­

ние в пространстве стратегий 6(2)(z,m), значения которых минимизируют выражения

F(J) = X £ g(*w)8(i\m)[/(1)(/ - m) - /(1)(/)] - min. m=1

Так как

F0) = E g(m)Fm0. S(i, m)), m=1

то минимизация (5.19) - функции N переменных 8(i,l),8(/,2),...,8(/,w)- сво­ дится к минимизации N функций вида

одной переменной 8(/,/w).

Там как во всех трех приведенных показателях эффективности - L,(8), Z,2(ô), Zo(ô) - величины 8(/,m) входят в функцию Fm(i9d(i,m)) линей­ но, то минимум выражения (5.20) достигается на границе интервала изме­ нения 0 < 8(/,т)< 1, т.е. второе приближение S(2)(/,/w) принимает либо 0,

либо 1.

Например, для критерия ^ (б ) второе приближение имеет вид

1, если х[/(1)(г» - / (,)(о]<Ж/я),

б{2\i,m ) =

0, если х[/(1)(/,/и) - / (1)(о ]> >4(т).

Подставляя б(2)(/,/и) в систему (5.18) и решая ее, определим 1(2),/(2)(/). Зная /(2)(/), найдем следующее приближение в пространстве стратегий.

В работе [И] показано, что последовательность монотон­ но убывает. Таким образом, алгоритм последовательных приближений в пространстве стратегий сходится. Как показывают результаты численных расчетов, достаточно 3-5 итераций для получения оптимального управле­ ния 8(|,/и) и нахождения минимального значения L(S).

Всистеме (5.19) число неизвестных /(0) ,..., l(N), L на единицу боль­ ше числа управлений, но /(/) определяется лишь с точностью до произ­ вольного слагаемого, поэтому одну из неизвестных /(/) можно выбирать произвольно, тогда число уравнений становится достаточным для нахож­ дения всех неизвестных. Но при численной реализации величину L удоб­ нее находить, используя решение системы (5.15).

Всамом деле, определив для заданного уравнения б(/,/я) величину L

иположив /(0) = 0, из первого уравнения (5.19) найдем /(1). Из второго

уравнения системы (5.19), положив / = 1, определим /(2), а при i = 2 найдем /(3) и так далее. При / = N - 1 найдем значение l(N). Полученное значение L, /(0),..., 1{N) не противоречит последнему уравнению системы (5.15), по­ этому является ее решением.

Так как решение системы (5.15) и (5.19) сведено к рекуррентным процедурам пересчета, то их размерность не может служить существенным ограничением для применения предлагаемого подхода к решению постав­ ленной задачи.

При тех же параметрах, что и ранее {N = 10, g(l) = 0,9, g(4) = 0,1 и

р = 1), оптимальное значение Zj(8) = 0,199, а выигрыш составляет 7 % по сравнению с неуправляемой системой.

Применяя указанную процедуру, можно уменьшить вероятность от­ каза заявки, несущественно усложняя процедуру функционирования СМО.

Поэтому, с точки зрения системных характеристик, системы с управлени­ ем являются более эффективными (и экономически, и качественно), чем системы без управления.

5.5. Примеры специальных СМО

Пример 5.4. Рассматривается функционирование большого аэро­ дрома с единственной взлетно-посадочной полосой (ВПП). В среднем за сутки взлетает 240 самолетов. При посадке самолет занимает ВПП в сред­ нем в течение 3 мин, а при взлете - 1,5 мин. Определить характеристики работы аэродрома в стационарном режиме.

Решение

Аэродром можно рассматривать как одноканальную систему с при­ оритетом. Самолету разрешается взлет с аэродрома в том случае, когда нет самолетов, идущих на посадку. Поток самолетов, идущих на посадку, можно рассматривать как поток заявок, обладающих приоритетом в ис­ пользовании ВПП. Характеристики такой системы с приоритетом следую­ щие:

Хх= Х2 = 240 сутки-1 =-мин К

6

Характеристика обслуживания:

р ,= -1м и н -1, ц2 = -2м ин ,

следовательно,

х, 1 Х2 1 а, = — = - , а 2 = — = -■

Среднее число самолетов, ожидающих в воздухе, пока освободится

ВПП,

1 - ai 1-0,5

Среднее время пребывания самолета в воздухе перед посадкой

*тХ = \1 =\ 6= ЪМИН'

Среднее время, затрачиваемое самолетом на посадку,

fj = /оч1 + — = 3 + 3 = 6 мин .

Среднее время ожидания разрешения на взлет для самолета, находя­ щегося на аэродроме,

Среднее число самолетов, ожидающих на аэродроме разрешения на

взлет,

^2 = ^2^оч2 = Т ' 16,5 = 2,75.

Среднее время, проходящее от момента готовности самолета ко взлету до момента осуществления взлета,

h = ^оч2 + — = 16,5 + 1,5 = 18 мин. М-2

Среднее число самолетов, готовых к взлету, но находящихся на аэ­ родроме,

/2 =Х2Г =1.18 = 3.

Таким образом, видно, что несмотря на большое число посадок и вылетов за сутки (240) можно считать, что аэродром будет функциониро­ вать нормально: самолетам, идущим на посадку, не придется долго ждать в воздухе освобождения ВПП.

Пример 5.5. Анализируется работа междугороднего переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. Переговоры бывают двух видов: обычные и срочные. При проведении срочного переговора обычный переговор прерывается. В сред­ нем за сутки поступает 180 заявок на обычные переговоры и 60 на сроч­ ные. Средняя длительность переговоров обоих видов (с учетом вызова абонента в другом городе) составляет 5 минут. Определить характеристики работы переговорного пункта в стационарном режиме.

Решение

Переговорный пункт можно рассматривать как одноканальную сис­ тему массового обслуживания с приоритетом. Ее характеристики следую­ щие:

Условия наличия стационарного режима выполняются (а = а х+ а 2 =

Среднее число ожидающих срочного переговора

г, = ^ -£ * 0 ,0 5 .

1 —а,

Среднее время ожидания срочного переговора

'оч1 = 7 - = 1>2 м и н -

А.,

Среднее время ожидания обычного переговора

Среднее число ожидающих обычного переговора

=^2*оч2 = 4,11 •

Среднее число людей, находящихся на переговорном пункте (за ис­ ключением обслуживающего персонала),

Таким образом, видно, что приобретение за дополнительную плату права на срочный переговор сокращает время ожидания в очереди прибли­ зительно в 27 раз.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Цветков Э.И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. М.: Энергия, 1973. 128 с.

2.Крамер Г. Стационарные случайные процессы / Г. Крамер,

М.Лидбеттер. М.: Мир, 1969. 398 с.

3.Сирнов Н.В. Курс теории вероятностей и математической стати­ стики (для технических приложений) / Н.В. Сирнов, И.В. Дунин-Барков- ский. М.: Наука, 1969. 512 с.

4.Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956. 513 с.

5.Хинчин А.Я. Работы по теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. 217 с.

6.Лившиц Б.С. Теория телетрафика / Б.С. Лившиц, А.П. Пшенични­ ков, А.Д. Харкевич. М.: Связь, 1979. 224 с.

7.Бусленко Н.П. Метод статистических испытаний / Н.П. Бусленко, Ю.А. Шрайдер. М.: ГИФМЛ, 1961.256 с.

8.Гнеденко В.Б. Введение в теорию массового обслуживания / В.Б. Гнеденко, И.Н. Коваленко. М.: Машиностроение, 1969. 432 с.

9.Овчаров В.А. Прикладные задачи теории массового обслужива­ ния. М.: Наука, 1987. 324 с.

10.Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с.

11.Южаков А.А. Стохастические сети в проектировании техниче­ ских систем: Учеб, пособие / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. 131 с.

12.Матушкин Н.Н. Мультипликативность распределения состояний замкнутой СМО при неоднородном входящем потоке / Н.Н. Матушкин, А.А. Назаров, А.А. Южаков // Информационные управляющие системы / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. С. 39-47.

13.Кофман А. Массовое обслуживание. Теория и приложения / А. Кофман, Р. Крюон. М.: Мир, 1965. 303 с.

14.Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания. М.: Сов. радио, 1971. 520 с.

15.Кендалл Д. Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей Маркова // Математика. 1956. №6. С. 97-111.

16.Smith W.L. Renewal theory and its ramification // J. Roy Statist. Sos. Ser.B.1958, Vol. 20, № 2. P. 243-302.

17.Джейсуол H. Очереди с приоритетами. M.: Мир, 1973. 279 c.

18.Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь, 1966. 184 с.

19.Бройтман М.Д. Анализ процессов буферизации в системах теле­ обработки / М.Д. Бройтман, БЛ. Эттингер // Автоматика и вычислительная техника, 1981, № 2. С. 55-61.

20.Скворцов А.В. Моделирование потоков в информационных сис­ темах // Приборы и системы управления, 1983, № 9. С. 17-18.

21.Ивановский В.Б. О мультипликативной форме решения в экспо­ ненциальных сетях с ограниченными очередями и блокировками // Авто­ матика и вычислительная техника, 1983, № 5. С. 19-24.

22.Башарин Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория

иметоды расчета / Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Я.А. Коган. М.: Наука, 1989. 336 с.

23.Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М.: Наука, 1991. 389 с.

24.Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1986. 544 с.

25.Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979. 324 с.

26.Назаров А.А. Критерий эквивалентности уравнений глобального

идетального балансов для цепей Маркова /А.А. Назаров, А.А. Южаков // Автоматика и телемеханика, 1995, № 12. С. 71-78.

27.Назаров А.А. Исследование и оптимизация управляемой адап­

тивной терминальной измерительной системы / А.А. Назаров, А.А. Южа­ ков // Автоматика и телемеханика, 1996, № 4. С. 96-100.

28. Корн Г Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1972. 832 с.